Oppgåver og aktivitetar

Andregradsfunksjonar

Oppgåvene nedanfor skal løysast utan bruk av hjelpemiddel.

3.3.1

Grafen til funksjonen f av x er lik x i andre minus 4 x pluss 3 er teikna i eit koordinatsystem der x-aksen går frå minus 2 til 7. Fire punkt på grafen er markert. Skjermutklipp.

I koordinatsystemet har vi teikna grafen til funksjonen

$f (x) = x^{2} - 4 x + 3$

og markert nokre punkt på grafen.

a) Skriv ned koordinatane til punkta A, B, C og D.

Vis fasit

$A (2, - 1) B (3, 0) C (0, 3) D (4, 3)$

b) Rekn ut $f (0), f (2), f (3) og f (4)$ .

Vis fasit

$\begin{array}{rcl} f (0) & = & 0^{2} - 4 \cdot 0 + 3 = 3 \\ f (2) & = & 2^{2} - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = - 1 \\ f (3) & = & 3^{2} - 4 \cdot 3 + 3 = 9 - 12 + 3 = 0 \\ f (4) & = & 4^{2} - 4 \cdot 4 + 3 = 16 - 16 + 3 = 3 \end{array}$

c) Forklar at koordinatane til punkta på grafen kan skrivast som

$A (2, f (2)), B (3, f (3)), C (0, f (0)), D (4, f (4))$

Vis fasit

Når vi reknar ut $f (2)$ , finn vi funksjonsverdien for $x = 2$ $f (2) = 2^{2} - 4 \cdot 2 + 3 = - 1$ , det vil seie punktet A på grafen. Eit punkt $(b, f (b))$ vil derfor alltid liggje på grafen til $f$ for alle verdiar for $b$ der funksjonen eksisterer.

3.3.2

Bestem kva veg grafane til funksjonane krummar (smil eller sur), og der dei skjer andreaksen, utan å teikne grafane.

a) $f (x) = x^{2} - 7 x + 12$

Vis fasit

Talet for andregradsleddet er positivt. Grafen vil vende den hole sida si opp (smile) og vil då ha eit botnpunkt. Grafen skjer andreaksen i 12.

b) $g (x) = - 2 x^{2} + 2 x + 4$

Vis fasit

Talet føre andregradsleddet er negativt. Grafen vil vende den hole sida si ned (sur) og vil då ha eit toppunkt. Grafen skjer andreaksen i 4.

c) $h (x) = - x^{2} - 8$

Vis fasit

Talet føre andregradsleddet er negativt. Grafen vil vende den hole sida si ned (sur) og vil då ha eit toppunkt. Grafen skjer andreaksen i $- 8$ .

d) $i (x) = 3 x^{2} + 12 x$

Vis fasit

Talet føre andregradsleddet er positivt. Grafen vil vende den hole sida si opp (smile) og vil då ha eit botnpunkt. Grafen skjer andreaksen i 0.

e) Sjekk svara i a) ved å teikne grafane til funksjonane i eit koordinatsystem.

Vis fasit

Fire grafar er teikna med GeoGebra i eit koordinatsystem der x-aksen går frå minus 5 til 6. Det er grafane til f av x er lik x i andre minus 7 x pluss 12, g av x er lik minus 2 x i andre pluss 2 x pluss 4, h av x er lik minus x i andre minus 8 og i av x er lik 3 x i andre pluss 12 x. Grafane til f og i har eit butnpunkt mens grafane til g og h har eit toppunkt. Skjermutklipp. — Grafane i oppgåva

3.3.3

Funksjonen $f$ er gitt ved $f (x) = x^{2} + x - 6$ for verdiar mellom $- 4$ og $3$ .

a) Teikn grafen til $f$ .

Vis fasit

Grafen til funksjonen f av x er lik x i andre pluss x minus 6 er teikna i eit koordinatsystem der x-aksen går frå minus 6 til 6. Skjermutklipp.

b) Finn botnpunktet på grafen til $f$ .

Vis fasit

Grafen til funksjonen f av x er lik x i andre pluss x minus 6 er teikna i eit koordinatsystem der x-aksen går frå minus 6 til 6. Botnpunktet med koordinatane minus 0,5 og 6,25 er teikna inn. Skjermutklipp.

Vi bruker verktøyet "Nullpunkt" i GeoGebra. Botnpunktet er $(- 0.5, - 6.25) .$

c) Finn nullpunkta til $f$ .

Vis fasit

Vi bruker verktøyet "Nullpunkt" i GeoGebra. Nullpunkta er $x = - 3$ og $x = 2$ .

d) Finn der grafen til $f$ skjer $x$ -aksen. Kva kallar vi desse skjeringspunkta?

Vis fasit

Grafen skjer $x$ -aksen for $x = - 3 og x = 2 .$ Skjeringspunkta kallar vi nullpunkt.

3.3.4

Camilla kastar ein ball rett opp i lufta. Etter $t$ sekund er høgda $h$ meter over bakken gitt ved andregradsfunksjonen

$h (t) = 14, 1 t - 4, 9 t^{2} + 1, 8$

a) Teikn grafen til $h$ for dei første 3 sekunda.

Vis fasit

Grafen til funksjonen h av t er lik 14,1 t minus 4,9 t i andre pluss 1,8 er teikna for t-verdiar mellom 0 og 3. Toppunktet A har koordinatane 1,44 og 11,94. Nullpunktet C har koordinatane 3 og 0. Linja y er lik 10 er også teikna inn. Skjeringspunkta mellom linja og grafen til h er D med koordinatane 0,81 og 10 og E med koordinatane 2,07 og 10. Skjermutklipp.

b) Når er ballen 10 meter over bakken?

Vis fasit

Vi teiknar linja $y = 10 .$ Vi finn skjeringspunktet mellom denne linja og grafen til h med kommandoen "Skjering mellom to objekt". Sjå punkta D og E i løysinga til oppgåve a). Ballen er 10 meter over bakken etter 0,8 sekund og etter 2,1 sekund.

c) Når treffer ballen bakken?

Vis fasit

Vi finn nullpunktet med verktøyet "Nullpunkt". Sjå punktet C i løysinga til oppgåve a). Ballen treffer bakken etter 3 sekund.

d) Når er ballen 15 meter over bakken?

Vis fasit

Vi ser av grafen i løysinga til oppgåve a) at ballen aldri når denne høgda.

e) Kor høgt når ballen, og når er ballen på det høgaste punktet sitt?

Vis fasit

Vi finn toppunktet med verktøyet "Ekstremalpunkt". Sjå punkt A i løysinga til oppgåve a). Ballen når det høgaste punktet sitt etter omtrent 1,4 sekund og har då ei høgde på 12 meter over bakken.

3.3.5

Gitt grafane nedanfor.

Grafane til tre ulike andregradsfunksjonar er teikna i eit koordinatsystem med x-verdiar frå minus 5 til 4. Graf A har eit toppunkt med koordinatane minus 2 og 4 og nullpunkt for x er lik minus 4,8 og 0,8. Graf B har eit botnpunkt med koordinatane 1 og 1 og ingen nullpunkt. Graf C har eit toppunkt med koordinatane 2 og minus 2 og ingen nullpunkt. Skjermutklipp.

Set riktig bokstav (A, B, C) føre den andregradsfunksjonen du meiner høyrer til graf A, graf B eller graf C. Prøv deg utan å teikne grafane. Obs: Tre av funksjonsuttrykka høyrer ikkje til nokon av grafane.

$\begin{array}{rcl} ^{} f (x) & = & x^{2} - 2 x + 2 \\ ^{} f (x) & = & - x^{2} - 2 x + 2 \\ ^{} f (x) & = & 2 x^{2} - 2 x + 2 \\ ^{} f (x) & = & - 0, 5 x^{2} - 2 x + 2 \\ ^{} f (x) & = & - 0, 5 x^{2} - 2 x - 6 \\ ^{} f (x) & = & - x^{2} + 4 x - 6 \end{array}$

Vis fasit

$\begin{array}{rcl} B f (x) & = & x^{2} - 2 x + 2 \\ f (x) & = & - x^{2} - 2 x + 2 \\ f (x) & = & 2 x^{2} - 2 x + 2 \\ A f (x) & = & - 0, 5 x^{2} - 2 x + 2 \\ f (x) & = & - 0, 5 x^{2} - 2 x - 6 \\ C f (x) & = & - x^{2} + 4 x - 6 \end{array}$

3.3.6

a) Sjå på dei fire funksjonsuttrykka nedanfor, og finn ut ved rekning

kva veg grafane til funksjonane krummar (smil $☺$ eller sur $☹$ )
kva for nokre av grafane som har toppunkt, og kva for nokre av dei som har botnpunkt
der grafane skjer andreaksen
likninga for symmetrilinja til kvar av grafane
koordinatane til topp- eller botnpunktet til kvar av grafane
verdimengda til funksjonane
nullpunkta til funksjonane

$f (x) = x^{2} - 7 x + 12$

Vis fasit

Når $f (x) = a x^{2} + b x + c$ og $a > 0$ , vil grafen vende den hole sida si opp (smile). Grafen vil då ha eit botnpunkt. Grafen skjer andreaksen i 12 fordi konstantleddet $c = 12$ .

Symmetrilinja er $x = \frac{- b}{2 a} = \frac{7}{2}$ .

Botnpunktet har koordinatane $(\frac{7}{2}, f (\frac{7}{2})) = (\frac{7}{2}, - \frac{1}{4})$ .

$f (\frac{7}{2}) = {(\frac{7}{2})}^{2} - 7 \cdot \frac{7}{2} + 12 = - \frac{1}{4}$

Verdimengda blir då $[- \frac{1}{4}, \to 〉$ .

For å finne nullpunkta løyser vi likninga

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & 0 \\ x^{2} - 7 x + 12 & = & 0 \\ x & = & \frac{7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 12}}{2} = \frac{7 \pm 1}{2} \\ x_{1} & = & 3 x_{2} = 4 \end{array}$

Nullpunkta er 3 og 4.

$g (x) = - 2 x^{2} + 2 x + 4$

Vis fasit

Når $f (x) = a x^{2} + b x + c$ og $a < 0$ , vil grafen vende den hole sida si ned (sur). Grafen vil då ha eit toppunkt. Grafen skjer andreaksen i 4 fordi konstantleddet $c = 4$ .

Symmetrilinja er $x = \frac{- 2}{2 \cdot - 2} = \frac{1}{2}$ .

Toppunktet har koordinatane

$(\frac{1}{2}, \frac{9}{2})$

Verdimengda blir då $〈 \leftarrow, \frac{9}{2}]$ .

For å finne nullpunkta løyser vi likninga

$\begin{array}{rcl} g (x) & = & 0 \\ - 2 x^{2} + 2 x + 4 & = & 0 \\ x & = & \frac{- 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 4}}{2 \cdot (- 2)} = \frac{- 2 \pm 6}{- 4} \\ x_{1} & = & - 1 x_{2} = 2 \end{array}$

Nullpunkta er $- 1$ og $2$ .

$h (x) = - x^{2} - 8$

Vis fasit

Når $f (x) = a x^{2} + b x + c$ og $a < 0$ , vil grafen vende den hole sida si ned (sur). Grafen vil då ha eit toppunkt. Grafen skjer andreaksen i $- 8$ fordi konstantleddet $c = - 8$ .

Symmetrilinja er $x = \frac{- b}{2 a} = \frac{0}{- 2} = 0$ .

Toppunktet fell då saman med skjering med andreaksen: $(0, - 8)$

Verdimengda er $⟨ \leftarrow, - 8]$ .

Grafen til ligg $h$ under $x$ -aksen. $V_{f} = ⟨ \leftarrow, - 8]$ . Funksjonen har derfor ingen nullpunkt.

$i (x) = 3 x^{2} + 12 x$

Vis fasit

Når $f (x) = a x^{2} + b x + c$ og $a > 0$ , vil grafen vende den hole sida si opp (smile). Grafen vil då ha eit botnpunkt. Grafen skjer andreaksen i 0 fordi konstantleddet $c = 0$ .

Symmetrilinja blir $x = \frac{- b}{2 a} = \frac{- 12}{2 \cdot 3} = - 2$ .

Botnpunktet har koordinatane $(- 2, i (- 2)) = (- 2, - 12)$ .

$i (- 2) = 3 \cdot {(- 2)}^{2} + 12 \cdot - 2 = - 12$

Verdimengda blir då $[- 12, \to 〉$ .

For å finne nullpunkta løyser vi likninga

$\begin{array}{rcl} i (x) & = & 0 \\ 3 x^{2} + 12 x & = & 0 \\ 3 x (x + 4) & = & 0 \\ x_{1} & = & - 4 x_{2} = 0 \end{array}$

Nullpunkta er $- 4$ og 0.

b) Sjekk svara i a) ved å teikne grafane til funksjonane i eit koordinatsystem.

Vis fasit

3.3.7

Funksjonen $f$ er gitt ved $f (x) = x^{2} + x - 6$ for $x$ -verdiar mellom $- 4$ og $3$ .

a) Teikn grafen til $f$ .

Vis fasit

b) Bestem botnpunktet til grafen til $f$ grafisk og ved rekning.

Vis fasit

Vi bruker verktøyet "Ekstremalpunkt" i GeoGebra.

Vi ser av grafen at botnpunktet er $(- 0.5, - 6.25)$ .

Ved rekning

Symmetrilinja blir $x = \frac{- 1}{2 \cdot 1} = - 0, 5$ .

y-verdien blir då $f (- 0, 5) = {(- 0, 5)}^{2} - 0, 5 - 6 = - 6, 25$ .

Botnpunktet blir $(- 0, 5, - 6, 25)$ .

c) Bestem grafisk kvar grafen til $f$ skjer koordinataksane.

Vis fasit

Grafen til $f$ skjer førsteaksen i $(- 3, 0)$ og $(2, 0)$ .

Grafen til $f$ skjer andreaksen i $(0, - 6)$ .

d) Bestem ved rekning kvar grafen til $f$ skjer koordinataksane.

Vis fasit

Grafen skjer andreaksen når $x = 0$ :

$f (0) = - 6$

Skjeringspunkta er $(0, - 6)$ .

Grafen skjer andreaksen når $y = 0$

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & 0 \\ x^{2} + x - 6 & = & 0 \\ x & = & \frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 6)}}{2} \\ x & = & - 3 \lor x = 2 \end{array}$

Grafen skjer førsteaksen i punkta $(- 3, 0)$ og $(2, 0)$ .

e) Kva er verdimengda til $f$ ?

Vis fasit

I denne oppgåva skulle vi velje $x$ -verdiar frå og med $- 4$ til og med $3$ .

Definisjonsmengda $D_{f}$ til funksjonen blir dermed $D_{f} = [- 4, 3]$ .

Den lågaste verdien til funksjonen $f$ er $- 6, 25$ . Vi ser grafisk at den høgaste verdien til funksjonen er 6.

Verdimengda $V_{f}$ blir dermed $V_{f} = [- 6.25, 6]$ .

3.3.8

Andreas kastar eit spyd.

Grafen til funksjonen $f$ gitt ved $f (x) = - 0, 01 x^{2} + 0, 85 x + 2, 20$ beskriv banen spydet følgjer gjennom lufta.

Her er $x$ meter målt langs bakken frå staden Andreas kastar spydet frå, og $f (x)$ meter er høgda spydet har over bakken.

a) Teikn grafen til $f$ for $x \geq 0$ .

Vis fasit

Vi teiknar grafen i GeoGebra ved å skrive inn

$f (x) = Funksjon (- 0.01 x^{2} + 0.85 x + 2.20, 0, \infty)$ .

b) Bestem skjeringspunkta mellom grafen til $f$ og aksane.

Bestem toppunktet på grafen til $f$ .

Vis fasit

Vi finn skjeringspunkta mellom aksen og grafen ved å bruke kommandoen "Skjering mellom to objekt".

Grafen skjer $x$ -aksen for $x = 87, 5$ og $y$ -aksen for $y = 2, 2$ .

Vi finn toppunktet ved å bruke verktøyet "Ekstremalpunkt".

Toppunktet er $(42.5, 20.3)$ .

c) Kva fortel svara i b) om spydkastet?

Vis fasit

Andreas kastar ut spydet 2,2 meter over bakken. Spydet når ei høgde på litt over 20 meter, og lengda på kastet er 87,5 meter.

CC BY-SASkrive av Olav Kristensen og Stein Aanensen.

Sist fagleg oppdatert 03.04.2020

Andregradsfunksjonar

3.3.1

3.3.2

3.3.3

3.3.4

3.3.5

3.3.6

3.3.7

3.3.8

Reglar for bruk