Areal og omkrins av plane figurar

I 1P har du rekna med ulike måleiningar for lengde og areal. Dersom du treng å repetere noko av dette, finn du lenkjer til artiklane nedst på sida.

I overskrifta står det at vi skal rekne med areal og omkrins av plane figurar. Veit du kva ein plan figur er?

Omkrinsen av ein plan figur kan vi seie er det same som "vegen rundt figuren". Dersom vi har med enkle mangekantar å gjere, summerer vi lengdene til sidekantane.

Vi vil sjå på eit døme med ein samansett figur.

Først tenkjer vi etter kva sider som skal vere med i omkrinsen. Kva er det?

Vi ser at sidan firkanten $$ ABCD$$ er eit rektangel, må vi ha

$ED=AB$

og

$AE=BD=BF+FD$

Vi bruker den rettvinkla trekanten $$ BFC$$ og finn $$ BC$$ ved hjelp av pytagorassetninga:

$$ \begin{array}{rcl}B{C}^2 & =& F{C}^2+B{F}^2\\ & =& 2,0^2+2,0^2\\ & =& 8,0\\ BC & =& \sqrt{8,0}\\ & =& 2,82\approx 2,8\end{array}$$

Til slutt må vi finne lengda av sirkelbogen mellom C og D. For å finne lengda til sirkelbogen, treng vi diameteren $$ CD$$:

$$ $ \begin{array}{rcl}C{D}^2 & =& F{C}^2+D{F}^2\\ & =& 2,0^2+1,0^2\\ & =& 5,0\\ CD & =& \sqrt{5,0}\\ & =& 2,23\approx 2,2\\ & & \end{array}$$$

Lengda av halvsirkelbogen $$ CD$$ blir då

$$ \begin{array}{rcl}CD & =& \frac{2,2·\mathrm{\pi }}{2}\\ & =& 1,1·\mathrm{\pi }\\ & =& 3,45\approx 3,5\end{array}$$

No finn vi omkrinsen av heile figuren:

$$ \begin{array}{rcl}{O}_{ABCDE} & =& AB+BC+CD+DE+AE\\ & =& 2,0\mathrm{cm}+2,8\mathrm{cm}+3,5\mathrm{cm}+2,0\mathrm{cm}+3,0\mathrm{cm}\\ & =& 13,3\mathrm{cm}\end{array}$$

Arealet av eit rektangel

I eit rektangel som er $5$ cm langt og $3$ cm høgt, kan vi få plass til  $3·5=15$  kvadrat som kvar har eit areal på $1$ cm². Det betyr at arealet er på $15$ cm².

Vi kan altså finne arealet til eit rektangel ved å multiplisere grunnlinja med høgda. Vi kan òg seie at vi multipliserer lengda med breidda.

Vi får ein formel for arealet til eit rektangel:

$A=g·h$

Arealet av andre figurar

Vi kan òg lage formlar for arealet av andre figurar.

På figuren kan du samanlikne arealet til rektangelet med grunnlinja $g$ og høgda $h$ med arealet til trekanten med grunnlinja $g$ og høgda $h$.

Kan du forklare at arealet til rektangelet er dobbelt så stort som arealet til trekanten?

Sidan vi kan finne arealet til rektangelet ved å multiplisere grunnlinja med høgda,  $A\left(\mathrm{rektangel}\right)=g·h$, er arealet til trekanten

$$ A\left(\mathrm{trekant}\right)=\frac{g·h}{2}$$

Kva med parallellogram, rombe og trapes?

Du kan no ta for deg eit parallellogram, ein rombe og eit trapes og sjå om du kan lage arealformlar for desse figurane på den same måten som for trekantar. Du kan samanlikne formlane dine med formlane i skjemaet nedanfor.

Arealformel for sirkel

Det er ikkje så lett å gjere ein sirkel om til eit rektangel og på den måten finne formelen for arealet. Vi får likevel ei brukbar tilnærming ved metoden vist i figuren.

Vi deler sirkelen inn i like sektorar. Så stiller vi sektorane annankvar opp og ned, slik at sektorane tilnærma blir eit parallellogram med grunnlinje tilnærma lik  $\frac{2\pi r}{2}=\pi r$  og høgde lik $r$. Arealet blir då tilnærma  $A=\pi r·r=\pi r^2$.

Jo fleire sektorar vi deler sirkelen inn i, jo betre blir tilnærminga. Dersom vi deler sirkelen i veldig mange sektorar, får vi tilnærma eit rektangel.

Areal av samansette figurar

CC BY-SA

Bilete: Tove Annette Holter

Når vi skal rekne arealet av ein samansett figur, må vi først dele opp figuren i formålstenlege delar. Vi ser på den same samansette figuren som vi fann omkrinsen til. Korleis vil du dele opp denne figuren for å finne arealet?

Vi finn dei tre areala og legg dei saman. Vi bruker måla vi fann lenger oppe:

$$ \begin{array}{rcl}{A}_{ABDE} & =& 3,0\mathrm{cm}·2,0\mathrm{cm}\\ & =& 6,0{\mathrm{cm}}^2\\ A_{BCD} & =& \frac{3,0\mathrm{cm}·2,0\mathrm{cm}}{2}\\ & =& 3,0{\mathrm{cm}}^2\\ A_{CD} & =& \frac{\mathrm{\pi }·{\left(1,1\mathrm{cm}\right)}^2}{2}\\ & =& 1,90{\mathrm{cm}}^2\approx 1,9{\mathrm{cm}}^2\\ A_{ABCDE} & =& 6,0{\mathrm{cm}}^2 + 3,0{\mathrm{cm}}^2 + 1,9 {\mathrm{cm}}^2\\ & =& 10,9{\mathrm{cm}}^2\end{array}$$

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-SA

Bilete: Stein Aanensen, Olav Kristensen

Her har vi samla formlane i ein tabell: