Pytagorassetninga

Teikn ein trekant som er rettvinkla og der dei kortaste sidene er tre og fire einingar lange. Figuren viser ein slik trekant som er teikna i GeoGebra. Mål den lengste sida. Blir denne fem einingar lang?

Ta no alle dei tre sidelengdene og multipliser dei med seg sjølve. Du får då kvadratet av sidelengdene.

Kvadratet av sidelengda $$ c$$ er $$ c^2=5^2=25$$.

Kvadratet av sidelengda $$ a$$ er $$ a^2=3^2=9$$.

Kvadratet av sidelengda $$ b$$ er $$ b^2=4^2=16$$.

Samanlikn summen av kvadrata til dei to kortaste sidene med kvadratet til den lengste sida. Kva ser du?

Vi ser at $25=9+16$. Det er det same som $$ c^2=a^2+b^2$$.

Det viser seg at denne samanhengen gjeld for alle trekantar som har ein vinkel på 90°.

For å kunne formulere denne samanhengen med ord gir vi namn på sidene i rettvinkla trekantar.

Den lengste sida i ein rettvinkla trekant kallar vi hypotenus. Dei to kortaste sidene kallar vi katetar.

Pytagorassetninga:

$$ {\mathrm{hypotenus}}^2={{\mathrm{katet}}_1}^2+{{\mathrm{katet}}_2}^2$$

$$ c^2=a^2+b^2$$

Legg merke til namnsetjinga. Vi bruker store bokstavar som namn på punkt eller hjørne i trekanten. Små bokstavar blir brukte som namn og måltal for sidelengdene. Det er vanleg at vi har den same bokstaven på motståande hjørne og sider.

Lag eit kvadrat med sidelengder $a+b$. Sjå figuren til høgre. Du kan til dømes klippe det ut av eit stivt papir, eller du kan teikne det i GeoGebra.

Del sidelengdene i to delar $a$ og $b$, trekk linjer (klipp ut) som vist på figuren, og få på denne måten fire like rettvinkla trekantar. Hypotenusen i trekantane kallar du $c$.

Det grå arealet er eit kvadrat (kvifor?) med sidelengde $c$ og areal $c^2$.

Flytt på trekantane inne i det store kvadratet som vist på neste figur. (I GeoGebra lagar du ei ny teikning. Bruk rutenett.)

Arealet av dei to store kvadrata er like store då sidelengdene er lik $a+b$ .

Samla areal til dei fire rettvinkla trekantane er like store i begge figurane.

Det må bety at dei grå areala i dei to figurane er like store, altså at $$ c^2=a^2+b^2$$ . Dette er nettopp pytagorassetninga for dei rettvinkla trekantane våre.

Døme 1. Hypotenusen er ukjend

Vi ønskjer å finne ut kor lang sida $$ c$$ på figuren er. Dette er hypotenusen i trekanten, og pytagorassetninga gir:

$$ \begin{array}{rcl}{c}^2& = & 2,0^2+5,0^2\\ & & \\ c^2& =& 4,0+25,0\\ & & \\ c^2& =& 29,0\\ & & \\ c& =& \sqrt{29,0}\\ & & \\ c& =& 5,38\approx 5,4\end{array}$$

Sida $$ c$$ er 5,4 centimeter.

Døme 2. Kateten er ukjend

Vi ser no på den neste trekanten. Denne gongen vel vi å bruke CAS for å finne den ukjende sida ved hjelp av pytagorassetninga:

Sida $AB$ er 5,9 meter.

Døme 3. Eit praktisk døme

Ein stige skal plasserast 2,4 meter frå ein husvegg slik at han akkurat når opp til vindaugskarmen i eit vindauge i andre etasje. Vindaugskarmen er 4,6 meter over bakken.

Kor lang må stigen vere?

Løysing

La stigen vere $x$ meter lang.

Pytagorassetninga gir

Stigen må vere $5,2$ meter lang.

Her kan du sjå ein video som viser korleis ein kan bruke pytagorassetninga i praksis når ein skal lage rette vinklar.

Sjå videoen, og etterpå kan du kanskje bruke noko av det du lærte til å sjekke om hjørna i klasserommet ditt eller i stova heime er rette? Alt du treng, er ein tommestokk eller eit måleband!