Oppgåve

Diameter, omkrins, omdreiingstal og skjerefart

Gjennom denne oppgåva skal du bli betre kjend med omgrepa diameter, omkrins, omdreiingstal og skjerefart ved dreiing, fresing og boring.

Diameter og omkrins

Sirkel med markert radius og diameter og formel for omkrins. Illustrasjon. — Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-NC-SA 4.0

Diameteren $d$ i ein sirkel er avstanden frå ei side av sirkelen gjennom sentrum og til den andre avstanden av sirkelen. Diameteren er altså dobbelt så stor som radien $r$ . Du hugsar kanskje samanhengen mellom diameter og omkrins $O$ ? Vi kan altså rekne ut omkrinsen frå diameteren ved å multiplisere med pi (π).

Oppgåve 1

Mange bilmodellar med forbrenningsmotor har ein turteljar (må ikkje blandast saman med ein tripteljar). Kva er dette?

Løysing

Ein turteljar måler kor fort motoren går. I ein forbrenningsmotor betyr det kor fort drivakselen i bilen går rundt, eller omdreiingstalet til drivakselen. Omdreiingstalet kjem vi attende til lenger ned på sida.

Om turteljar på Wikipedia

Oppgåve 2

Kva blir omkrinsen av ein sirkel med diameter 40 cm?

Løysing

Vi bruker formelen for omkrins.

$O = π \cdot d = 3, 14 \cdot 40 cm = 126 cm$

Løysingane på dei andre oppgåvene finn du nedst på sida.

Omdreiingstal

Mann syklar på veltepetter. Foto. — Ein velosiped, også kalla veltepetter. Bilete: Nova / CC BY 4.0

Eit sykkelhjul er sirkelforma. Når vi syklar med jamn fart, roterer sykkelhjulet med eit fast tal på omdreiingar per minutt, omdr./min. Det er dette vi kallar omdreiingstalet, som har symbolet $n$ ("number", kor mange), og omdr./min er ein vanleg måte å måle $n$ på.

Tenk deg at du syklar på denne sykkelen, ein velosiped (“veltepetter”). Har dei to hjula same omdreiingstal? Korleis skal vi finne omdreiingstalet for eit hjul som rullar? Dette skal vi sjå nærare på.

Oppdrag 1

Du treng eit sykkelhjul eller eit anna hjul som du kan trille over golvet.

a) Mål diameteren til hjulet og rekn ut omkrinsen.

b) Dersom du har eit sykkelhjul: Sjå på dekkdimensjonen. Stemmer den med det du har målt?

c) Marker to punkt A og B som ligg omlag 6–10 meter frå kvarandre på golvet/underlaget. Forklar korleis du kan måle denne avstanden med sykkelhjulet. Finn avstanden mellom A og B med sykkelhjulet.

d) Kontrollmål den same avstanden med eit måleband. Vi går ut i frå at målinga med målebandet er mest rett. Kor nær denne målinga kom du når du brukte sykkelhjulet? Kor stort er avviket i prosent?

Oppdrag 2

Vi skal finne omdreiingstalet $n$ til hjulet når du trillar det mellom dei to punkta.

a) Ta tida du bruker på å trille hjulet mellom A og B.

b) Frå oppdrag 1 har du kor mange omdreiingar hjulet gjer mellom A og B. Bruk dette til å finne omdreiingstalet

Oppdrag 3

a) Bruk opplysningane i oppgåve 1 og 2 til å finne ut kor langt hjulet går og kor lang tid det tek når hjulet går 0, 1, 5 og 10 omdreiingar. (Vi går ut i frå at du går med same jamne fart som i oppdrag 2).

Skriv svara i tabellen nedanfor.

Tal på omdreiingar	Lengde hjulet går		Tal på omdreiingar	Tid
0			0
1			1
5			5
10			10

b) Teikn inn desse opplysningane i eit koordinatsystem (på papiret eller med GeoGebra). På $x$ -aksen (førsteaksen) skal du ha talet på omdreiingar.
Er det mogleg å teikne ei rett linje gjennom punkta for lengde og ei anna rett linje gjennom punkta for tid?

c) Bruk koordinatsystemet til å finne ut kor mange omdreiingar hjulet må ta for å trille ein avstand på 30 meter. Kor lang tid tek det?

d) Lag to formlar som du kan bruke til å rekne ut svara i oppgåve a), altså kor langt hjulet går og kor lang tid det tek når hjulet roterer $x$ gonger. Kva er samanhengen mellom desse formlane og dei rette linjene du har teikna?

e) No ser vi for oss at du skulle brukt eit hjul med berre halve diameteren, men du skulle gått like fort. Kva ville omdreiingstalet til dette sykkelhjulet vore i høve til det første hjulet?

Oppdrag 4

Wenche held opp sykkelen sin og ser gjennom framhjulet. Foto. — Wenche og sykkelen hennar. Bilete: Wenche Dypbukt / CC BY-SA 4.0

Wenche er ute og syklar. Ho syklar så fort at omdreiingstalet til hjula er 110 omdr./min. Diameteren på hjulet er 622 mm (Ø:622).

a) Kor fort syklar ho?

b) Kor langt syklar ho på 5 minutt?

c) Kor lang tid tek det å sykle éin kilometer?

d) Ein annan gong sykla ho 3 km på 10 minutt. Kva er omdreiingstalet da?

(I dette oppdraget kan du bruke formelen $s = v t$ for strekning, fart og tid, men det går fint utan også.)

Skjerefart og omdreiingstal

Skjerefarta $v_{c}$ i ein dreiebenk er den farta overflata på arbeidsstykket har i høve til skjereverktyet. Sjå også sida Skjerefart og omdreiingstal.

Oppdrag 5

a) Kva er farta til hjulet i den førre oppgåva?

b) Hald hjulet i lufta og prøv å rotere det med same fart (og omdreiingstal!) som før. Vi tenkjer oss at hjulet no er eit arbeidsstykke som roterer i ein dreiebenk. Kor stor blir skjerefarta $v_{c}$ ytterst på hjulet?

c) Skjerefarta i ein dreiebenk blir til vanleg målt i meter per minutt (m/min). Kva blir skjerefarta i den førre oppgåva målt i m/min?

Formel for skjerefart ved dreiing

Vi kan bruke formelen nedanfor til å rekne ut skjerefarta $v_{c}$ når vi veit diameteren $d$ og omdreiingstalet $n$ .

$v_{c} = \frac{π \cdot d \cdot n}{1 000}$

$v_{c}$ er skjerefarta i m/min, $d$ er diameteren i mm og $n$ omdreiingstalet i omdr./min. Formelen gjeld også ved fresing og boring.

Oppdrag 6

Vi bruker formelen ovanfor.

a) Kva er det du finn når du reknar ut $π \cdot d$ ?

b) Kva er det du finn når du reknar ut $\frac{π \cdot d}{1 000}$ ?

c) Kvifor skal vi dele på 1 000 i formelen, trur du?

Oppdrag 7

Dreiing i ein CNC dreiebenk. Foto. — CNC dreiebenk. Bilete: Science Photo Library, NTB scanpix / CC BY-NC-SA 4.0

a) Rekn ut skjerefarta $v_{c}$ i ein dreiebenk når diameteren $d$ på arbeidsstykket er 30 mm og omdreiingstalet $n$ er 480 omdr./min.

b) Rekn ut skjerefarta når diameteren på arbeidsstykket er 10 mm og omdreiingstalet er 1 440. Samanlikn med det førre svaret. Kvifor vart det slik?

c) Korleis kan du bruke formelen for skjerefarten til å rekne ut omdreiingstalet når skjerefarten er 45 m/min og diameteren på arbeidsstykket er 30 mm? Rekn ut svaret. (Du kan få tips til korleis du kan snu på formelen på sida "Skjerefart og omdreiingstal".)

d) Rekn ut kva diameter arbeidsstykket har når skjerefarten blir 25 m/min når omdreiingstalet er sett til 800 omdr/min.

e) Dersom du har tilgang til eit nomogram: Bruk det til å konrollere at du har rekna rett på oppgåve c) og d).

Løysingsforslag

Oppdrag 1 a)

Vi lagar eit reknedøme der diameteren på hjulet blir målt til 54 cm. Da blir omkrinsen

$O = π \cdot d = 3, 14 \cdot 54 cm = 170 cm$

Oppdrag 1 b)

Du kan lese meir om dekkdimensjonar på Wikipedia (engelsk).

Dekkdimensjonar (Wikipedia)

Oppdrag 1 c), første del

Hvis vi trillar hjulet i ei rett linje mellom A og B, kan vi telje kor mange rundar hjulet går rundt. Det kan vi bruke til å rekne ut avstanden når vi kjenner omkrinsen til hjulet.

Oppdrag 1 c), andre del

Vi tenkjer oss at hjulet i reknedømet med omkrins 170 cm gjekk 4 og ei halv runde rundt på turen frå A til B.

Den halve runda tilsvarer

$\frac{1}{2}$ runde = 0,5 runde (Vi reknar ut brøken.)

Hjulet har gått 4,5 runder på turen. Avstanden mellom A og B blir

$4, 5 \cdot 170 cm = 765 cm$

Oppdrag 1 d)

La oss seie vi målte med måleband at avstanden mellom A og B var 7,77 m. Det betyr at skilnaden på dei to målemetodane var

$7, 77 m - 7, 65 m = 0, 12 m$

Så skal vi finne ut kor mange prosent denne skilnaden er. Vi må rekne i høve til den målemetoden som vi trur er rettast, altså målinga med måleband. Det tyder at vi må finne ut kor mange prosent 0,12 m er av 7,77 m. Det gjer vi ved å dele 0,12 m på 7,77 m og multiplisere med 100 %. Avviket blir da

$\frac{0, 12 m}{7, 77 m} \cdot 100 % = 1, 54 %$

Oppdrag 2 a)

I dette reknedømet brukte vi 5,1 s på å gå mellom A og B.

Oppdrag 2 b)

Hjulet gjekk 4,5 omdreiingar i løpet av 5,1 s. Omdreiingstalet $n$ på golvet/underlaget er talet på omdreiingar per minutt. Vi reknar først ut talet på omdreiingar per sekund (som vi måler i her) og får

$\frac{4, 5 omdr}{5, 1 s} = 0, 882 omdr / s$

For å finne omdreiingstalet målt i omdreiingar per minutt, må vi multiplisere svaret med talet på sekund i eit minutt, altså 60, sidan vi har 60 gonger så lang tid. Omdreiingstalet $n$ blir

$0, 882 \cdot 60 omdr / \min = 53 omdr / \min$

Oppdrag 3 a)

Vi har rekna ut før kor langt hjulet går på ei omdreiing. Det er det same som omkringsen til hjulet, som var 170 cm.

Kor lang tid ei omdreiing tek, finn vi ved å dele tida brukt mellom A og B på talet på omdreiingar mellom A og B – altså det omvendte reknestykket som i den førre oppgåva. Vi får

$\frac{5, 1 s}{4, 5} = 1, 13 s$

(Vi kunne også funne svaret ved å rekne ut $\frac{1}{n}$ . Prøv!)

Da har vi det vi treng for raskt å kunne fylle ut tabellen. Vi reknar ut lengdene først.

$170 cm \cdot \{\begin{cases} 0 & = 0 cm \\ 5 & = 850 cm \\ 10 & = 1 700 cm = 1, 7 m \end{cases}$

Tidene blir

$1, 13 s \cdot \{\begin{cases} 0 & = 0 s \\ 5 & = 5, 7 s \\ 10 & = 11, 3 s \end{cases}$

Oppdrag 3 b)

Det viser seg at det er mogleg å teikne ei rett linje gjennom både punkta for lengde og punkta for tid. Begge linjene går gjennom origo i koordinatsystemet.

Oppdrag 3 c)

Du kan sjå koordinatsystemet og løysinga av oppgåva i lenka nedanfor.

Koordinatsystem laga med GeoGebra og løysing av oppgåva

Vi teiknar først ei vassrett linje der $y = 30$ . Frå skjeringspunktet med linja for avstandane (grønt på figuren) teiknar vi så ei loddrett linje og ser at den kryssar $x$ -aksen for $x = 14, 5$ .

Det tyder at hjulet går 14 og ein halv runde på 30 meter.

Vi finn og skjeringspunktet mellom den loddrette linja og linja for tider (raud farge) og teiknar ei vassrett linje gjennom punktet. Vi ser at den kryssar $y$ -aksen ved $y = 18, 5$ .

Det tyder at det tek 18,5 s å trille dei 30 metrane.

Oppdrag 3 d)

Frå oppgåve a) har vi at ved ei omdreiing med sykkelhjulet går kjem vi 1,70 m framover og det tek 1,13 s. Desse tala multipliserte vi i oppgåva med talet på omdreiingar (som vi no skal kalla $x$ i denne oppgåva) for å rekne ut strekning og tid ved til dømes 5 og 10 omdreiingar av hjulet.

Dersom vi kallar strekninga hjulet går med $x$ omdreiingar for $s$ og tida det tek for $t$ , kan vi setje opp formlar for desse to.

Formel for strekning: $s = 1, 70 x$

Formel for tid: $t = 1, 13 x$

Dersom vi prøver å teikne grafen til desse formlane, får vi dei to linjene vi nettopp teikna i oppgåve c). (Kan du forklare kvifor?)

Oppdrag 3 e)

Dersom diameteren blir halvert, blir også omkrinsen halvert. Det må tyde at hjulet må gå dobbelt så mange omdreiingar som det opprinnelege hjulet på den same tida. Dette tyder vidare at omdreiingstalet, som er talet på omdreiingar per minutt, må vera dobbelt så stort.

Oppdrag 4 a)

Vi reknar først ut omkrinsen til hjulet. Det er

$O = π d = 3, 14 \cdot 622 mm = 1953 mm = 1, 95 m$

Omdreiingstalet fortel at på eitt minutt syklar ho 110 gonger så langt som 1,95 m. Det tyder at farta hennar er

$1, 95 \cdot 110 m / \min = 215 m / \min$

Vi vil rekne om farta til km per time (km/h). På éin time syklar ho 60 gonger så langt som på eitt minutt. Til slutt gjer vi om frå meter til kilometer ved å dele på 1 000. Farta blir

$215 \cdot 60 m / h = 12 870 m / h = 13 km / h$

Oppdrag 4 b)

På 5 minutt syklar ho 5 gonger så langt som på eitt minutt.

$215 m / \min \cdot 5 \min = 1 075 m = 1, 1 km$

Wenche syklar 1,1 km på 5 minutt.

Utfordring: Kvifor får det første svaret eininga meter (m) når vi multipliserer et tal med eininga m/min med eit tal med eininga min?

Oppdrag 4 c)

Farta til Wenche fortel oss at ho bruker éin time, eller 60 minutt, på 13 km. På éin km bruker ho berre 1/13-del av tida.

$\frac{60 \min}{13} = 4, 6 \min$

Dei 4 heile minutta er greie, men kor mange sekund er 0,6 minutt? Sidan det er 60 sekund i eit minutt, må vi multiplisere talet på minutt med 60 for å finne ut kor mange sekund det blir.

$0, 6 \cdot 60 s = 36 s$

Wenche bruker 4 minutt og 36 sekund på å sykle éin km.

Oppdrag 4 d)

Vi må altså finne ut kor mange gonger sykkelhjulet går rundt per minutt på denne turen. Vi startar med å finne ut kor langt ho sykla på eitt minutt når ho sykla 3 km på 10 minutt.

$\frac{3 km}{10} = 0, 3 km = 300 m$

Vi hadde frå oppgåve a) at omkrinsen til sykkelhjulet var 1,95 m. Da må vi finne ut kor mange gonger 1,95 m går opp i 300 m. Det gjer vi ved å dele.

$\frac{300 m}{1, 95 m} = 154$

Det tyder at omdreiingstalet $n = 154 omdr / \min$ .

Oppdrag 5 a)

Farta til hjulet er det same som farta til Wenche – altså 215 m/min dersom vi bruker denne eininga (og det er praktisk i dei neste oppgåvene :-))

Oppdrag 5 b)

Skjerefarta $v_{c}$ må vera den same som farta til hjulet sidan det er farta på hjulet i høve til bakken. Skjerefarta er 215 m/min.

Oppdrag 5 c)

... og da har vi svara på oppgåve c) i oppgåve b)

Oppdrag 6 a)

Når vi multipliserer pi og diameteren får vi omkrinsen, som vi har sett tidlegare på denne sida.

Oppdrag 6 b)

Her er poenget at formelen for skjerefart seier at vi skal ha diameteren $d$ i mm. Da blir også omkrinsen i mm. Dividerer vi med 1 000, får vi omkrinsen i meter, m.

Oppdrag 6 c)

Vi skal dele på 1 000 fordi diameteren er i millimeter, medan skjerefarta skal vera i meter.

Oppdrag 7 a)

Skjerefarta blir $\frac{3, 14 \cdot 30 \cdot 480}{1 000} m / \min = 45, 2 m / \min$

Oppdrag 7 b)

Skjerefarta blir $\frac{3, 14 \cdot 10 \cdot 1 440}{1 000} m / \min = 45, 2 m / \min$

Vi fekk same skjerefart som i a). Det er fordi at diameteren er redusert til ein tredjedel medan omdreiingstalet er tre gonger så stort. Desse to endringane opphever kvarandre.

Oppdrag 7 c)

Her viser vi korleis vi kan løyse det ved å setja opp ei likning.

Vi tek utgangspunkt i formelen for skjerefarta. Vi set inn dei tala vi kjenner og set $x$ på det ukjende omdreiingstalet. Da får vi

$\begin{array}{rcl} 45 & = & \frac{3, 14 \cdot 30 \cdot x}{1 000} \\ 45 & = & \frac{94, 2 x}{1 000} \\ 1 000 \cdot 45 & = & \frac{94, 2 x}{1 000} \cdot 1 000 \\ 45 000 & = & 94, 2 x \\ \frac{45 000}{94, 2} & = & \frac{94, 2 x}{94, 2} \\ 478 & = & x \end{array}$

(Kan du forklare kva som er gjort frå linje til linje?)

Omdreiingstalet blir 478 omdr./min.

Oppdrag 7 d)

Her gjer vi omtrent det same som i den førre oppgåva, berre at no er det diameteren $d$ på arbeidsstykket som blir den ukjende ( $x$ ).

$\begin{array}{rcl} 25 & = & \frac{3, 14 \cdot x \cdot 800}{1 000} \\ 25 & = & \frac{2512 x}{1 000} \\ 1 000 \cdot 25 & = & \frac{2512 x}{1 000} \cdot 1 000 \\ 25 000 & = & 2512 x \\ \frac{25 000}{2512} & = & \frac{2512 x}{2512} \\ 9, 95 & = & x \end{array}$

Arbeidstykket har diameteren 10 mm.