På denne sida har vi samla oppgåver om vektorrekning.
Her finn du løysingsforslag til kvar oppgåve i boksar lengst nede på sida i staden for under kvar enkelt oppgåve. Hugs at det kan vere lurt å løyse alle oppgåvene både for hand og i GeoGebra så langt det er mogleg. Til nokre av oppgåvene finn du begge løysingsmetodane her.
4.1
Vi har gitt punkta og B(6,2). A og B er hjørne i ∆ABD. ∠B=90°, og AD har lengde 5.
a) Bestem koordinatane til AB→.
b) Finn koordinatane til D.
c) Saman med punktet C dannar A, B og D eit parallellogram. Bestem koordinatane til C.
d) Punktet E ligg på AD. ∠AEB=90°. Bestem koordinatane til E.
4.2
Vi har gitt punkta A(-2,-2), B(8,2), C(0,4), D(4,-6) og E(5,6).
a) Undersøk om CD→⊥AB→.
b) Undersøk om CE→∥AB→.
c) Punkta A, B og C dannar ein trekant. Finn koordinatane til skjeringspunktet for medianane til trekanten.
Kva var ein median, igjen?
Ein median er ei linje som går gjennom eit hjørne i trekanten og midtpunktet på den motståande sida. Skjeringspunktet deler medianane i forholdet 2:1.
4.3
Vi har gitt to vektora, u→ogv→. ∠u→,v→=75°,u→=4ogv→=6+2.
Du får òg oppgitt at cos75°=6-24.
a) Bestem u→·v→.
b) Teikn u→ogv→ på papir.
c) Teikn u→+v→ogu→-v→ på papir.
d) Bestem u→+v→·u→-v→.
4.4
Vi har gitt punkta A(2,2), B(10,4) og D(1,6).
a) Bestem koordinatane og lengda til AB→.
b) A, B og D er hjørne i parallellogrammet ABCD. Bestem koordinatane til C.
c) Undersøk om parallellogrammet er eit rektangel.
4.5
Gitt to vektorar u→ogv→. Du får opplyst at
u→·v→=9,u→=3ogv→=32.
a) Vis at v→-u→·u→=0.
b) Bestem v→-u→.
c) Bruk resultata frå a) og b), og teikn trekanten utspent av u→ogv→.
4.6
Vi har gitt punkta A(-2,1), B(2,1) og C(-1,3).
a) Finn vinkelen mellom CA→ogCB→.
b) Punkta A, B og C dannar ein trekant. Finn vinkel A i trekanten.
4.7
Teikn ein vilkårleg firkant ABCD i grafikkfeltet i GeoGebra (eller ei anna dynamisk programvare). Finn midtpunktet på kvar side. Kall midtpunktet på AB for E, på BC for F, på CD for G og på AD for H.
a) Teikn firkant EFGH, og mål sidelengdene.
b) Dra i hjørna på firkant ABCD. Kva observasjonar gjer du om sidelengdene i EFGH?
Vi set no AB→=a→,BC→=b→ogCD→=c→.
c) Vis at EF→=12a→+b→.
d) Vis at HD→=12a→+b→+c→.
e) Uttrykk HG→ ved a→,b→ogc→. Kva kan du seie om vektorane EF→ogHG→?
f) Vis at EH→=FG→.
g) Kva har du vist generelt om ein firkant som er definert av midtpunkta på sidekantane til ein vilkårleg firkant?
4.8
Vi har gitt vektorane F→ogs→,F→=180ogs→=150.
a) Finn skalarproduktet mellom F→ogs→ når vinkelen mellom dei er 30o.
La F→ vere den krafta Magnus bruker når han dreg kjelken sin over isen. Sidan ei kraft blir målt i N (Newton), seier vi at F→=150N. Magnus dreg kjelken sin 120 m. Vi seier at forflyttinga er 120 m eller at lengda til forflyttingsvektoren, s→, er 120 m, s→=120m. Magnus dreg med ei kraft som har retning 30o i forhold til forflyttinga.
Vi definerer arbeidet som Magnus utfører som skalarproduktet mellom F→ og s→.
b) Kva blir måleininga for arbeid?
c) Kor stort arbeid utfører Magnus?
d) Lag ei teikning som illustrerer situasjonen. Teikn inn vektorane.
4.9
Vi har gitt vektorane a→=2,3ogb→=-3,5.
a) Finn skalarproduktet mellom vektorane.
b) Finn lengda til vektorane.
c) Finn vinkelen mellom vektorane.
4.10
Vi har gitt punktet A(1,3) og vektorane a→=2,3ogb→=-3,5.
a) Finn ei parameterframstilling til ei linje l som går gjennom A og har a→ som retningsvektor.
b) Finn ei parameterframstilling for ei linje m som går gjennom A og som er parallell med b→.
c) Finn ei parameterframstilling for ei linje n som går gjennom A og står vinkelrett på b→.
d) Finn ei parameterframstilling for ei linje o som er parallell med a→ med avstand lik 13 frå l.
e) Finn skjeringspunkta mellom n og o.
Løysingar
4.1 for hand
a) AB→=6-2,2-2=4,0
b) Vi ser av a) at AB er parallell med x-aksen. Sidan ∠B=90°, veit vi dermed at BD er parallell med y-aksen. Då har vi at x-koordinaten til D er lik x-koordinaten til B, altså 6. Då set vi D=6,y:
Sidan det er vanleg å la punktnummerering i geometriske figurar gå mot klokka, vel vi y=5 og får at D har koordinatane (6,5).
c) Vi veit at BC→=AD→.
AD→=6-2,5-2=4,3OC→=OB→+AD→=6,2+4,3=10,5
Punktet C har altså koordinatane (10,5).
d) Sidan E ligg på AD, kan vi setje
AE→=k·AD→=k4,3=4k,3k
OE→=OA→+AE→=2,2+4k,3k=2+4k,2+3k
Vi får då at E=2+4k,2+3k.
BE→=4k+2-6,3k+2-2=4k-4,3k
∠AEB=90°⇔AD→·BE→=0
AD→·BE→=04,3·4k-4,3k=016k-16+9k=025k=16k=1625
E=2+4k,2+3k=2+4·1625,2+3·1625=11425,9825
4.1 med CAS i GeoGebra
a) Vi startar med å definere punkta og finne vektoren:
b) Vi set inn punkt D og løyser den same likninga som over:
Vi vel y=5 og får D=(6,5).
c) Vi bruker dei same opplysningane som i "for hand"-løysinga og set inn i CAS (vi hugsar at AD→=BC→):
Punktet er altså (10,5).
d)
4.2 for hand
a) AB→=8--2,2--2=10,4CD→=4-0,-6-4=4,-10CD→⊥AB→⇔CD→·AB→=0CD→·AB→=10,4·4,-10=40-40=0
Sidan skalarproduktet er null, er dei to vektorane ortogonale.
b) AB→=10,4CE→=5-0,6-4=5,2CE→∥AB→⇔CE→=k·AB→5,2=12·10,4
c) Vi kallar midtpunktet på BC for M og finn koordinatane til AM→:
AM→=AB→+12BC→=10,4+12-8,2=6,5
Vi kallar skjeringspunktet mellom medianane for S og får:
OS→=OA→+23AM→=-2,-2+236,5=2,43
Punktet S har altså koordinatane 2,43.
4.2 med CAS i GeoGebra
a) Vi definerer punkta, finn vektorane og viser at skalarproduktet mellom dei er 0:
b) Vi definerer CE→ og viser at vi kan finne eit svar på likninga AB→=t·CE→.
c) Vi kallar midtpunktet på BC for M og skjeringspunktet S. Vi finn AM→ og bruker han til å finne OS→.
4.3
a) u→·v→=u→·v→·cosu→,v→=4·6+2·6-24=6-2=4
b)
c)
d) u→+v→·u→-v→=u→2-v→2=42-6+22=16-6-212-2=8-43
4.4
a) AB→=10-2,4-2=8,2AB→=82+22=68=217
b) OC→=OD→+DC→=OD→+AB→=1,6+8,2=9,8
Punkt C har koordinatane (9,8).
c) Dersom parallellogrammet er eit rektangel, må alle vinklane vere rette. Sidan to og to vinklar i eit parallellogram er like og vinkelsummen er 360 grader, veit vi at dersom ein vinkel er rett, må alle vinklane vere rette.
Vi undersøkjer om ∠A er rett:
AB→⊥AD→⇔AB→·AD→=0AB→·AD→=8,2·1-2,6-2=-8+8=0
Parallellogrammet er eit rektangel.
4.5
a) v→-u→·u→=v→·u→-u→·u→=9-3·3=0
b) v→-u→=v→-u→2=v→2-2·v→·u→+u→2=322-2·9+32=3
c) Vi veit frå a) at trekanten er rettvinkla og frå b) at trekanten er likebeint:
4.6
a) Vi startar med å definere punkta og finne vektorane. Så finn vi vinkelen i grader ved å bruke vinkelkommandoen og dele på gradeteiknet. Vinkelen mellom dei to vektorane er 82,87 grader.
b) Vi definerer AB-vektor og finn vinkelen mellom AB-vektor og AC-vektor. Legg merke til at AC→=-CA→. Vinkelen er 63,43 grader.
4.7
Denne oppgåva er utforskande, så her kjem berre nokre antydingar og tips til løysing.
b) Du kan observere at dei motståande sidene i EFGH vil vere like lange uansett korleis du dreg i hjørna til ABCD.
e) De to vektorane er like.
f) Her kan du følgje mønsteret frå c) til e).
g) Vi har vist det vi observerte i b), at ein slik firkant alltid vil vere eit parallellogram.
b) Sidan arbeid er eit produkt av dei to vektorane, blir måleininga òg produktet av måleiningane til vektorane, altså Nm. Denne måleininga blir ofte kalla for Joule, forkorta til J.
c) Kombinasjonen av det vi fann i a) og b) gir oss at arbeidet Magnus utfører, er 9000·3Nm≈15590Nm.
d) Teikninga kan sjå slik ut:
4.9
Vi bruker GeoGebra (rekn det gjerne ut for hand òg):
4.10
a) l:x=1+2ty=3+3t
b) m:x=1-3ty=3+5t
c) Vi har at 5,3⊥-3,5. Da får vi n:x=1+5ty=3+3t
d) Vi må finne eit punkt på o som ligg med riktig avstand frå l. Dette kan vi gjere ved å finne ein vektor frå A med lengde 13 som står vinkelrett på a→. Desse to krava gir oss det følgjande likningssystemet:
x-1,y-3·2,3=0x-12+y-32=13
Dette gir den følgjande løysinga:
Vi ser at vi får to moglegheiter for o (tenk gjennom kvifor):
o1:x=-2+2ty=5+3to2:x=4+2ty=1+3t
e) Vi får to ulike løysingar alt etter kva versjon av o vi vel:
Vi får altså at dei to moglege skjeringspunkta er 40,68og-38,-32.