Løys oppgåver om prosentvis vekst og eksponentialfunksjonar som modellar.
3.3.55
Tabellen viser dagleg bruk av tid på heime-PC i perioden 1994 til 2006 i minutt for ei bestemd gruppe personar. Tala er frå Statistisk sentralbyrå (SSB).
Årstal
1994
1998
1999
2003
2006
Tid i minutt
10
13
18
35
50
a) Legg punkta i eit koordinatsystem, og bruk eksponentialregresjon til å finne eit funksjonsuttrykk som passar med punkta. La vere talet på år frå 1994 og bruk av tid på heime-PC. Plott punkta og grafen til uttrykket du finn.
Løysing
Vi får plotta både punkta og grafen når vi bruker regresjonsanalyseverktøyet i GeoGebra. Vi lagar ei ny rad i tabellen der vi reknar ut talet på år etter 1994.
Årstal
1994
1998
1999
2003
2006
x
0
4
5
9
12
Tid i minutt
10
13
18
35
50
Vi legg tala inn i to kolonnar i reknearkdelen i GeoGebra, markerer tala og vel knappen "Regresjonsanalyse" frå verktøylinja. Så vel vi "Eksponentiell" som regresjonsmodell og kopierer grafen over i grafikkfeltet.
Vi finn at funksjonen kan beskrivast med uttrykket . Vi seier at dette er ein modell for korleis tidsbruken med heime-PC har utvikla seg. Modellen passar ganske bra med tala (punkta).
b) Kor stor er den gjennomsnittlege, årlege prosentvise auken i bruk av heime-PC etter modellen?
Tips til oppgåva
Bruk vekstfaktoren i modellen.
Løysing
Vekstfaktoren er grunntalet i potensen i modellen, altså 1,15. Det svarer til ein auke på 15 prosent for kvar eining på x-aksen. Sidan eininga på x-aksen er år, blir den årlege prosentvise auken på 15 prosent.
Kommentar: For å vise at ein vekstfaktor på 1,15 svarer til ein auke på 15 prosent, kan vi setje opp uttrykket for vekstfaktoren og få ei likning vi kan løyse:
1+x100=1,15
c) Bruk modellen du fann i a), og finn ut kor mykje tid som vart brukt på heime-PC i 2010 og 2020.
Løysing
År 2010 er 16 år etter 1994, og år 2020 er 26 år etter 1994. Vi løyser oppgåva med CAS ved å setje inn dei aktuelle x-verdiane i modellen.
Her har vi gått ut frå at funksjonen har fått namnet "T" i GeoGebra.
Alternativt kan vi finne svaret ved å skrive inn punkta (16,T(16)) og (26,T(26)).
d) Vurder gyldigheita av modellen fram i tid.
Løysing
Modellen verkar truverdig å bruke i 2010, men at tidsbruken var 367 minutt, det vil seie over 7 timar i 2020, verkar usannsynleg. Modellen vil berre vere gyldig i nokre få år.
e) Korleis ville modellen ha sett ut dersom vi bruker som utgangspunkt at det i 1994 vart brukt i gjennomsnitt 10 minutt til bruk av heime-PC, og den årlege prosentvise auken skulle vere 9,5 prosent?
Løysing
Ein auke på 9,5 prosent gir ein vekstfaktor på 1,095. Dersom vi kallar den nye funksjonen T2x, får vi at
T2x=a·1,095x
Året 1994 svarer til x=0. Det betyr at dersom vi prøver å rekne ut T20, skal vi få 10 til svar. Dette gir oss ei likning.
T20=10a·1,0950=10a·1=10a=10
Modellen blir derfor i dette tilfellet
T2x=10·1,095x
f) Denne statistikken vart avslutta av SSB etter 2014. (Kva er grunnen til det, trur du?)
Gå til SSB (ssb.no), og finn tala ved å søkje på "hjemme-PC". Vel "Minutter brukt til hjemme-PC" som statistikkvariabel, vel alle åra under "År", og vel "Personer med i utvalget i alt" under "Befolkningsgruppe" for å få med heile befolkningsgruppa. Trykk "Vis tabell" nedst nede.
Støttar dei siste målingane i tabellen det vi konkluderte med i oppgåve c)?
3.3.56
Tabellen viser temperaturen i eit kjøleskap dei første timane etter eit straumbrot.
Talet på timar etter straumbrotet
0
4
8
12
16
20
Talet på grader i °C
4,0
4,4
6,0
8,9
12,5
17,9
a) Plott punkta i eit koordinatsystem, og bruk eksponentialregresjon til å finne eit funksjonsuttrykk som passar med punkta. La x vere talet på timar etter straumbrotet og T(x) temperaturen i kjøleskapet. Plott punkta og grafen til uttrykket du finn.
Løysing
Vi legg tala inn i to kolonnar i reknearkdelen i GeoGebra, markerer tala og vel knappen "Regresjonsanalyse" frå verktøylinja. Så vel vi "Eksponentiell" som regresjonsmodell og kopierer grafen over i grafikkfeltet.
Vi finn at funksjonen kan beskrivast med uttrykket T(x)=3,51·1,08x. Vi seier at dette er ein modell for korleis temperaturen i kjøleskapet utviklar seg etter straumbrotet. Modellen passar ganske bra med tala (punkta).
b) Kva kan vekstfaktoren i uttrykket for Tx fortelje oss?
Løysing
Vekstfaktoren er 1,08. Sidan eininga på x-aksen er timar, får vi at temperaturen i kjøleskapet aukar med 8 prosent per time.
c) Vurder gyldigheita til modellen framover i tid. Grunngi svaret ditt.
Løysing
Modellen vil gi ein høgare og høgare temperatur i kjøleskapet. I røynda vil temperaturen nærme seg temperaturen i rommet der kjøleskapet står. Modellen vår er nok ikkje gyldig noko særleg lenger enn cirka eitt døgn etter straumbrotet.
d) Lag ei skisse av korleis du trur temperaturutviklinga i kjøleskapet vil vere dersom vi går ut frå at romtemperaturen er 22 °C.
Tips til oppgåva
Temperaturgrafen må flate ut når temperaturen nærmar seg 22 °C.
3.3.57
Tabellen viser utsleppa av karbondioksid CO2 i verda målt i millionar tonn for nokre utvalde år mellom 1980 og 2006.
Årstal
1980
1990
2000
2005
2006
Utslepp av CO2 i millionar tonn
18 054
20 988
23 509
27 146
28 003
a) Plott punkta i tabellen i eit koordinatsystem, og finn ein matematisk modell som beskriv utsleppa av CO2. La x vere talet på år etter 1980 og U(x) utsleppa av CO2.
Løysing
Vi lagar ei ny rad i tabellen, der vi reknar ut talet på år etter 1980.
Årstal
1980
1990
2000
2005
2006
x
1
10
20
25
26
Utslepp av CO2 i millionar tonn
18 054
20 988
23 509
27 146
28 003
Vi legg tala inn i to kolonnar i reknearkdelen i GeoGebra, markerer tala og vel knappen "Regresjonsanalyse" frå verktøylinja. Så vel vi "Eksponentiell" som regresjonsmodell og kopierer grafen over i grafikkfeltet.
Vi finn at funksjonen kan beskrivast med uttrykket Ux=17847·1,02x. Vi seier at dette er ein modell for korleis utsleppet i verda av CO2 har utvikla seg. Modellen passar ganske bra med tala, men kanskje vi kunne ha brukt lineær regresjon òg?
b) Kva for ein årleg, prosentvis auke i CO2-utslepp gir modellen?
Løysing
Vekstfaktoren er 1,02. Sidan eininga på x-aksen er år, får vi at den årlege, prosentvise auken i CO2-utsleppet er på 2 prosent.
c) Mange land har vedteke å senke utsleppet av CO2 i tida framover. Vurder gyldigheita framover i tid av modellen du fann i a).
Løysing
Uttrykket vi fann i a) er eksponentielt, det vil seie at mengda av CO2-utslepp vil auke meir og meir. Mest sannsynleg vil CO2-utsleppet etter kvart flate ut, og modellen vår blir antakeleg ikkje korrekt langt fram i tid.
d) Finn nyare tal på utslepp av CO2. Ta med i modellen tala for 2010, 2015, 2020 og det nyaste talet du finn.
Korleis blir modellen påverka av dette?
3.3.58
Sol Sikke ville finne ut korleis ei solsikke ho hadde i hagen, vaks veke for veke. Ho målte høgda til solsikka kvar veke i 8 veker. Dei observerte verdiane ser du i tabellen nedanfor.
Etter x veker
1
2
3
4
5
6
7
8
Høgde i cm
16
20
27
40
56
68
107
140
a) Plott punkta i eit koordinatsystem, og finn eit funksjonsuttrykk som passar til punkta.
Løysing
Vi legg tala inn i to kolonnar i reknearkdelen i GeoGebra, markerer tala og vel knappen "Regresjonsanalyse" frå verktøylinja. Så vel vi "Eksponentiell" som regresjonsmodell og kopierer grafen over i grafikkfeltet.
Vi finn at funksjonen kan beskrivast med uttrykket H(x)=11·1,37x. Vi seier at dette er ein modell for korleis solsikka har vakse. Modellen passar ganske bra med tala.
b) Kva fortel vekstfaktoren i modellen oss?
Løysing
Vekstfaktoren er 1,37. Sidan eininga på x-aksen er veker, får vi at den vekefaste veksten i høgda av solsikka er 37 prosent.
c) Vurder gyldigheita til modellen du fann i a).
3.3.59
Punkta i koordinatsystemet nedanfor viser fem observasjonar av lufttrykket målt i millibar på fem ulike høgder over havet.
a) Finn ein matematisk modell som beskriv lufttrykket målt i millibar.
Løysing
Vi les av koordinatane til punkta i koordinatsystemet og får den følgjande tabellen:
Høgde over havet i km
0
2
4
7
10
Lufttrykk målt i millibar
1 000
800
600
400
300
Vi legg tala inn i to kolonnar i reknearkdelen i GeoGebra, markerer tala og vel knappen "Regresjonsanalyse" frå verktøylinja. Så vel vi "Eksponentiell" som regresjonsmodell og kopierer grafen over i grafikkfeltet.
Vi finn at funksjonen kan beskrivast med uttrykketfx=998·0,88x. Vi seier at dette er ein modell for korleis lufttrykket endrar seg med høgda over havet. Modellen ser ut til å passe ganske bra.
b) Kva fortel vekstfaktoren i modellen oss?
Løysing
Vekstfaktoren i modellen er 0,88. Det svarer til ein prosentvis nedgang på 12 prosent. Sidan eininga på x-aksen er km, får vi at lufttrykket blir redusert med 12 prosent for kvar km vi beveger oss rett oppover i lufta.
Noregs høgaste fjell, Galdhøpiggen, ligg 2 469 meter over havet.
c) Kva blir lufttrykket på Galdhøpiggen dersom vi bruker modellen vi fann i a)?
Løysing
Vi løyser oppgåva med CAS ved å setje inn den aktuelle x-verdien inn i modellen.
Etter modellen vår blir lufttrykket på Galdhøpiggen 735 millibar.
Her har vi gått ut frå at funksjonen har fått namnet "f" i GeoGebra.
Alternativt kan vi finne svaret ved å skrive inn punktet (2.469,f(16)).