Oppgåver og aktivitetar

Vektorrekning – blanda oppgåver

På denne sida har vi samla oppgåver om vektorrekning.

Her finn du løysingsforslag til kvar oppgåve i boksar lengst nede på sida i staden for under kvar enkelt oppgåve. Hugs at det kan vere lurt å løyse alle oppgåvene både for hand og i GeoGebra så langt det er mogleg. Til nokre av oppgåvene finn du begge løysingsmetodane her.

4.1

Vi har gitt punkta $A (2, 2)$ og $B (6, 2)$ . $A$ og $B$ er hjørne i $∆ A B D$ . $∠ B = 90 °$ , og $A D$ har lengde 5.

a) Bestem koordinatane til $\vec{A B}$ .

b) Finn koordinatane til $D$ .

c) Saman med punktet $C$ dannar $A$ , $B$ og $D$ eit parallellogram. Bestem koordinatane til $C$ .

d) Punktet $E$ ligg på $A D$ . $∠ A E B = 90 °$ . Bestem koordinatane til $E$ .

4.2

Vi har gitt punkta $A (- 2, - 2)$ , $B (8, 2)$ , $C (0, 4)$ , $D (4, - 6)$ og $E (5, 6)$ .

a) Undersøk om $\vec{C D} ⊥ \vec{A B}$ .

b) Undersøk om $\vec{C E} ∥ \vec{A B}$ .

c) Punkta $A$ , $B$ og $C$ dannar ein trekant. Finn koordinatane til skjeringspunktet for medianane til trekanten.

Kva var ein median, igjen?

Ein median er ei linje som går gjennom eit hjørne i trekanten og midtpunktet på den motståande sida. Skjeringspunktet deler medianane i forholdet 2:1.

4.3

Vi har gitt to vektora, $\vec{u} og \vec{v}$ . $∠ (\vec{u}, \vec{v}) = 75 °, |\vec{u}| = 4 og |\vec{v}| = \sqrt{6} + \sqrt{2}$ .

Du får òg oppgitt at $\cos (75 °) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

a) Bestem $\vec{u} \cdot \vec{v}$ .

b) Teikn $\vec{u} og \vec{v}$ på papir.

c) Teikn $\vec{u} + \vec{v} og \vec{u} - \vec{v}$ på papir.

d) Bestem $(\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v})$ .

4.4

Vi har gitt punkta $A (2, 2)$ , $B (10, 4)$ og $D (1, 6)$ .

a) Bestem koordinatane og lengda til $\vec{A B}$ .

b) $A$ , $B$ og $D$ er hjørne i parallellogrammet $A B C D$ . Bestem koordinatane til $C$ .

c) Undersøk om parallellogrammet er eit rektangel.

4.5

Gitt to vektorar $\vec{u} og \vec{v}$ . Du får opplyst at

$\vec{u} \cdot \vec{v} = 9, |\vec{u}| = 3 og |\vec{v}| = 3 \sqrt{2}$ .

a) Vis at $(\vec{v} - \vec{u}) \cdot \vec{u} = 0$ .

b) Bestem $|\vec{v} - \vec{u}|$ .

c) Bruk resultata frå a) og b), og teikn trekanten utspent av $\vec{u} og \vec{v}$ .

4.6

Vi har gitt punkta $A (- 2, 1)$ , $B (2, 1)$ og $C (- 1, 3)$ .

a) Finn vinkelen mellom $\vec{C A} og \vec{C B}$ .

b) Punkta $A$ , $B$ og $C$ dannar ein trekant. Finn vinkel $A$ i trekanten.

4.7

Teikn ein vilkårleg firkant $A B C D$ i grafikkfeltet i GeoGebra (eller ei anna dynamisk programvare). Finn midtpunktet på kvar side. Kall midtpunktet på $A B$ for $E$ , på $B C$ for $F$ , på $C D$ for $G$ og på $A D$ for $H$ .

a) Teikn firkant $E F G H$ , og mål sidelengdene.

b) Dra i hjørna på firkant $A B C D$ . Kva observasjonar gjer du om sidelengdene i $E F G H$ ?

Vi set no $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{B C} = \vec{b} og \vec{C D} = \vec{c}$ .

c) Vis at $\vec{E F} = \frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b})$ .

d) Vis at $\vec{H D} = \frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$ .

e) Uttrykk $\vec{H G}$ ved $\vec{a}, \vec{b} og \vec{c}$ . Kva kan du seie om vektorane $\vec{E F} og \vec{H G} ?$

f) Vis at $\vec{E H} = \vec{F G}$ .

g) Kva har du vist generelt om ein firkant som er definert av midtpunkta på sidekantane til ein vilkårleg firkant?

4.8

Vi har gitt vektorane $\vec{F} og \vec{s}, |\vec{F}| = 180 og |\vec{s}| = 150$ .

a) Finn skalarproduktet mellom $\vec{F} og \vec{s}$ når vinkelen mellom dei er 30^o.

La $\vec{F}$ vere den krafta Magnus bruker når han dreg kjelken sin over isen. Sidan ei kraft blir målt i N (Newton), seier vi at $|\vec{F}| = 150 N$ . Magnus dreg kjelken sin 120 m. Vi seier at forflyttinga er 120 m eller at lengda til forflyttingsvektoren, $\vec{s}$ , er 120 m, $|\vec{s}| = 120 m$ . Magnus dreg med ei kraft som har retning 30^o i forhold til forflyttinga.

Vi definerer arbeidet som Magnus utfører som skalarproduktet mellom $\vec{F}$ og $\vec{s}$ .

b) Kva blir måleininga for arbeid?

c) Kor stort arbeid utfører Magnus?

d) Lag ei teikning som illustrerer situasjonen. Teikn inn vektorane.

4.9

Vi har gitt vektorane $\vec{a} = [2, 3] og \vec{b} = [- 3, 5]$ .

a) Finn skalarproduktet mellom vektorane.

b) Finn lengda til vektorane.

c) Finn vinkelen mellom vektorane.

4.10

Vi har gitt punktet $A (1, 3)$ og vektorane $\vec{a} = [2, 3] og \vec{b} = [- 3, 5]$ .

a) Finn ei parameterframstilling til ei linje $l$ som går gjennom $A$ og har $\vec{a}$ som retningsvektor.

b) Finn ei parameterframstilling for ei linje $m$ som går gjennom $A$ og som er parallell med $\vec{b}$ .

c) Finn ei parameterframstilling for ei linje $n$ som går gjennom $A$ og står vinkelrett på $\vec{b}$ .

d) Finn ei parameterframstilling for ei linje $o$ som er parallell med $\vec{a}$ med avstand lik $\sqrt{13}$ frå $l$ .

e) Finn skjeringspunkta mellom $n$ og $o$ .

Løysingar

4.1 for hand

a) $\vec{A B} = [6 - 2, 2 - 2] = [4, 0]$

b) Vi ser av a) at $A B$ er parallell med $x$ -aksen. Sidan $∠ B = 90 °$ , veit vi dermed at $B D$ er parallell med $y$ -aksen. Då har vi at $x$ -koordinaten til $D$ er lik $x$ -koordinaten til $B$ , altså 6. Då set vi $D = (6, y)$ :

$\begin{array}{rcl} |\vec{A D}| & = & 5 \\ |[6 - 2, y - 2]| & = & 5 \\ \sqrt{4^{2} + {(y - 2)}^{2}} & = & 5 \\ 4^{2} + {(y - 2)}^{2} & = & 5^{2} \\ 16 + y^{2} - 4 y + 4 & = & 25 \\ y^{2} - 4 y - 5 & = & 0 \\ (y + 1) (y - 5) & = & 0 \\ y_{1} & = & - 1 \\ y_{2} & = & 5 \end{array}$

Sidan det er vanleg å la punktnummerering i geometriske figurar gå mot klokka, vel vi $y = 5$ og får at $D$ har koordinatane $(6, 5)$ .

c) Vi veit at $\vec{B C} = \vec{A D}$ .

$\begin{array}{l} \vec{A D} = [6 - 2, 5 - 2] = [4, 3] \\ \vec{O C} = \vec{O B} + \vec{A D} = [6, 2] + [4, 3] = [10, 5] \end{array}$

Punktet $C$ har altså koordinatane $(10, 5)$ .

d) Sidan $E$ ligg på $A D$ , kan vi setje

$\vec{A E} = k \cdot \vec{A D} = k [4, 3] = [4 k, 3 k]$

$\vec{O E} = \vec{O A} + \vec{A E} = [2, 2] + [4 k, 3 k] = [2 + 4 k, 2 + 3 k]$

Vi får då at $E = (2 + 4 k, 2 + 3 k)$ .

$\vec{B E} = [4 k + 2 - 6, 3 k + 2 - 2] = [4 k - 4, 3 k]$

$∠ A E B = 90 ° \Leftrightarrow \vec{A D} \cdot \vec{B E} = 0$

$\begin{array}{rcl} \vec{A D} \cdot \vec{B E} & = & 0 \\ [4, 3] \cdot [4 k - 4, 3 k] & = & 0 \\ 16 k - 16 + 9 k & = & 0 \\ 25 k & = & 16 \\ k & = & \frac{16}{25} \end{array}$

$\begin{array}{rcl} E & = & (2 + 4 k, 2 + 3 k) \\ = & (2 + \frac{4 \cdot 16}{25}, 2 + \frac{3 \cdot 16}{25}) \\ = & (\frac{114}{25}, \frac{98}{25}) \end{array}$

4.1 med CAS i GeoGebra

a) Vi startar med å definere punkta og finne vektoren:

CAS-utrekning i GeoGebra. På den første linja står det A kolon er lik parentes 2 komma 2 parentes slutt. På den andre linja står det B kolon er lik parentes 6 komma 2 parentes slutt. På den tredje linja står det A B kolon er lik Vektor parentes A komma B parentes slutt. Svaret er gitt som A B kolon er lik parentes 4 over 0 parentes slutt. Skjermutklipp.

b) Vi set inn punkt $D$ og løyser den same likninga som over:

CAS-utrekning i GeoGebra: På linje 4 står det D kolon er lik parentes 6 komma y parentes slutt. På linje 5 står det A D kolon er lik vektor parentes A komma D parentes slutt. Svaret er gitt som A D kolon er lik parentes 4 over y minus 2 parentes slutt. På linje 6 står det l kolon er lik Lengde parentes A D parentes slutt. Svaret er gitt som l kolon er lik kvadratrota av parentes y minus 2 parentes slutt opphøgd i 2 pluss 16. På linje 7 står det l er lik 5. Svaret med Løys er sløyfeparentes y er lik minus 1 komma y er lik 5 sløyfeparentes slutt. Skjermutklipp.

Vi vel $y = 5$ og får $D = (6, 5)$ .

c) Vi bruker dei same opplysningane som i "for hand"-løysinga og set inn i CAS (vi hugsar at $\vec{A D} = \vec{B C}$ ):

CAS-utrekning i GeoGebra. På linje 8 står det D med låg indeks 1 kolon er lik parentes 6 komma 5 parentes slutt. Svaret er det same. På linje 9 står det B C kolon er lik Vektor parentes A komma D med låg indeks 1 parentes slutt. Svaret er gitt som B C kolon er lik parentes 4 over 3 parentes slutt. På linje 10 står det O C kolon er lik Vektor parentes B parentes slutt pluss B C. Svaret er gitt som O C kolon er lik parentes 10 over 5 parentes slutt. Skjermutklipp.

Punktet er altså $(10, 5)$ .

CAS-utrekning i GeoGebra. På linje 11 står det A E kolon er lik k multiplisert med B C. Svaret er gitt som A E kolon er lik parentes 4 k over 3 k parentes slutt. På linje 12 står det B E kolon er lik Vektor parentes B komma A parentes slutt pluss A E. Svaret er gitt som B E kolon er lik parentes 4 k minus 4 over 3 k parentes slutt. På linje 13 står det B C multiplisert med B E er lik 0. Svaret med Løys er k er lik 16 delt på 25. På linje 14 står det O E kolon er lik Vektor parentes A parentes slutt pluss A E. Svaret er gitt som O E kolon er lik parentes 4 k pluss 2 over 3 k pluss 2 parentes slutt. På linje 15 står det O E kolon er lik parentes 4 k pluss 2 komma 3 k pluss 2 parentes slutt. Under dette er det skrive inn ByttUt komma k er lik 16 delt på 25 kolon C kolon er lik parentes 114 delt på 25 komma 98 delt på 25 parentes slutt. Skjermutklipp.

4.2 for hand

a)
$\begin{array}{l} \vec{A B} = [8 - (- 2), 2 - (- 2)] = [10, 4] \\ \vec{C D} = [4 - 0, - 6 - 4] = [4, - 10] \\ \vec{C D} ⊥ \vec{A B} \Leftrightarrow \vec{C D} \cdot \vec{A B} = 0 \\ \vec{C D} \cdot \vec{A B} = [10, 4] \cdot [4, - 10] = 40 - 40 = 0 \end{array}$

Sidan skalarproduktet er null, er dei to vektorane ortogonale.

b)
$\begin{array}{l} \vec{A B} = [10, 4] \\ \vec{C E} = [5 - 0, 6 - 4] = [5, 2] \\ \vec{C E} ∥ \vec{A B} \Leftrightarrow \vec{C E} = k \cdot \vec{A B} \\ [5, 2] = \frac{1}{2} \cdot [10, 4] \end{array}$

c)
Vi kallar midtpunktet på $B C$ for $M$ og finn koordinatane til $\vec{A M}$ :

$\vec{A M} = \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{B C} = [10, 4] + \frac{1}{2} [- 8, 2] = [6, 5]$

Vi kallar skjeringspunktet mellom medianane for $S$ og får:

$\vec{O S} = \vec{O A} + \frac{2}{3} \vec{A M} = [- 2, - 2] + \frac{2}{3} [6, 5] = [2, \frac{4}{3}]$

Punktet $S$ har altså koordinatane $(2, \frac{4}{3})$ .

4.2 med CAS i GeoGebra

a)
Vi definerer punkta, finn vektorane og viser at skalarproduktet mellom dei er 0:

CAS-utrekning i GeoGebra. Linje 1 til 5 definerer punkta A til E. Linje 6 og 7 definerer vektorane A B lik 10 over 4 og C D lik 4 over minus 10. Linje 8 viser at A B multiplisert med C D er lik 0. Skjermutklipp.

b) Vi definerer $\vec{C E}$ og viser at vi kan finne eit svar på likninga $\vec{A B} = t \cdot \vec{C E}$ .

c) Vi kallar midtpunktet på $B C$ for $M$ og skjeringspunktet $S$ . Vi finn $\vec{A M}$ og bruker han til å finne $\vec{O S}$ .

CAS-utrekning i GeoGebra. Linje 9 definerer C E-vektor som 5 over 2. Linje 10 løyser likninga C E er lik t multiplisert med A B og får svaret t er lik ein halv. Linje 11 definerer A M-vektor som vektor frå A til midtpunktet på B C. Linje 12 definerer A S-vektor som vektor frå A pluss to tredjedelar multiplisert med A M. Svaret er gitt som A S kolon er lik parentes 2 over 4 tredjedelar parentes slutt. Skjermutklipp.

4.3

a)
$\begin{array}{rcl} \vec{u} \cdot \vec{v} & = & |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos (\vec{u}, \vec{v}) \\ = & 4 \cdot (\sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \\ = & 6 - 2 \\ = & 4 \end{array}$

Bilete frå GeoGebra. To vektorar. u-vektor er vannrett, og v-vektor startar i startpunktet til u-vektor. Vinkelen mellom dei to er 75 grader. Skjermutklipp.

Bilete frå GeoGebra. Fem vektorar. u-vektor er vassrett. v-vektor går skrått til høgre oppover frå endepunktet til u-vektor. Minus v-vektor går skrått til venstre nedover frå endepunktet til u-vektor. u pluss v-vektor går frå startpunktet til u-vektor til endepunktet til v-vektor. u minus v-vektor går frå startpunktet til u-vektor til endepunktet til v-vektor. Skjermutklipp.

d)
$\begin{array}{rcl} (\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v}) & = & {\vec{u}}^{2} - {\vec{v}}^{2} \\ = & 4^{2} - {(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{2} \\ = & 16 - 6 - 2 \sqrt{12} - 2 \\ = & 8 - 4 \sqrt{3} \end{array}$

4.4

a)
$\begin{array}{l} \vec{A B} = [10 - 2, 4 - 2] = [8, 2] \\ |\vec{A B}| = \sqrt{8^{2} + 2^{2}} = \sqrt{68} = 2 \sqrt{17} \end{array}$

b)
$\vec{O C} = \vec{O D} + \vec{D C} = \vec{O D} + \vec{A B} = [1, 6] + [8, 2] = [9, 8]$

Punkt $C$ har koordinatane $(9, 8)$ .

c)
Dersom parallellogrammet er eit rektangel, må alle vinklane vere rette. Sidan to og to vinklar i eit parallellogram er like og vinkelsummen er 360 grader, veit vi at dersom ein vinkel er rett, må alle vinklane vere rette.

Vi undersøkjer om $∠ A$ er rett:

$\begin{array}{l} \vec{A B} ⊥ \vec{A D} \Leftrightarrow \vec{A B} \cdot \vec{A D} = 0 \\ \vec{A B} \cdot \vec{A D} = [8, 2] \cdot [1 - 2, 6 - 2] = - 8 + 8 = 0 \end{array}$

Parallellogrammet er eit rektangel.

4.5

a)
$\begin{array}{rcl} (\vec{v} - \vec{u}) \cdot \vec{u} & = & \vec{v} \cdot \vec{u} - \vec{u} \cdot \vec{u} \\ = & 9 - 3 \cdot 3 \\ = & 0 \end{array}$

b)
$\begin{array}{rcl} |\vec{v} - \vec{u}| & = & \sqrt{{(\vec{v} - \vec{u})}^{2}} \\ = & \sqrt{{(\vec{v})}^{2} - 2 \cdot \vec{v} \cdot \vec{u} + {(\vec{u})}^{2}} \\ = & \sqrt{{(3 \sqrt{2})}^{2} - 2 \cdot 9 + 3^{2}} \\ = & 3 \end{array}$

c)
Vi veit frå a) at trekanten er rettvinkla og frå b) at trekanten er likebeint:

Bilete frå CAS i GeoGebra. Ein rettvinkla trekant er teikna av tre vektorar, u-vektor, v-vektor og u minus v-vektor. Skjermutklipp.

4.6

CAS-utrekning i GeoGebra. Linjene 1 til 3 definerer punkta A parentes minus 2 komma 1 parentes slutt, B parentes 2 komma 1 parentes slutt og C parentes minus 1 komma 3 parentes slutt. Linje 4 definerer C A-vektor som minus 1 over minus 2. Linje 5 definerer C B-vektor som 3 over minus 2. Linje 6 reknar ut vinkelen mellom dei to i grader. Svaret er gitt som 82,87. Linje 7 definerer A B-vektor som 4 over 0. Linje 8 reknar ut vinkelen mellom A B-vektor og minus C A-vektor. Svaret er gitt som 63,43. Skjermutklipp.

a) Vi startar med å definere punkta og finne vektorane. Så finn vi vinkelen i grader ved å bruke vinkelkommandoen og dele på gradeteiknet. Vinkelen mellom dei to vektorane er 82,87 grader.

b) Vi definerer $A B$ -vektor og finn vinkelen mellom $A B$ -vektor og $A C$ -vektor. Legg merke til at $\vec{A C} = - \vec{C A}$ . Vinkelen er 63,43 grader.

4.7

Denne oppgåva er utforskande, så her kjem berre nokre antydingar og tips til løysing.

b) Du kan observere at dei motståande sidene i EFGH vil vere like lange uansett korleis du dreg i hjørna til ABCD.

e) De to vektorane er like.

f) Her kan du følgje mønsteret frå c) til e).

g) Vi har vist det vi observerte i b), at ein slik firkant alltid vil vere eit parallellogram.

4.8

$\begin{array}{rcl} \vec{F} \cdot \vec{s} & = & |\vec{F}| \cdot |\vec{s}| \cdot \cos ∠ (\vec{F}, \vec{s}) \\ = & 150 \cdot 120 \cdot \cos 30 ° \\ = & 18 000 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \\ = & 9 000 \cdot \sqrt{3} \end{array}$

b) Sidan arbeid er eit produkt av dei to vektorane, blir måleininga òg produktet av måleiningane til vektorane, altså Nm. Denne måleininga blir ofte kalla for Joule, forkorta til J.

c) Kombinasjonen av det vi fann i a) og b) gir oss at arbeidet Magnus utfører, er $9 000 \cdot \sqrt{3} Nm \approx 15 590 Nm$ .

d) Teikninga kan sjå slik ut:

Bilete av ein kjelke. Frå framsida på kjelken går ein vektor vassrett til venstre som er 120 m lang. 30 grader til denne står ein vektor som er 150 N. Illustrasjon. — Kjelke med vektorar for kraft og strekning

4.9

Vi bruker GeoGebra (rekn det gjerne ut for hand òg):

CAS-utrekning i GeoGebra. I linje 1 og 2 definerer vi vektorane a og b som 2 over 3 og minus 3 over 5. I linje 3 finn vi skalarproduktet som er lik 9. I linje 4 og 5 finn vi lengdene som er rota av 13 og rota av 34. I linje 6 finn vi vinkelen, som er 64,65 grader. Skjermutklipp. — Løysing 4.9 i CAS

4.10

a) $l : \{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = 3 + 3 t \end{cases}$

b) $m : \{\begin{cases} x = 1 - 3 t \\ y = 3 + 5 t \end{cases}$

c) Vi har at $[5, 3] ⊥ [- 3, 5]$ . Da får vi $\begin{array}{l} n : \{\begin{cases} x = 1 + 5 t \\ y = 3 + 3 t \end{cases} \end{array}$

d) Vi må finne eit punkt på $o$ som ligg med riktig avstand frå $l$ . Dette kan vi gjere ved å finne ein vektor frå $A$ med lengde $\sqrt{13}$ som står vinkelrett på $\vec{a}$ . Desse to krava gir oss det følgjande likningssystemet:

$\begin{array}{l} [x - 1, y - 3] \cdot [2, 3] = 0 \\ \sqrt{{(x - 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2}} = \sqrt{13} \end{array}$

Dette gir den følgjande løysinga:

CAS-utrekning i GeoGebra. I linje 1 står det Vektor parentes x minus 1 komma y minus 3 parentes slutt multiplisert med vektor parentes 2 komma 3 parentes slutt er lik 0. Dette er gjort om til 2 x pluss 3 y minus 11 er lik 0. I linje 2 står det rota av parentes x minus 1 parentes slutt opphøgd i 2 pluss parentes y minus 3 parentes slutt opphøgd i 2 er lik rota av 13. I linje 3 er likningssystemet dei to første linjene gir oss, løyst. Det er gitt to moglege løysingar, anten x lik minus 2 og y lik 5 eller x lik 4 og y lik 1. Skjermutklipp.

Vi ser at vi får to moglegheiter for $o$ (tenk gjennom kvifor):

$\begin{array}{l} o_{1} : \{\begin{cases} x = - 2 + 2 t \\ y = 5 + 3 t \end{cases} \\ o_{2} : \{\begin{cases} x = 4 + 2 t \\ y = 1 + 3 t \end{cases} \end{array}$

e) Vi får to ulike løysingar alt etter kva versjon av $o$ vi vel:

CAS-utrekning i Geogebra. Linje 1 definerer linje n som linja gjennom punktet parentes 1 komma 3 parentes slutt med retningsvektor parentes minus 3 komma 5 parentes slutt. Linje 2 definerer linje o med låg indeks 1 som linja gjennom punktet parentes minus 2 komma 5 parentes slutt med retningsvektor parentes 2 komma 3 parentes slutt. Linje 3 definerer linje o med låg indeks 2 som linja gjennom punktet parentes 4 komma 1 parentes slutt med retningsvektor parentes 2 komma 3 parentes slutt. I linje 4 finn vi skjering mellom n og o med låg indeks 1 som er punktet 40 komma 68. I linje 5 finn vi skjering mellom n og o med låg indeks 2 som er minus 38 komma minus 62. Skjermutklipp.

Vi får altså at dei to moglege skjeringspunkta er $(40, 68) og (- 38, - 32)$ .

CC BY-SASkrive av Tove Annette Holter, Olav Kristensen og Stein Aanensen.

Sist fagleg oppdatert 24.02.2022

Vektorrekning – blanda oppgåver

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

4.6

4.7

4.8

4.9

4.10

Løysingar

Reglar for bruk