Hopp til innhald
Fagartikkel

Å løyse andregradslikningar utan bruk av abc-formelen

Kva er ei andregradslikning, og korleis kan vi løyse ei andregradslikning utan bruk av abc-formelen?

Ei likning som kan skrivast på forma  ax2+bx+c=0  der  a0, kallar vi ei andregradslikning.

Eit eksempel på ei andregradslikning er x2+4x-5=0.

x2 kallar vi andregradsleddet og a=1.
4x kallar vi førstegradsleddet og b=4.
-5 kallar vi konstantleddet og c=-5.

Nokre gonger må andregradslikninga ordnast for å sjå kva tala a, b og c er.

Andregradslikninga

3-x=-7x22

kan ordnast til likninga

       6-2x = -7x27x2 -2x+6=0

og her ser vi at a=7, b=-2 og c=6.

Ei andregradslikning inneheld alltid andregradsleddet, men førstegradsleddet og konstantleddet kan mangle, det vil seie at b og/eller c kan vere lik 0.

Når konstantleddet manglar

Når konstantleddet c manglar, kan vi samle dei to ledda som står att på venstre side av likskapsteiknet og faktorisere. Faktoren x finst nemleg i begge ledda. Vi nyttar oss av at når eit produkt er lik null, må minst ein av faktorane vere lik null.

Eksempel

x2-2x = 0xx-2=0x=0  x-2=0        (=eller)x=0  x=2

Når eit produkt er lik null, må minst ein av faktorane vere lik null.

Når førstegradsleddet manglar

Vi ordnar likninga slik at x2 blir isolert på venstre side av likskapsteiknet. Så trekkjer vi ut kvadratrota.

Døme

-2x2+18 = 0     -2x2=-18         x2=9          x=9  x=-9         x=3     x=-3

Dersom høgresida blir null etter at likninga er ordna, så får vi berre éi løysing, nemleg x=0. Dersom høgresida blir negativ etter at likninga er ordna, så har likninga ikkje nokon løysingar.

Fullstendige kvadrat

Nokon andregradslikninger kan ordnast slik at venstresida i likninga blir såkalla fullstendige kvadrat.

Hugs at eit fullstendig kvadrat er eit andregradsuttrykk som vi kan faktorisere ved hjelp av første eller andre kvadratsetning.

La oss først sjå på likninga x-32=4. Denne likninga må kunne løysast etter tilsvarande prinsipp som likningar utan førstegradsleddet:

x-32 = 4   x-3=2  x-3=-2    x=5  x=1

I likninga x2-6x+9=4 er venstresida eit fullstendig kvadrat. Etter den andre kvadratsetninga er venstresida lik x-32, og likninga har då løysing som vist ovanfor.

Dette betyr at dersom vi omformar ei andregradslikning slik at det til venstre for likskapsteiknet står eit fullstendig kvadrat, så kan vi løyse likninga.

Første og andre kvadratsetning

a+b2=a2+2ab+b2

a-b2=a2-2ab+b2

Hugsar du korleis vi laga fullstendige kvadrat då vi faktoriserte andregradsuttrykk? Vi bruker same metode no, med ein liten forskjell. Vi treng ikkje subtrahere uttrykket vi adderer. Sidan vi har likningar, kan vi addere det same uttrykket på begge sider av likskapsteiknet.

Eksempel 1

Vi vil løyse likninga

x2+2x-15 = 0


Venstre side er ikkje eit fullstendig kvadrat. Vi ordnar likninga slik at første- og andregradsleddet dannar venstre side:

x2+2x=15
Vi ønskjer venstresida på forma a2+2ab+b2 slik at vi seinare kan erstatte ho med a+b2.

Vi legg til b2 på begge sider av likskapsteiknet:

x2+2x+b2=15+b2 

No ser vi at venstresida blir på forma a2+2ab+b2 viss a=x og 2ab=2x2xb=2xb=1

Vi kan då erstatte venstresida med a+b2=x+12 og kan løyse likninga.

x2+2x+12=15+1   x+12=42       x+1=4     x+1=-4           x=3      x=-5

Eksempel 2

 -42-8x = -2x2   2x2-8x=42          Dividerer alle ledd med 2     x2-4x=21         a=xx2 -4x+b2=21+b2       ha 2ab=4x2xb=4xb=2x2-4x+22=21+4   x-22=25       x-2=5         x-2=-5           x=7             x=-3


Stiremetoden

Vi kan òg løyse likninga x2+2x-15=0 ved stiremetoden som beskrive under faktorisering. Då må vi finne to tal med produkt som er lik -15 og sum som er lik 2. Tala 5 og -3 oppfyller desse krava. Då kan venstresida faktoriserast og likninga blir løyst

x2+2x-15 = 0x+5x-3 = 0x+5 = 0    x-3 = 0x = -5    x = 3


Video: Olav Kristensen / CC BY-NC-SA 4.0