Volum og overflate

Arealet av grunnflata er $$ 1 320 {cm}^2\hspace{0.17em}=13,2 {\mathrm{dm}}^2$$.

Volumet av eska er

$26 400 {\mathrm{cm}}^3=26,4 {\mathrm{dm}}^3=26,4 \mathrm{L}$

Overflata av eska er lik arealet av botnen pluss arealet av to langsider pluss arealet av to endesider, altså totalt fem sider.

Overflata er $$ 4 600 {\mathrm{cm}}^2=46,0 {\mathrm{dm}}^2$$.

Kartongen rommar

$1 013,8 {\mathrm{cm}}^3=1,0 {\mathrm{dm}}^3=1,0 \mathrm{L}$

Talet på kubikkmeter som må gravast ut, er
$18 750 {\mathrm{m}}^3$.

Kakeboksen rommar 5,54 liter.

Volumet av oljetanken er

$35 {\mathrm{m}}^3=35 000 {\mathrm{dm}}^3=35 000 \mathrm{liter}$

Overflata $O$ av ein sylinder med topp og botn er gitt ved formelen

$O=2\pi r·h+2·\pi r^2$

Overflata av oljetanken er $$ \mathrm{61 }{\mathrm{m}}^2$$.

Høgda til gryta er $$ 1,51 \mathrm{dm}=15 \mathrm{cm}$$.

$$ $ \begin{array}{rcl}V & =& \frac{G·h}{3}\\ & =& \frac{4·4·6}{3}\\ & =& 32\\ & & \end{array}$$$

Vi bruker pytagorassetninga:

$$ $ \begin{array}{rcl}{h}^2 & =& 2^2+6^2\\ & =& 40\\ h & =& \sqrt{40}\\ & =& 6,32\approx 6,3\\ & & \end{array}$$$

Vi har fire trekantar som utgjer sidekantane, og eit kvadrat som utgjer grunnflata:

$$ \begin{array}{rcl}O & =& A_{\square }+4·A_{△}\\ & =& 4·4+4·\frac{4·6,3}{2}\\ & =& 16+4·2·6,3\\ & =& 16+50,4\\ & =& 66,4\end{array}$$

Vi bruker pytagorassetninga:

$$ \begin{array}{rcl}h & =& \sqrt{8,0^2-3,5^2}\\ & =& \sqrt{51,75}\\ & =& 7,19 \approx 7,2\end{array}$$

Høgda i kjegla er 7,2 cm.

Vi bruker formelen:

$$ \begin{array}{rcl}V & =& \frac{\mathrm{\pi }{r}^2·h}{3}\\ & =& \frac{\mathrm{\pi }·3,5^2·7,2}{3}\\ & =& 92,3 \approx 92\end{array}$$

Vi har at volumet er cirka 92 cm².

Vi bruker formelen:

$$ \begin{array}{rcl}O & =& \pi r^2+\pi rs\\ & =& \pi 3,5^2+\pi ·3,5·8,0\\ & =& 126\end{array}$$

Overflatearealet til kjegla er $$ 126 {\mathrm{cm}}^2\approx 1,3 {\mathrm{dm}}^2$$

Volumet av ei kjegle er gitt ved formelen

$$ V=\frac{\pi r^2·h}{3}$$

Volumet av kjegla er $$ 3 619 {\mathrm{cm}}^3\approx 3,62 {\mathrm{dm}}^3$$.

Overflata av ei kjegle med botn er gitt ved formelen
$$ O=\pi r^2+\pi r·s$$.

Vi finn først sidekanten $s$ ved hjelp av pytagorassetninga.

Overflata av kjegla er $$ $ $ \mathrm{1 464} {\mathrm{cm}}^2\approx 14,6 {\mathrm{dm}}^2$$$$.

$$ \begin{array}{rcl}\mathrm{Overflata} & =& 4·\mathrm{\pi }·r^2\\ & =& 4·\mathrm{\pi }·(4,0 \mathrm{cm}{)}^2\\ & =& 200 {\mathrm{cm}}^2=2,0 {\mathrm{dm}}^2\end{array}$$

Overflata av appelsinen er arealet av skalet.

$$ \begin{array}{rcl}\mathrm{Volumet} & =& \frac{4·\mathrm{\pi }·r^3}{3}\\ & =& \frac{4·\mathrm{\pi }·(4,0 \mathrm{cm}{)}^3}{3}\\ & =& 270 {\mathrm{cm}}^3=0,27 {\mathrm{dm}}^3\end{array}$$

Radiusen av sjølve appelsinkjøtet:

$4,0 \mathrm{cm}-0,3 \mathrm{cm}=3,7 \mathrm{cm}$

Volumet av appelsinen utan skal:

$$ \frac{4·\mathrm{\pi }·r^3}{3}=\frac{4·\mathrm{\pi }·(3,7 \mathrm{cm}{)}^3}{3}=210 {\mathrm{cm}}^3=0,21 {\mathrm{dm}}^3$$

Volumet av skalet er ytre volum minus indre, altså

$270 {\mathrm{cm}}^3-210 {\mathrm{cm}}^3=60 {\mathrm{cm}}^3$

Radiusen i kula er den same som radiusen på kjeksen, det vil seie 3,0 cm.

Volumet av ei halvkule med is:

$\frac{4·\mathrm{\pi }·(3,0 \mathrm{cm}{)}^3}{3}·\frac{1}{2}$

Volumet av ei kjegle med is:

$\frac{\mathrm{\pi }·(3,0 \mathrm{cm}{)}^2·12,0 \mathrm{cm}}{3}$

Samla mengde is blir

$$ $ 170 {\mathrm{cm}}^3=0,17 \mathrm{L}=1,7 \mathrm{dL}$$$

Vi løyser oppgåva i GeoGebra:

Tilhengjaren rommar 827 liter.

Her kan det vere greitt å setje opp ei likning. Vi kan rekne ut massen i kg ved å multiplisere talet på liter grus med talet på kg grus per liter. Talet på liter grus får vi ved å multiplisere lengda med breidda og vidare med den ukjende høgda, som vi her kallar $h$. Dette reknestykket skal bli 610 kg, som er den største nyttelasta.

Vi får

$20,37 \mathrm{dm}·11,60 \mathrm{dm}·h·2,5\frac{\mathrm{kg}}{{\mathrm{dm}}^3}=610 \mathrm{kg}$

Her har vi teke med einingane for å kontrollere at vi ikkje har andre typar enn dm og kg. Når vi løyser dette i GeoGebra, kan vi skrive inn einingane og få talsvaret med riktig eining i tillegg. Då må vi i tilfelle bruke kommandoen Løys(likning, variabel) saman med knappen for numerisk utrekning:
$\boxed{\approx }$

Det kan fyllast eit gruslag med ei tjukne på $1,03 \mathrm{dm}=10,3 \mathrm{cm}$.

Alternativ løysing

Vi finn først ut kor mange liter grus vi får av 610 kg. Deretter reknar vi ut arealet av grunnflata i tilhengjaren. Til slutt tek vi volumet av grus og deler på grunnflata for å finne høgda. Vi tek heile tida med einingane i CAS-utrekninga som kontroll.

Vi reknar ikkje topp og botn i dette tilfellet.

Det vil gå med 1,3 liter måling.

Vi bruker pytagorassetninga og finn høgda:

$\begin{array}{c}(\mathrm{sidekant}{)}^2=(\mathrm{radiusen}{)}^2+(\mathrm{høgda}{)}^2\\ \\ s^2=r^2+h^2\end{array}$

Høgda er 5,9 dm.

Volumet er $36 {\mathrm{dm}}^3$.