Modellering med prosentvis vekst

Vanlegvis vil renta endre seg noko i løpet av 6 år, men her reknar vi med at renta er lik alle dei 6 åra. Det inneståande beløpet aukar då med 5,5 prosent for kvart år. Då er det lurt å bruke vekstfaktoren, for då multipliserer vi berre arven med vekstfaktoren 6 gonger, som er det same som å multiplisere med vekstfaktoren opphøgd i 6.

Inneståande beløp blir 68 942 kroner.

Inneståande beløp, $B$, er ein funksjon av talet på år $$ x$$ beløpet står inne i banken, og funksjonsuttrykket blir

$$ B\left(x\right)=50 000·1,{055}^x$$

Funksjonen kallar vi ein eksponentialfunksjon sidan variabelen $$ x$$ opptrer som eksponent i ein potens.

Vi skriv inn funksjonsuttrykket i algebrafeltet, og for å få riktig namn på funksjonen, skriv vi  B(x)=50000·1.055^x. Så skriv vi inn  y=75000  for å få den vassrette linja. Vi finn skjeringspunktet mellom linja og grafen med verktøyet "Skjering mellom to objekt".

Frå $$ y$$-koordinaten til skjeringspunktet får vi at det tek cirka 7,5 år før pengane har vakse til 75 000 kroner.

Matematisk betyr oppgåva at vi ønskjer å finne ut når funksjonen $$ B$$ har verdien 75 000. Dette gir oss likninga

$$ B\left(x\right)=75 000$$

Denne løyser vi direkte i CAS. Sidan vi har kalla funksjonen $$ B\left(x\right)$$ i GeoGebra, kan vi referere direkte til han i CAS-feltet.

Vi får det same svaret som ved grafisk løysing.

Sidan $$ B\left(x\right)$$ er ein eksponentialfunksjon, kallar vi likninga vi løyser for ei eksponentiallikning.

Sidan pengane veks eksponentielt, kan vi prøve å finne ein eksponentialfunksjon som passar best mogleg med tala i tabellen over. Dette gjer vi med regresjon, og vi bruker eit verktøy som GeoGebra.

Vi seier at den eksponentialfunksjonen vi kjem fram til, er ein modell for sparinga.

1. Vi skriv tala i tabellen inn i reknearkdelen i GeoGebra.

2. Vi markerer tala.

3. Så opnar vi regresjonsanalyseverktøyet og vel regresjonsmodellen "Eksponentiell". Då lagar GeoGebra den eksponentialfunksjonen som passar best med tala.

4. Vi vel "Kopier til grafikkfeltet" for å få eksponentialfunksjonen over i grafikkfeltet i GeoGebra (og i algebrafeltet).

Funksjonen $$ B\left(x\right)$$ gir oss svaret. Når sparinga startar, er  $$ x=0$$. Det betyr at vi må finne $$ B\left(0\right)$$. Det kan vi gjere grafisk og med CAS, men her er det enkelt å finne svaret for hand sidan vi skal setje inn talet 0 i funksjonen.

$$ B\left(0\right)=50 487,672·1,{059}^0=50 488$$

Etter modellen sette du inn 50 488 kroner då du starta sparinga.

Stikkordet her er vekstfaktor.

Vi les av vekstfaktoren som grunntalet 1,059 i potensen i eksponentialfunksjonen. Det betyr at den gjennomsnittlege årlege veksten, det vil seie renta, har vore på 5,9 prosent.

Vi kan vise dette ved å setje opp uttrykket for vekstfaktoren, som gir likninga

$$ 1+\frac{x}{100}=1,059$$

Likninga løyser vi ved rekning for hand eller med CAS. Nedanfor har vi løyst likninga med CAS.