Oppgave

Andregradslikningar med abc-formelen

Her kan du øve på å bruke abc-formelen til å løyse andregradslikningar. Nedst på sida kan du laste ned oppgåvene som word- og pdf-dokument.

Oppgåve 1

Løys likningane ved å bruke abc-formelen.

a) $x^{2} + 7 x = - 6$

Løysing

Vi ordnar likninga så vi får ho på generell form, og set inn i formelen:

$\begin{array}{rcl} x^{2} + 7 x & = & - 6 \\ x^{2} + 7 x + 6 & = & 0 \\ x & = & \frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} \\ = & \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2} \\ = & \frac{- 7 \pm \sqrt{25}}{2} \\ = & \frac{- 7 \pm 5}{2} \\ x & = & \frac{- 7 + 5}{2} = - 1 \lor x = \frac{- 7 - 5}{2} = - 6 \end{array}$

b) $x^{2} + 5 x = - 6$

Løysing

$\begin{array}{rcl} x^{2} + 5 x & = & - 6 \\ x^{2} + 5 + 6 & = & 0 \\ x & = & \frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2}} - 4 \cdot 1 \cdot 6}{2 \cdot 1} \\ = & \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} \\ = & \frac{- 5 + \sqrt{1}}{2} \\ x & = & \frac{- 5 + 1}{2} = - 2 \lor x = \frac{- 5 - 1}{2} = - 3 \end{array}$

c) $x^{2} = 2 x + 24$

Løysing

$\begin{array}{rrl} x^{2} & = & 2 x + 24 \\ x^{2} - 2 x - 24 & = & 0 \\ x & = & \frac{- (- 2) \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1} \\ = & \frac{2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2} \\ = & \frac{2 \pm \sqrt{100}}{2} \\ x & = & \frac{2 + 10}{2} = 6 \lor x = \frac{2 - 10}{2} = - 4 \end{array}$

d) $270 x^{2} + 230 x = 540 - 40 x$

Løysing

Her er det lurt å dividere alle ledda med 270 før vi set inn i abc-formelen.

Vi får då

$\begin{array}{rcl} 270 x^{2} + 230 x - 540 & = & 540 - 40 x \\ 270 x^{2} + 270 x - 540 & = & 0 | : 270 \\ x^{2} + x - 2 & = & 0 \\ x & = & \frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1} \\ x & = & \frac{- 1 - 3}{2} = - 2 \lor x = \frac{- 1 + 3}{2} = 1 \end{array}$

e) $360 x^{2} - 360 x = - 90$

Løysing

Her er det lurt å dividere alle ledda med 90 før vi set inn i abc-formelen.

Vi får då

$\begin{array}{rcl} 360 x^{2} - 360 x & = & - 90 \\ 360 x^{2} - 360 x & = & 0 | : 90 \\ 4 x^{2} - 4 x + 1 & = & 0 \\ x & = & \frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4} \\ x & = & \frac{4 \pm 0}{8} = \frac{1}{2} \end{array}$

Oppgåve 2

I denne oppgåva skal du bruke Python til å utforske likningsløysing med abc-formelen. Vi skal gjere dette stegvis. Vi skal lage eit program der ein brukar kan skrive inn likninga og få ut løysingane.

a) Python kjem ikkje til å forstå teiknet $\pm$ . Korleis kan vi dele abc-formelen i to delar som Python kan tolke?

Løysing

Når vi deler opp formelen i to delar, kan han skrivast som

$x_{1} = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \lor x_{2} = \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

b) Korleis kan brukaren av programmet skrive inn andregradslikninga som skal løysast?

Løysing

Vi må gå ut ifrå at brukaren har ei andregradslikning på forma $a x^{2} + b x + c = 0$ , som ovanfor. Då treng vi berre konstantane a, b og c frå brukaren.

c) Skriv algoritmen til eit program som løyser andregradslikningar for oss. Programmet skal ta imot den informasjonen som trengst om likninga, frå brukaren av programmet. Løysingane kan presenterast med utskrifta "x1 = ... , x2 = ...". Hugs å få med forklarande tekstar i starten av programmet slik at brukaren av programmet veit kva som skal gjerast.

Løysingsforslag

Importer kvadratrotfunksjonen.
Skriv til skjermen "Dette programmet løyser andregradslikninga ax^2 + bx + c = 0.".
Ta imot talet "a" frå brukaren, konverter det til eit ekte tal, og set det lik variabelen a.
Ta imot talet frå "b" frå brukaren, konverter det til eit ekte tal, og set det lik variabelen b.
Ta imot talet "c" frå brukaren, konverter det til eit ekte tal, og set det lik variabelen c.
Rekn ut $x_{1}$ med formelen ovanfor, og set resultatet lik variabelen x1.
Rekn ut $x_{2}$ med formelen ovanfor, og set resultatet lik variabelen x2.
Skriv til skjermen "Løysingane er x1 = og x2 = .".

I siste linje betyr "" innhaldet av variabelen x1.

d) Skriv programmet og test det med likninga $x^{2} + 4 x - 5 = 0$ . Gir programmet riktige løysingar?

Løysing

Python

1from math import sqrt
2
3print(

Programmet gir utskrifta "Løysingane er x1 = 1.0 og x2 = -5.0).". Dette er riktige løysingar.

e) Prøv programmet på likninga $x^{2} - 6 x + 9 = 0$ . Kvifor passar ikkje utskrifta av løysinga så godt til denne likninga?

Løysing

Her gir programmet utskrifta "Løysingane er x1 = 3.0 og x2 = 3.0.". Dette er eit fullstendig kvadrat, så dermed blir begge løysingane like. Programmet vil alltid rekne ut to løysingar, uavhengig av om løysingane er like eller ikkje.

f) Prøv programmet på likninga $x^{2} - 6 x + 10 = 0$ . Kva skjer no, og kvifor skjer dette?

Løysing

Her får vi ei feilmelding, "math domain error". Det betyr at det ikkje går an å rekne ut. Sjekk diskriminanten (uttrykket under rotteiknet)!

g) Endre på algoritmen i c) slik at programmet gir ei utskrift tilpassa alle dei ulike tilfella av andregradslikningar vi kan komme borti.

Løysing

Her må vi legge inn ei if-else-setning, som finn to løysingar dersom diskriminanten er større enn 0, og éi løysing dersom diskriminanten er lik 0. If-else-setninga vil òg skrive ut at likninga ikkje har reelle løysingar dersom diskriminanten er negativ. Vi legg det inn mellom innhenting av konstantane og utrekninga.

h) Skriv programmet frå g) og test det på ulike likningar.

Løysing

Python

1from math import sqrt
2
3print(

Oppgåve 3

Løys likningane ved å bruke abc-formelen.

a) $3 x^{2} - 3 x - 6 = 0$

Løysing

Her er det lurt å dividere alle ledda med 3 før vi set inn i abc-formelen.

Vi får då

$\begin{array}{rcl} 3 x^{2} - 3 x - 6 & = & 0 | : 3 \\ x^{2} - x - 2 & = & 0 \\ x & = & \frac{- (- 1) \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1} \\ = & \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} \\ = & \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} \\ x & = & \frac{1 + 3}{2} = 2 \lor x = \frac{1 - 3}{2} = - 1 \end{array}$

b) $- 2 x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Løysing

Her er det lurt å dividere alle ledda med $-2$ før vi set inn i abc-formelen.

Vi får då $x^{2} - x - 2 = 0$ . Vi ser at dette er den same likninga vi løyste i a-oppgåva, så her òg er løysingane

$x = - 1 \lor x = 2$

c) $- 5 x = x^{2} + 6$

Løysing

$\begin{array}{rcl} - 5 x & = & x^{2} + 6 \\ - x^{2} - 5 x - 6 & = & 0 \\ x & = & \frac{- (- 5) \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 1)} \\ = & \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{- 2} \\ = & \frac{5 \pm \sqrt{1}}{- 2} \\ x & = & \frac{5 + 1}{- 2} = - 3 \lor x = \frac{5 - 1}{- 2} = - 2 \end{array}$

d) $- x^{2} - 6 x - 8 = 0$

Løysing

$\begin{array}{rcl} - x^{2} - 6 x - 8 & = & 0 \\ x & = & \frac{- (- 6) \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 1)} \\ = & \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{- 2} \\ = & \frac{6 \pm \sqrt{4}}{- 2} \\ x & = & \frac{6 + 2}{- 2} = - 4 \lor x = \frac{6 - 2}{- 2} = - 2 \end{array}$

e) $3 x^{2} + 12 = - 12 x$

Løysing

Her er det lurt å dividere alle ledda med 3 før vi set inn i abc-formelen. I tillegg må vi ordne likninga.

Vi får då

$\begin{array}{rcl} 3 x^{2} + 12 & = & - 12 x \\ 3 x^{2} + 12 x + 12 & = & 0 | : 3 \\ ^{2} + 4 x + 4 & = & 0 \\ x & = & \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} \\ = & \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2} \\ = & \frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{2} \\ = & \frac{- 4}{2} = - 2 \end{array}$

Oppgåve 4

Løys likningane ved å bruke abc-formelen.

a) $3 x^{2} + 2 = 2 x$

Løysing

$\begin{array}{rcl} 3 x^{2} + 2 & = & 2 x \\ 3 x^{2} - 2 x + 2 & = & 0 \\ x & = & \frac{- (- 2) \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3} \\ = & \frac{2 \pm \sqrt{4 - 24}}{6} \\ = & \frac{2 \pm \sqrt{- 20}}{6} \end{array}$

Her får vi ingen reelle løysingar på grunn av det negative talet under rotteiknet.

b) $0, 003 x^{2} + 0, 002 = 0, 002 x$

Løysing

Her er det lurt å multiplisere alle ledda med 1 000 før vi set inn i abc-formelen. Hugs å ordne likninga òg.

Vi får då

$\begin{array}{rcl} 0, 003 x^{2} - 0, 002 x + 0, 002 & = & 0 \cdot 1000 \\ 3 x^{2} - 2 x + 2 & = & 0 \end{array}$

Vi ser at vi endar opp med den same likninga som i a), altså har vi ingen reelle løysingar.

c) $0, 3 x^{2} + 0, 2 = 0, 2 x$

Løysing

Her er det lurt å multiplisere alle ledda med 10 før vi set inn i abc-formelen. Hugs å ordne likninga òg.

Vi får då

$\begin{array}{rcl} 0, 3 x^{2} + 0, 2 & = & 0, 2 x \\ 0, 3 x^{2} - 0, 2 x + 0, 2 & = & 0 | \cdot 10 \\ 3 x^{2} - 3 x + 2 & = & 0 \\ x & = & \frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3} \\ = & \frac{2 \pm \sqrt{4 - 24}}{6} \\ = & \frac{2 \pm \sqrt{- 20}}{6} \end{array}$

Her får vi ingen reelle løysingar på grunn av det negative talet under rotteiknet.

d) $x^{2} - 4 x + 2 = 0$

Løysing

$\begin{array}{rcl} x & = & \frac{- (- 4) \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} \\ = & \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} \\ x & = & \frac{4 + 2 \sqrt{2}}{2} \lor x = \frac{4 - 2 \sqrt{2}}{2} \\ x & = & \frac{2 (2 + \sqrt{2})}{2} \lor x = \frac{2 (2 - \sqrt{2})}{2} \\ x & = & 2 + \sqrt{2} \lor x = 2 - \sqrt{2} \end{array}$

e) $10 x^{2} = 10 x + 4$

Løysing

Her er det lurt å dividere alle ledda med 2 før vi set inn i abc-formelen. Hugs å ordne likninga òg.

Vi får då

$\begin{array}{rcl} 5 x^{2} - 5 x - 2 & = & 0 \\ x & = & \frac{- (- 5) \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 5} \\ = & \frac{5 \pm \sqrt{65}}{10} \\ x & = & \frac{5 + \sqrt{65}}{10} \lor x = \frac{5 - \sqrt{65}}{10} \end{array}$

f) $x (x - 2) + 2 = 4 - 4 x$

Løysing

$\begin{array}{rcl} x (x - 2) + 2 & = & 4 - 4 x \\ x^{2} - 2 x + 2 - 4 + 4 x & = & 0 \\ x^{2} + 2 x - 2 & = & 0 \\ x & = & \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1} \\ = & \frac{- 2 \pm \sqrt{12}}{2} \\ = & \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{2} \\ x & = & \frac{2 (- 1 + \sqrt{3})}{2} \lor x = \frac{2 (- 1 - \sqrt{3})}{2} \\ x & = & \sqrt{3} - 1 \lor x = - 1 - \sqrt{3} \end{array}$

g) $4 - x (2 - x) = 3 (x - 1) + 2 x^{2}$

Løysing

$\begin{array}{rcl} 4 - - x (2 - x) & = & 3 (x - 1) + 2 x^{2} \\ 4 - 2 x + x^{2} & = & 3 x - 3 + 2 x^{2} \\ x^{2} - 2 x^{2} - 2 x - 3 x + 4 + 3 & = & 0 \\ - x^{2} - 5 x + 7 & = & 0 \\ x & = & \frac{- (- 5) \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 7}}{2 \cdot (- 1)} \\ = & \frac{5 \pm \sqrt{25 + 28}}{- 2} \\ = & \frac{5 \pm \sqrt{53}}{- 2} \\ x & = & - \frac{5 + \sqrt{53}}{2} \lor x = - \frac{5 - \sqrt{53}}{2} \end{array}$

i) $4 x^{2} - 2 x (3 - x) + 11 x = 3 (x + 1) - 2 x^{2}$

Løysing

$\begin{array}{rcl} 4 x^{2} - 2 x (3 - x) + 11 x & = & 3 (x + 1) - 2 x^{2} \\ 4 x^{2} - 6 x + 2 x^{2} + 11 x & = & 3 x + 3 - 2 x^{2} \\ 4 x^{2} - 2 x^{2} + 2 x^{2} - 6 x + 11 x - 3 x - 3 & = & 0 \\ 8 x^{2} + 2 x - 3 & = & 0 \\ x & = & \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 8 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 8} \\ = & \frac{- 2 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 8} \\ = & \frac{- 2 \pm 10}{2 \cdot 8} \\ x_{1} & = & \frac{- 12}{16} = - \frac{3}{4} \lor x_{2} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} \end{array}$

Oppgåve 5

Ronald har prøvd seg på likningsløysing med abc-formelen, men han strever med å få dette til. Han føler at han er nesten i mål, men har ei kjensle av at han alltid gjer minst éin feil. Kan du hjelpe han med å finne feila i løysingane hans?

$\begin{array}{rcl} x^{2} - 3 x - 4 & = & 0 \\ x & = & \frac{- 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1} \\ = & \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} \\ = & \frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2} \\ x & = & \frac{- 3 + 5}{2} = 1 \lor x = \frac{- 3 - 5}{2} = - 4 \end{array}$

Løysing

Ronald har sett inn feil for b i det første leddet over brøkstreken. Løysinga hans skulle ha vore slik:

$\begin{array}{rcl} x^{2} - 3 x - 4 & = & 0 \\ x & = & \frac{- (- 3) \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1} \\ = & \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} \\ = & \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} \\ x & = & \frac{3 + 5}{2} = 4 \lor x = \frac{3 - 5}{2} = - 1 \end{array}$

$\begin{array}{rcl} x^{2} + 3 & = & 4 x \\ x^{2} + 3 - 4 x & = & 0 \\ x & = & \frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1} \\ = & \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} \\ = & \frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2} \\ x & = & \frac{- 3 + 5}{2} = 1 \lor x = \frac{- 3 - 5}{2} = - 4 \end{array}$

Løysing

Her har Ronald bomma når han har ordna likninga. Det er ikkje rekkefølga på ledda som avgjer kva tal som er a, b og c. Han burde heller ha tenkt på kva tal som er koeffisient til andregradsleddet og koeffisient til førstegradsleddet, og kva tal som er konstantleddet. Han burde ha ordna likninga slik i staden:

$\begin{array}{rcl} x^{2} + 3 & = & 4 x \\ x^{2} - 4 x + 3 & = & 0 \end{array}$

Då kunne han ha funne løysingane:

$\begin{array}{rcl} x & = & \frac{- (- 4) \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2} \\ = & \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} \\ = & \frac{4 \pm 2}{2} \\ x & = & \frac{4 + 2}{2} = 3 \lor x = \frac{4 - 2}{2} = 1 \end{array}$

$\begin{array}{rcl} x^{2} + 2 x - 3 & = & 0 \\ x & = & \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2} \\ x & = & \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2} \end{array}$

Likninga har ingen reelle løysingar.

Løysing

Her har Ronald oversett at konstantleddet er negativt. Han har sett $c = 3$ , mens det eigentleg skal vere $c = - 3$ . Då ville løysinga ha blitt slik:

$\begin{array}{rcl} x^{2} + 2 x - 3 & = & 0 \\ x & = & \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2} \\ = & \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} \\ = & \frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2} \\ x = \frac{- 2 + 4}{2} = 1 & \lor & x = \frac{- 2 - 4}{2} = - 3 \end{array}$

Oppgåve 6

a) Grunnflata til eit hus er eit rektangel med breidde x meter og lengde $(x + 4)$ meter. Arealet er 96 $m^{2}$ . Set opp ei andregradslikning og rekn ut kor langt og kor breitt huset er.

Løysing

Vi set opp ei likning:

$\begin{array}{rcl} x \cdot (x + 4) & = & 96 \\ x^{2} + 4 x - 96 & = & 0 \\ x & = & \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 96)}}{2 \cdot 1} \\ = & \frac{- 4 \pm \sqrt{400}}{2} \\ = & \frac{- 4 \pm 20}{2} \\ x & = & 8 \lor x = - 12 \end{array}$

Her kan vi berre bruke den positive løysinga.

$8 + 4 = 12$

Huset er 12 m langt og 8 m breitt.

b) Grunnflata til eit hus er eit rektangel med breidde $(x - 5)$ meter og lengde $x$ meter. Arealet er 126 $m^{2}$ . Set opp ei andregradslikning og rekn ut kor langt og kor breitt huset er.

Løysing

Vi set opp ei likning:

$\begin{array}{rcl} x \cdot (x - 5) & = & 126 \\ x^{2} - 5 x - 126 & = & 0 \\ x & = & \frac{5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 126)}}{2 \cdot 1} \\ = & \frac{5 \pm \sqrt{529}}{2} \\ = & \frac{5 \pm 23}{2} \\ x & = & 14 \lor x = - 9 \end{array}$

Her kan vi berre bruke den positive løysinga.

$14 - 5 = 9$

Huset er 14 m langt og 9 m breitt.

c) Grunnflata til ein garasje er eit rektangel med breidde $x$ meter og lengde $(x + 2)$ meter. Diagonalen i grunnflata er 10 meter. Set opp ei andregradslikning og rekn ut kor lang og kor brei garasjen er.

Løysing

Her må vi bruke pytagorassetninga for å setje opp likninga.

$\begin{array}{rcl} x^{2} + {(x + 2)}^{2} & = & 10^{2} \\ x^{2} + x^{2} + 4 x + 4 - 100 & = & 0 \\ 2 x^{2} + 4 x - 96 & = & 0 \end{array}$

Her er det lurt å dividere alle ledda med 2 for å få lettare tal å setje inn i abc-formelen.

Vi får då

$\begin{array}{rcl} x^{2} - 2 x - 48 & = & 0 \\ x & = & \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 48)}}{2 \cdot 1} \\ = & \frac{- 2 \pm \sqrt{196}}{2} \\ = & \frac{- 2 \pm 14}{2} \\ x & = & 6 \lor x = - 8 \end{array}$

Her kan vi berre bruke den positive løysinga.

$6 + 2 = 8$

Garasjen er 8 m lang og 6 m brei.

d) Ei tomt er eit rektangel med breidde $x$ meter og lengde $(x + 10)$ meter. Diagonalen er 50 meter. Finn arealet av tomta.

Løysing

Vi må først finne lengda på sidene.

Vi bruker pytagorassetninga og set opp ei likning.

$\begin{array}{rcl} x^{2} + {(x + 10)}^{2} & = & 50^{2} \\ x^{2} + x^{2} + 20 x + 100 - 2 500 & = & 0 \\ 2 x^{2} + 20 x - 2 400 & = & 0 \end{array}$

Her er det lurt å dividere alle ledda med 2 for å få lettare tal å setje inn i abc-formelen.

Vi får då

$\begin{array}{rcl} x^{2} + 10 x - 1 200 & = & 0 \\ x & = & \frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 200)}}{2 \cdot 1} \\ = & \frac{- 10 \pm \sqrt{4 900}}{2} \\ = & \frac{- 10 \pm 70}{2} \\ x & = & 30 \lor x = - 40 \end{array}$

Her kan vi berre bruke den positive løysinga.

$30 + 10 = 40$

Sidelengdene blir 30 m og 40 m.

Arealet blir då $30 m \cdot 40 m = 1 200 m^{2}$ .

Oppgåve 7

a) Vi har gitt andregradslikninga $a x^{2} - 4 x + 4 = 0$ .

Bruk abc-formelen og finn ut kva verdiar av a som gir to løysingar, éi løysing og ingen reelle løysingar. Hugs at $a \neq 0$ .

Løysing

$\begin{array}{rcl} x & = & \frac{- (- 4) \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot a \cdot 4}}{2 \cdot a} \\ x & = & \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16 a}}{2 a} \end{array}$

Vi ser på uttrykket under rotteiknet, $16 - 16 a$ .

Dersom $a > 1$ , vil diskriminanten bli negativ, og vi har ingen reelle løysingar.

Dersom $a = 1$ , vil diskriminanten bli lik 0, og vi får éi løysing, $x = \frac{4}{2 \cdot 1} = 2$ .

Dersom $a < 1$ , vil diskriminanten bli positiv, og vi har to løysingar.

b) Vi har gitt andregradslikninga $x^{2} - b x + 4 = 0$ .

Bruk abc-formelen og finn ut kva verdiar av $b$ som gir to løysingar, éi løysing og ingen reelle løysingar.

Løysing

$\begin{array}{rcl} x & = & \frac{- (- b) \pm \sqrt{{(- b)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} \\ x & = & \frac{b \pm \sqrt{b^{2} - 16}}{2} \end{array}$

Vi ser på uttrykket under rotteiknet, $b^{2} - 16$ .

Dersom $b^{2} < 16$ , vil diskriminanten bli negativ, og vi har ingen reelle løysingar.

Dette vil skje når b ligg mellom $- 4$ og 4.

Dersom $b^{2} = 16$ , det vil seie når $b = 4$ eller $b = - 4$ , vil diskriminanten under rotteiknet bli lik 0, og vi får éi løysing.

$b = - 4 : x = \frac{- (- 4)}{2 \cdot 1} = 2$

$b = 4 : x = \frac{- 4}{2 \cdot 1} = - 2$

Dersom $b^{2} > 16$ , det vil seie når $b > 4$ eller $b < - 4$ , vil diskriminanten bli positiv, og vi har to løysingar.

Nedlastbare filer

Her kan du laste ned oppgåvene som word- og pdf-dokument.

Andregradslikningar med abc-formelen

Oppgåve 1

Oppgåve 2

Oppgåve 3

Oppgåve 4

Oppgåve 5

Oppgåve 6

Oppgåve 7

Nedlastbare filer

Filer

Reglar for bruk av teksten "Andregradslikningar med abc-formelen"