Likningar med rasjonale uttrykk

Ein brøk er ikkje definert når nemnaren er lik null. Vi må difor vere spesielt merksame når vi løyser likningar med rasjonale uttrykk der den ukjende opptrer i nemnaren.

Vi ser på følgjande likning.

$\frac{1}{2x-2}+\frac{2}{x-3}=\frac{x-2}{x^2-4x+3}$

Samnemnaren til desse brøkane er $2\left(x-1\right)\left(x-3\right)$.
Du kan sjå korleis vi kjem fram til det i artikkelen: Meir om forenkling av rasjonale uttrykk, der vi har dei same brøkane.

Eventuelle løysingar som gir $x=1$ eller $x=3$ må då forkastast fordi ein eller fleire av brøkane ikkje er definert for desse $x$-verdiane. Før vi går i gong og løyser likninga, markerer vi dette ved å skrive $x\ne 1, x\ne 3$, øverst til høgre. (Sjå nedanfor.)

Så går vi i gang med sjølve løysinga. Det første vi gjer er å multiplisere med samnemnaren på begge sider av likskapsteiknet. Kvifor er dette lurt? Jo, fordi vi då kan forkorte brøkane og står igjen med ei likning utan brøkar.

$\frac{1}{2x-2}+\frac{2}{x-3}=\frac{x-2}{x^2-4x+3} , x\ne 1, x\ne 3$

$\begin{array}{rcl}\frac{1·\cancel{2}·\left(\cancel{x-1}\right)\left(x-3\right)}{\cancel{2}\left(\cancel{x-1}\right)}+\frac{2·2\left(x-1\right)\left(\cancel{x-3}\right)}{\cancel{x-3}}& =& \frac{(x-2)·2\left(\cancel{x-1}\right)\left(\cancel{x-3}\right)}{\left(\cancel{x-1}\right)\left(\cancel{x-3}\right)}\\ & & \\ x-3+4\left(x-1\right)& =& \left(x-2\right)·2\\ & & \\ x-3+4x-4& =& 2x-4\\ & & \\ x+4x-2x& =& -4+3+4\\ & & \\ 3x& =& 3\\ & & \\ x& =& 1\\ & & \end{array}$

Likninga har inga løysing fordi ein eller fleire av brøkane ikkje er definert for $x=1.$

Før vi går vidare, skal vi sjå på ein særs viktig skilnad.

I artikkelen: Meir om forenkling av rasjonale uttrykk viser vi korleis vi trekkjer saman og forkortar uttrykket.

$\frac{1}{2x-2}+\frac{2}{x-3}-\frac{x-2}{x^2-4x+3}$

På sida her har vi vist korleis vi løyser likninga

$\frac{1}{2x-2}+\frac{2}{x-3}=\frac{x-2}{x^2-4x+3}$

I begge tilfelle finn vi først samnemnaren. Men kva gjer vi så?

Då vi løyste likninga, multipliserte vi med samnemnaren på begge sider av likskapsteiknet og fekk ei enkel likning utan brøkar. Dette kan vi gjere i ei likning fordi vi kan multiplisere med same uttrykk på begge sider i ei likning og framleis behalde likskap mellom venstresida og høgresida.

Men når vi skal trekkje saman og forkorte eit uttrykk, kan vi ikkje multiplisere med samnemnaren fordi uttrykket då endrar verdi. Det vi gjorde her, var å utvide kvar av brøkane slik at alle fekk same nemnar, samnemnaren. Så sette vi på felles brøkstrek og trekte saman.

Ved CAS i GeoGebra får vi også som resultat at likninga ikkje har løysing. Legg merke til korleis dette blir markert ulikt ettersom vi brukar kommandoane «NLøys» eller «Løys».