Hopp til innhald

Fagstoff

Pytagorassetninga

Vi bruker pytagorassetninga mellom anna til å finne ukjende sider i rettvinkla trekantar.

Kva er pytagorassetninga?

Trekant med sidekantar a lik 3, b lik 4 og c lik 5. Illustrasjon.

Teikn ein trekant som er rettvinkla og der dei kortaste sidene er tre og fire einingar lange. Figuren viser ein slik trekant som er teikna i GeoGebra. Mål den lengste sida. Blir denne fem einingar lang?

Ta no alle dei tre sidelengdene og multipliser dei med seg sjølve. Du får då kvadratet av sidelengdene.

Kvadratet av sidelengda $c$ er $c^{2} = 5^{2} = 25$ .

Kvadratet av sidelengda $a$ er $a^{2} = 3^{2} = 9$ .

Kvadratet av sidelengda $b$ er $b^{2} = 4^{2} = 16$ .

Samanlikn summen av kvadrata til dei to kortaste sidene med kvadratet til den lengste sida. Kva ser du?

Vi ser at $25 = 9 + 16$ . Det er det same som $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ .

Det viser seg at denne samanhengen gjeld for alle trekantar som har ein vinkel på 90°.

Ein trekant med sidekantar på tre, fire og fem. På kvar sidekant er det teikna inn eit kvadrat med areal på høvesvis ni, seksten og tjuefem. Illustrasjon.

For å kunne formulere denne samanhengen med ord gir vi namn på sidene i rettvinkla trekantar.

Den lengste sida i ein rettvinkla trekant kallar vi hypotenus. Dei to kortaste sidene kallar vi katetar.

Pytagorassetninga:

${hypotenus}^{2} = {katet}_{1}^{2} + {katet}_{2}^{2}$

$c^{2} = a^{2} + b^{2}$

Ein rettvinkla trekant med namn på hjørne, A, B og C, og namn på sider, a, b og c. Sidene a og b er katetar, og sida c er hypotenus. Illustrasjon.

Legg merke til namnsetjinga. Vi bruker store bokstavar som namn på punkt eller hjørne i trekanten. Små bokstavar blir brukte som namn og måltal for sidelengdene. Det er vanleg at vi har den same bokstaven på motståande hjørne og sider.

Geometrisk bevis for pytagorassetninga

Eit stort, kvitt kvadrat med eit mindre, grått kvadrat inni. Sidelengda på det store kvadratet er a pluss b, mens sidelengda på det inste kvadratet er c. Arealet av det inste kvadratet er c i andre. Illustrasjon.

Lag eit kvadrat med sidelengder $a + b$ . Sjå figuren til høgre. Du kan til dømes klippe det ut av eit stivt papir, eller du kan teikne det i GeoGebra.

Del sidelengdene i to delar $a$ og $b$ , trekk linjer (klipp ut) som vist på figuren, og få på denne måten fire like rettvinkla trekantar. Hypotenusen i trekantane kallar du $c$ .

Eit stort kvadrat med sidelengde a pluss b. Inne i kvadratet er det teikna to mindre kvadrat, eit med sidelengde a og areal a i andre og eit med sidelengde b og areal b i andre. I tillegg er det to rektangel med sidelengder a og b, der diagonalen har lengde c. Illustrasjon.

Det grå arealet er eit kvadrat (kvifor?) med sidelengde $c$ og areal $c^{2}$ .

Flytt på trekantane inne i det store kvadratet som vist på neste figur. (I GeoGebra lagar du ei ny teikning. Bruk rutenett.)

Arealet av dei to store kvadrata er like store då sidelengdene er lik $a + b$ .

Samla areal til dei fire rettvinkla trekantane er like store i begge figurane.

Det må bety at dei grå areala i dei to figurane er like store, altså at $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ . Dette er nettopp pytagorassetninga for dei rettvinkla trekantane våre.

Å finne ukjende sider i ein rettvinkla trekant

Døme 1. Hypotenusen er ukjend

Rettvinkla trekant med sider a, b og c. a er 5 centimeter, og b er 2 centimeter. Illustrasjon.

Vi ønskjer å finne ut kor lang sida $c$ på figuren er. Dette er hypotenusen i trekanten, og pytagorassetninga gir:

$\begin{array}{rcl} c^{2} & = & 2, 0^{2} + 5, 0^{2} \\ c^{2} & = & 4, 0 + 25, 0 \\ c^{2} & = & 29, 0 \\ c & = & \sqrt{29, 0} \\ c & = & 5, 38 \approx 5, 4 \end{array}$

Sida $c$ er 5,4 centimeter.

Trekant A B C der A C er 6,5 centimeter lang, B C er 2,7 centimeter lang, og A B er c. Illustrasjon.

Døme 2. Kateten er ukjend

Vi ser no på den neste trekanten. Denne gongen vel vi å bruke CAS for å finne den ukjende sida ved hjelp av pytagorassetninga:

CAS-utrekning i GeoGebra. På linje 1 er det skrive 2,7 opphøgd i andre pluss c opphøgd i andre er lik 6,5 opphøgd i andre. Under står det N Løys kolon sløyfeparentes c er lik minus 5,913 komma c er lik 5,913 sløyfeparentes slutt. Skjermutklipp.

Sida $A B$ er 5,9 meter.

Døme 3. Eit praktisk døme

Ein stige er stilt opp mot ein husvegg slik at det ein rettvinkla trekant blir danna. Avstanden langs bakken mellom husveggen og stigen er 2,4 meter. Stigen treffer veggen 4,6 meter over bakken. Illustrasjon.

Ein stige skal plasserast 2,4 meter frå ein husvegg slik at han akkurat når opp til vindaugskarmen i eit vindauge i andre etasje. Vindaugskarmen er 4,6 meter over bakken.

Kor lang må stigen vere?

Løysing

La stigen vere $x$ meter lang.

Pytagorassetninga gir

CAS-utrekning med GeoGebra. På første linje er det skrive x i andre er lik 4,6 i andre pluss 2,4 i andre. Under står det N Løys kolon sløyfeparentes x er lik minus 5,188 komma x er lik 5,188 sløyfeparentes slutt. Skjermutklipp.

Stigen må vere $5, 2$ meter lang.

Lage rette vinklar ved hjelp av pytagorassetninga

Her kan du sjå ein video som viser korleis ein kan bruke pytagorassetninga i praksis når ein skal lage rette vinklar.

Sjå videoen, og etterpå kan du kanskje bruke noko av det du lærte til å sjekke om hjørna i klasserommet ditt eller i stova heime er rette? Alt du treng, er ein tommestokk eller eit måleband!

Video: Kjell Brørs

CC BY-SASkrive av Olav Kristensen og Stein Aanensen.

Sist fagleg oppdatert 22.06.2021

Læringsressursar

Eigenskapar ved geometriske figurar