Fagartikkel

Modellering med prosentvis vekst

Eksponentiell vekst og prosentvis vekst er det same. Prosentvis vekst over fleire periodar gir oss eksponentialfunksjonar.

Døme med kjend prosent

Kvinne som kastar mange pengesetlar opp i lufta. Foto. — Bilete: Shutterstock, NTB / CC BY-NC 4.0

Du arvar 50 000 kroner av ein onkel. I ein bank får du 5,5 prosent rente per år dersom du set pengane i eit aksjefond. Vi skal studere dette dømet i detalj ved hjelp av nokre spørsmål.

Kor mykje har du inneståande etter 6 år dersom du ikkje rører pengane?

Løysing

Vanlegvis vil renta endre seg noko i løpet av 6 år, men her reknar vi med at renta er lik alle dei 6 åra. Det inneståande beløpet aukar då med 5,5 prosent for kvart år. Då er det lurt å bruke vekstfaktoren, for då multipliserer vi berre arven med vekstfaktoren 6 gonger, som er det same som å multiplisere med vekstfaktoren opphøgd i 6.

CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 1 er det skrive 1 pluss 5,5 delt på 100. Svaret med tilnærming er 1,055. På linje 2 er det skrive 50000 k r multiplisert med dollarteikn 1 opphøgd i 6. Svaret med tilnærming er 68942,14 k r. Skjermutklipp. — Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Inneståande beløp blir 68 942 kroner.

Kor mykje har du inneståande dersom du lèt pengane stå urørte i $x$ år?

Løysing

Inneståande beløp, $B$ , er ein funksjon av talet på år $x$ beløpet står inne i banken, og funksjonsuttrykket blir

$B (x) = 50 000 \cdot 1, 055^{x}$

Funksjonen kallar vi ein eksponentialfunksjon sidan variabelen $x$ opptrer som eksponent i ein potens.

Teikn grafen til funksjonen $B$ , og finn grafisk og ved rekning kor lang tid det tek før pengane har vakse til 75 000 kroner.

Grafisk løysing

Vi skriv inn funksjonsuttrykket i algebrafeltet, og for å få riktig namn på funksjonen, skriv vi B(x)=50000·1.055^x. Så skriv vi inn y=75000 for å få den vassrette linja. Vi finn skjeringspunktet mellom linja og grafen med verktøyet "Skjering mellom to objekt".

Grafen til funksjonen B av x er lik 50000 multiplisert med 1,055 opphøgd i x er teikna for x-verdier mellom 0 og 18. Den rette linja y er lik 75000 er også teikna. Skjeringspunktet mellom grafen til B og linja er markert og har koordinatane 7,573 og 75000. Illustrasjon. — Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Frå $y$ -koordinaten til skjeringspunktet får vi at det tek cirka 7,5 år før pengane har vakse til 75 000 kroner.

Løysing ved rekning

Matematisk betyr oppgåva at vi ønskjer å finne ut når funksjonen $B$ har verdien 75 000. Dette gir oss likninga

$B (x) = 75 000$

Denne løyser vi direkte i CAS. Sidan vi har kalla funksjonen $B (x)$ i GeoGebra, kan vi referere direkte til han i CAS-feltet.

CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 1 er det skrive B av x er lik 75000. Svaret med "Løys" er x er lik eit stort og komplisert uttrykk som vi forenklar på neste linje. På linje 2 er det skrive dollarteikn 1. Svaret med tilnærming er x er lik 7,573. Skjermutklipp. — Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Vi får det same svaret som ved grafisk løysing.

Sidan $B (x)$ er ein eksponentialfunksjon, kallar vi likninga vi løyser for ei eksponentiallikning.

Døme med ukjend prosent

Som vi skreiv i det førre dømet, vil renta ved sparing i aksjefond endre seg med ujamne mellomrom. No tenkjer vi oss at det har gått 10 år. Pengane har stått urørte heile tida. Du hugsar ikkje nøyaktig kor mykje du sette inn, men du finn 3 gamle årsoppgåver som fortel kor mykje du hadde etter 2 år, etter 6 år og etter 7 år. Du veit dessutan at no etter 10 år har du 87 432 kroner inneståande. Det betyr at du har dei følgjande opplysningane:

År sidan sparinga starta	Sum inneståande (kr)
2	55 567
6	72 679
7	77 302
10	87 432

Du ønskjer å seie noko om korleis renta har vore i gjennomsnitt desse 10 åra. Du ønskjer òg å finne ut omtrent kor mykje du sette inn då du starta sparinga.

Korleis går vi fram for å finne svaret på desse spørsmåla?

Løysing

Sidan pengane veks eksponentielt, kan vi prøve å finne ein eksponentialfunksjon som passar best mogleg med tala i tabellen over. Dette gjer vi med regresjon, og vi bruker eit verktøy som GeoGebra.

Vi seier at den eksponentialfunksjonen vi kjem fram til, er ein modell for sparinga.

Forklar gangen i framgangsmåten når vi skal finne den eksponentialfunksjonen som passar best.

Forklaring

Vi skriv tala i tabellen inn i reknearkdelen i GeoGebra.
Vi markerer tala.
Så opnar vi regresjonsanalyseverktøyet og vel regresjonsmodellen "Eksponentiell". Då lagar GeoGebra den eksponentialfunksjonen som passar best med tala.
Vi vel "Kopier til grafikkfeltet" for å få eksponentialfunksjonen over i grafikkfeltet i GeoGebra (og i algebrafeltet).

Dersom vi gjer som beskrive over, får vi funksjonen

$B (x) = 50 487, 672 \cdot 1, 059^{x}$

Regresjonsanalyseverktøyet

Regresjonsanalyse av tala i dømet. Til venstre er eit utsnitt av reknearkdelen i GeoGebra der cellene A 2 til A 5 inneheld tala 2, 5, 7 og 10, mens cellene B 2 til B 5 inneheld summane gitt i oppgåva. Til høgre er regresjonsanalyseverktøyet. Det er valt eksponentiell regresjonsmodell, og funksjonen som passar best med tala, er y er lik 50457,6717 multiplisert med 1,0591 opphøgd i x. Skjermutklipp. — Eksponentialregresjon av tala i dømet. Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Grafikkfeltet i GeoGebra vil no vise grafen til eksponentialfunksjonen og punkta frå tabellen tilsvarande som på biletet nedanfor. Grafen passar ganske bra med punkta.

Grafen til funksjonen B av x er lik 50487,672 multiplisert med 1,059 opphøgd i x er teikna for x-verdiar mellom 0 og 12. I tillegg er punkta som funksjonen er basert på, teikna inn. Grafen passar relativt bra med punkta. Illustrasjon. — Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

No går vi tilbake til spørsmåla vi stilte i starten av dømet.

Foreslå måtar som kan brukast for å finne ut kor mykje du sette inn på sparing i aksjefond for 10 år sidan. Finn beløpet.

Løysing

Funksjonen $B (x)$ gir oss svaret. Når sparinga startar, er $x = 0$ . Det betyr at vi må finne $B (0)$ . Det kan vi gjere grafisk og med CAS, men her er det enkelt å finne svaret for hand sidan vi skal setje inn talet 0 i funksjonen.

$B (0) = 50 487, 672 \cdot 1, 059^{0} = 50 488$

Etter modellen sette du inn 50 488 kroner då du starta sparinga.

Kva har renta vore i gjennomsnitt desse åra?

Tips til oppgåva

Stikkordet her er vekstfaktor.

Løysing

Vi les av vekstfaktoren som grunntalet 1,059 i potensen i eksponentialfunksjonen. Det betyr at den gjennomsnittlege årlege veksten, det vil seie renta, har vore på 5,9 prosent.

Vi kan vise dette ved å setje opp uttrykket for vekstfaktoren, som gir likninga

$1 + \frac{x}{100} = 1, 059$

Likninga løyser vi ved rekning for hand eller med CAS. Nedanfor har vi løyst likninga med CAS.

Døme med kjend prosent

Døme med ukjend prosent

Reglar for bruk av teksten "Modellering med prosentvis vekst"