Oppgåve

Areal og omkrins av plane figurar

Klarer du å finne arealet og omkrinsen av figurane nedanfor? Oppgåvene kan løysast med alle hjelpemiddel dersom det ikkje står noko anna.

2.3.20

Gitt rektangelet $A B C D$ nedanfor.

Rektangel A B C D der A B er 6,0 meter og B C er 2,0 meter. Illustrasjon. — Bilete: Stein Aanensen, Olav Kristensen / CC BY-SA 4.0

a) Rekn ut arealet av rektangelet.

Løysing

Arealet er $6 m \cdot 2 m = 12 m^{2}$ .

b) Rekn ut lengden av diagonalen $A C$ .

Løysing

Bruker Pytagoras’ læresetning og finn diagonalen.

$\begin{array}{rcl} A C^{2} & = & 6, 0^{2} + 2, 0^{2} \\ A C & = & 6, 32 \end{array}$

Diagonalen $A C$ er ca. 6,3 meter.

c) Rekn ut arealet av trekanten $A B C$ .

Løysing

Arealet av trekanten $A B C$ er

$\frac{6, 0 m \cdot 2, 0 m}{2} = 6, 0 m^{2}$

d) Kva er arealet av trekanten $A C D$ ?

Løysing

Trekantane $A B C$ og $A C D$ er formlike og like store.

Arealet av $A B C$ er difor det same som arealet av $A C D$ , altså 6,0 m².

2.3.21 (utan hjelpemiddel)

Eit kvadrat har sidelengd på 10,0 cm. Rekn ut arealet av kvadratet.

Løysing

Sidene i eit kvadrat har lik lengd.

Arealet av kvadratet er

$10, 0 cm \cdot 10, 0 cm = 100, 0 {cm}^{2}$

2.3.22

a) Mål opp pulten din og rekn ut arealet.
b) Sjekk om du får same areal som eleven nærmast deg.
c) Kva er årsaka dersom de ikkje fekk same svar? Målefeil? Ulik storleik? Avrunding?

2.3.23 (utan hjelpemiddel)

Gitt firkanten $A B C D$ .

Trapes A B C D der hjørnet A er 90 grader og sidene A B og C D er parallelle. Sida A D er 2 meter og sida C D er 6 meter. Normalen frå C ned på A B treff A B i punktet F. Sida B F er 3 meter lang. Illustrasjon. — Bilete: Stein Aanensen, Olav Kristensen / CC BY-SA 4.0

a) Kva slags type firkant er dette? Forklar kvifor.

Løysing

Firkanten $A B C D$ er eit trapes fordi sidene $A B$ og $C D$ er parallelle.

b) Finn arealet av firkanten $A B C D$ .

Løysing

Sidelengda $A B$ er

$6 m + 3 m = 9 m$

Arealet av trapeset $A B C D$ er

$(\frac{9 m + 6 m}{2}) \cdot 2 m = \frac{15 m}{2} \cdot 2 m = 15 m^{2}$

c) Finn arealet av trekanten $F B C$ og rektangelet $A F C D$ .

Løysing

Arealet av trekanten $F B C$ er

$\frac{3 m \cdot 2 m}{2} = 3 m^{2}$

Arealet av rektangelet $A F C D$ er

$6 m \cdot 2 m = 12 m^{2}$

d) Legg saman areala du fann i b). Kva observerer du?

Løysing

Summen blir $3 m^{2} + 12 m^{2} = 15 m^{2}$ .

Arealet av trekanten + arealet av rektangelet er det same som arealet av trapeset. (Heldigvis :))

2.3.24 (utan hjelpemiddel)

Finn arealet av parallellogrammet $E F G H$ .

Parallellogram E F G H der sida G H er 4 desimeter og normalen frå H ned på sida E F har lengda 2 desimeter. Illustrasjon. — Bilete: Stein Aanensen, Olav Kristensen / CC BY-SA 4.0

Løysing

Arealet av parallellogrammet $E F G H$ er grunnlinja multiplisert med høgda.

$4 dm \cdot 2 dm = 8 {dm}^{2}$

2.3.25 (utan hjelpemiddel)

Finn arealet av trekanten $A B C$ .

I trekanten A B C er A B 2 centimeter og B C 5 centimeter. Høgda h går ned frå C og treff forlengingslinja gjennom A B 3 centimeter utanfor B. Illustrasjon. — Bilete: Stein Aanensen, Olav Kristensen / CC BY-SA 4.0

Løysing

Finn først høgda $h$ fra $C$ ned på linja gjennom $A B$ .

Pytagoras’ læresetning gir:

$\begin{array}{rcl} h^{2} & = & 5^{2} - 3^{2} \\ h^{2} & = & 25 - 9 \\ h & = & \sqrt{16} \\ h & = & 4 \end{array}$

Arealet av trekanten $A B C$ er

$\frac{grunnlinje \cdot høgde}{2} = \frac{2 cm \cdot 4 cm}{2} = 4 {cm}^{2}$

2.3.26

Rekn ut arealet av sirkelen.

Sirkel med sentrum S og radius 3,0 centimeter. Illustrasjon. — Bilete: Stein Aanensen, Olav Kristensen / CC BY-SA 4.0

Løysing

$3, 14 \cdot 3, 0^{2} = 28, 27$

Arealet av sirkelen er 28 cm²

2.3.27

Gitt ein halvsirkel med radius 5 m. Rekn ut arealet av halvsirkelen.

Halvsirkel med sentrum i S og radius 5,0 meter. Illustrasjon. — Bilete: Stein Aanensen, Olav Kristensen / CC BY-SA 4.0

Løysing

$\frac{3, 14 \cdot 5, 0^{2}}{2} = 39, 27$

Arealet av halvsirkelen er 39 m².

2.3.28

DVD. Foto. — Bilete: Pixtal, NTB scanpix / CC BY-NC-SA 4.0

Ei DVD-plate har ein diameter på 12,0 cm. Inst er det eit hol med ein diameter på 1,5 cm.
Finn arealet av DVD-plata.

Løysing

Radien til DVD-plata er 6,0 cm, og radien til holet er 0,75 cm.

$3, 14 \cdot 6, 0^{2} - 3, 14 \cdot 0, 75^{2} = 111, 33$

Arealet av DVD-plata er 111 cm².

2.3.29

Mangekant som er bygd opp av to delvis overlappande rektangel der sidene er parvis parallelle. Det eine rektangelet har måla 8000 millimeter og 7000 millimeter, medan det andre har måla 8000 millimeter og 6000 millimeter. Overlappet mellom rektangla er også rektangelforma og har måla 2500 millimeter og 3000 millimeter. Frå motsatt ende av sida som overlappar med 2500 millimeter går ei av sidene i mangekanten direkte til næraste hjørne på det andre rektangelet. Illustrasjon. — Bilete: Stein Aanensen, Olav Kristensen / CC BY-SA 4.0

Stian skal setje opp eit bygg. Grunnflata har form som vist på teikninga ovanfor. Alle måla er gitt i millimeter (mm).

Vis at grunnflata til bygget har eit areal på 107,5 m².

Løysing

Oppgaven kan løses på flere måter. Løsningen her er bare ett av mange alternativ.

Metode:

Finn arealet av dei to store firkantane.

Legg til arealet av trekanten.

Trekkjer i frå det området der dei to firkantane overlappar kvarandre.

Areal av den øvste store firkanten:

$7, 0 m \cdot 8, 0 m = 56, 0 m^{2}$

Areal av den nedste store firkanten:

$8, 0 m \cdot 6, 0 m = 48, 0 m^{2}$

Areal av trekanten:
$\frac{(8, 0 m - 2, 5 m) \cdot 7, 0 m \cdot 3, 0 m)}{2} = \frac{5, 5 m \cdot 4, 0 m}{2} = 11, 0 m^{2}$

Areal av det området som blir med i begge dei store firkantene:

$2, 5 m \cdot 3, 0 m = 7, 5 m^{2}$

Samla areal blir:

$56, 0 m^{2} + 48, 0 m^{2} + 11, 0 m^{2} - 7, 5 m^{2} = 107, 5 m^{2}$

2.3.30

Figur med utgangspunkt i ein likesidet trekant med sider lik 30,0 centimeter. Midt på ei av sidene er det skore ut ein halvsirkel med diameter 10,0 centimeter. Illustrasjon. — Bilete: Stein Aanensen, Olav Kristensen / CC BY-SA 4.0

Figuren nedanfor viser ein likesida trekant med sider 30,0 cm. Utskjeringa er ein halvsirkel med diameter 10,0 cm.

a) Rekn ut høgda i trekanten.

Løysing

Trekanten er likesida. Høgda treff dermed midt på grunnlinja.

Bruk Pytagoras si læresetning og finn høgda $h$ i trekanten.

$\begin{array}{rcl} h^{2} + 15^{2} & = & 30^{2} \\ h^{2} & = & 900 - 225 \\ h^{2} & = & 675 \\ h & = & \sqrt{675} = 25, 98 \end{array}$

Høgda i trekanten er ca. 26,0 cm.

b) Rekn ut arealet av den utskorne trekanten.

Løysing

Arealet av heile trekanten minus arealet av halvsirkelen.

$\frac{30, 0 \cdot 26, 0}{2} - \frac{3, 14 \cdot 5, 0^{2}}{2} = 350, 73$

Arealet er 351 cm².

c) Rekn ut omkrinsen av den utskorne trekanten.

Løysing

Omkrinsen av halvsirkelen er $\frac{π \cdot d}{2}$ .

$\frac{3, 14 \cdot 10}{2} + 30 \cdot 2 + 30 - 10 = 95, 71$

Omkrinsen av trekanten blir dermed 95,7 cm.

2.3.31

Figuren nedanfor viser ei arbeidsteikning. Måla er sette på figuren.

Figur sett sammen av to rektangel og ein likebeina trekant. Inntil den kortaste sida av det første rektangelet er langsiden til det andre rektangelet plassert slik at det stikk ut like mykje på kvar side. Den andre langsida dannar grunnlinja i trekanten, der høgda er 8 centimeter. Grunnlinja i trekanten er største breidde på figuren, som er 12 centimeter. Kortsida i det første rektangelet er 6 centimeter. Heile lengda av figuren er 23 centimeter. Heile lengda på figuren med unntak av trekantdelen er 13 centimeter. Illustrasjon. — Bilete: Stein Aanensen, Olav Kristensen / CC BY-SA 4.0

Rekn ut overflata (arealet) av gjenstanden.

Løysing

Overflata av det store rektangelet:

$6 cm \cdot 13 cm = 78 {cm}^{2}$

Overflata av det vesle rektangelet:

$2 cm \cdot 12 cm = 24 {cm}^{2}$

Overflata av trekanten:

$\frac{12 cm \cdot 8 cm}{2} = 48 {cm}^{2}$

Samla overflate av gjenstanden:

$78 {cm}^{2} + 24 {cm}^{2} + 48 {cm}^{2} = 150 {cm}^{2}$

2.3.32

Kva for ein figur har størst areal, ein sirkel med radius 4,00 cm eller eit kvadrat med sidelengd 7,00 cm?

Løysing

Areal av sirkelen: $π \cdot r^{2} = 3, 14 \cdot 4, 0^{2} = 50, 27 {cm}^{2}$

Areal av kvadratet: $7, 00^{2} {cm}^{2} = 49 {cm}^{2}$

Arealet av sirkelen er størst.

2.3.33

Rekn ut arealet av det skraverte området på figuren.

Rektangel med lengde 6,0 meter og bredde 3,0 meter dekket av to kvarte sirkler med radius 3,0 meter og som er plassert med sentrum i to hjørner diagonalt overfor hverandre. Illustrasjon. — Bilete: Stein Aanensen, Olav Kristensen / CC BY-SA 4.0

Løysing

Areal av heile rektangelet: $6, 0 m \cdot 3, 0 m = 18 m^{2}$

Areal av dei to kvartsirklane: $2 \cdot \frac{π \cdot (3, 0 m)^{2}}{4} = 14, 13 m^{2}$

Arealet av det skraverte området blir: $18 m^{2} - 14, 13 m^{2} = 3, 87 m^{2} \approx 3, 9 m^{2}$

2.3.20

2.3.21 (utan hjelpemiddel)

2.3.22

2.3.23 (utan hjelpemiddel)

2.3.24 (utan hjelpemiddel)

2.3.25 (utan hjelpemiddel)

2.3.26

2.3.27

2.3.28

2.3.29

2.3.30

2.3.31

2.3.32

2.3.33

Reglar for bruk av teksten "Areal og omkrins av plane figurar"