Ulikskapar av andre grad

Gitt ulikskapen

$x^2<5x-4$

Vi ordnar først ulikskapen slik at vi får null på høgre side.

$x^2-5x+4<0$

Vi bruker så til dømes abc-formelen og finn nullpunkta til uttrykket $x^2-5x+4$.

$\begin{array}{rcl}{x}^2-5x+4 & = & 0\\ & & \\ x& =& \frac{-\left(-5\right)\pm \sqrt{{\left(-5\right)}^2-4·1·4}}{2·1}\\ & & \\ x& =& \frac{5\pm \sqrt{9}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{5\pm 3}{2}\\ & & \\ x_1& =& 4 \vee x_2=1\end{array}$

Vi veit no at uttrykket $x^2-5x+4$ er lik 0 når $x=1$ og når $x=4$.
Det er berre for desse $x$-verdiane at uttrykket kan skifte forteikn.

Det betyr at uttrykket anten er positivt eller negativt for alle $x$-verdiar i kvart av dei tre intervalla $⟨\leftarrow , 1⟩,⟨1, 4⟩$ og $⟨4, \to ⟩$. For å avgjere om uttrykket er positivt eller negativt i kvart av intervalla, kan vi ta "stikkprøver" for ein $x$-verdi i kvart intervall.

Vi veit at uttrykket kan faktoriserast slik at $x^2-5x+4=\left(x-4\right)\left(x-1\right)$. Det er lettast å bruke det faktoriserte uttrykket når vi tar stikkprøvene.

$x^2-5x+4=\left(x-4\right)\left(x-1\right)$

For $x=0$ får vi

$\left(0-4\right)\left(0-1\right)=\left(-4\right)·\left(-1\right)$. Uttrykket er positivt.

For $x=2$ får vi

$\left(2-4\right)\left(2-1\right)=\left(-2\right)·\left(1\right)$. Uttrykket er negativt.

For $x=5$ får vi

$\left(5-4\right)\left(5-1\right)=\left(1\right)·\left(4\right)$. Uttrykket er positivt.

Det er ikkje naudsynt å rekne ut verdien i parentesane. Det som har noko å seie, er forteikna på parentesuttrykka.

Utfordring!

Ser du at det eigentleg er nok å rekne ut berre éin verdi? Kan du seie kvifor det er riktig?

For å få ei oversikt over situasjonen, set vi opp eit forteiknsskjema. Det består av ei tallinje som viser $x$-verdiane og ei forteiknslinje som viser forteiknet til uttrykket i dei aktuelle intervalla. Heiltrekt linje markerer at uttrykket er positivt i dette talintervallet, og stipla linje markerer at uttrykket er negativt. Ein "0" viser at uttrykket er lik null for denne $x$-verdien.

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-NC-SA

Bilete: Olav Kristensen, Stein Aanensen

Oppgåva vår var å finne ut for kva verdiar av $x$ det stemde at $x^2<5x-4$. Det er det same som å finne ut når $x^2-5x+4<0$. Ut frå forteiknslinja er det no lett å finne løysinga på oppgåva.

Løysinga på oppgåva er at $x$ må liggje mellom 1 og 4. Dette kan vi skrive som eit intervall slik:

$x\in ⟨1, 4⟩$

Skrivemåten betyr "x er med i intervallet ⟨1, 4⟩", altså intervallet frå 1 til 4. Alternativt kan vi skrive svaret som ein dobbel ulikskap:

$1<x<4$

Den doble ulikskapen seier at x skal vere større enn 1 og samtidig mindre enn 4.

Ved CAS i GeoGebra skriv vi den opprinnelege ulikskapen rett inn og bruker knappen $\boxed{\underset{ }{\overset{ }{x}}=}$ . Då vil det sjå ut som vist nedanfor.

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & {\mathrm{x}}^2<5\mathrm{x}-4\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{Løys}: \{1<\mathrm{x}<4\}\end{array}}$

Vi ser at GeoGebra skriv svaret som ein dobbel ulikskap.

Vi kan også skrive ulikskapen inn i kommandoen "Løys()".