Andregradslikningar med abc-formelen

$\begin{array}{rcl}{x}^2+7x+6& = & 0\\ x& =& \frac{-7\pm \sqrt{7^2-4·1·6}}{2·1}\\ & & \\ x& =& \frac{-7\pm \sqrt{49-24}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{-7\pm \sqrt{25}}{2}\\ & & \\ x_1& =& \frac{-7+5}{2}=-1 \vee x_2=\frac{-7-5}{2}=-6\end{array}$

Teiknet "$\vee$" tyder "eller".

$\begin{array}{rcl}{x}^2+5x+6& = & 0\\ & & \\ x& =& \frac{-5\pm \sqrt{5^2}-4·1·6}{2·1}\\ & & \\ x& =& \frac{-5\pm \sqrt{25-24}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{-5+\sqrt{1}}{2}\\ & & \\ x_1& =& \frac{-5+1}{2}=-2 \vee x_2=\frac{-5-1}{2}=-3\end{array}$

$\begin{array}{rcl}{x}^2-2x-24& = & 0\\ & & \\ x& =& \frac{-\left(-2\right)\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·1·\left(-24\right)}}{2·1}\\ & & \\ x& =& \frac{2\pm \sqrt{4+96}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{2\pm \sqrt{100}}{2}\\ & & \\ x_1& =& \frac{2+10}{2}=6 \vee x_2=\frac{2-10}{2}=-4\end{array}$

Her er det lurt å dividere alle ledd med 270 før vi set inn i abc-formelen.

Vi får då

$\begin{array}{rcl}270x^2+270x-540& = & 0 \overline{):270}\\ & & \\ x^2+x-2& =& 0\\ & & \\ x& =& \frac{-1\pm \sqrt{1^2-4·1·\left(-2\right)}}{2·1}\\ & & \\ x_1& =& \frac{-1-3}{2}=-2 \vee x_2=\frac{-1+3}{2}=1\end{array}$

Her er det lurt å dividere alle ledd med 90 før vi set inn i abc-formelen.

Vi får då

$\begin{array}{rcl}360x^2-360x+90& = & 0 \overline{):90}\\ & & \\ 4x^2-4x+1& =& 0\\ & & \\ x& =& \frac{4\pm \sqrt{{\left(-4\right)}^2-4·4·1}}{2·4}\\ & & \\ x_1& =& \frac{4+0}{8} \vee x_2=\frac{4-0}{8}\\ & & \\ x_1& =& x_2=\frac{1}{2}\end{array}$

Her er det lurt å dividere alle ledd med 3 før vi set inn i abc-formelen.

Vi får då

$\begin{array}{rcl}{x}^2-x-2& = & 0\\ & & \\ x& =& \frac{-\left(-1\right)\pm \sqrt{{\left(-1\right)}^2-4·1·\left(-2\right)}}{2·1}\\ & & \\ x& =& \frac{1\pm \sqrt{1+8}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{1\pm \sqrt{9}}{2}\\ & & \\ x_1& =& \frac{1+3}{2}=2 \vee x_2=\frac{1-3}{2}=-1\end{array}$

Her er det lurt å dividere alle ledd med $-2$ før vi set inn i abc-formelen.

Vi får då

$\begin{array}{rcl}{x}^2-x-2& = & 0\\ & & \\ x& =& \frac{-\left(-1\right)\pm \sqrt{{\left(-1\right)}^2-4·1·\left(-2\right)}}{2·1}\\ & & \\ x& =& \frac{1\pm \sqrt{1+8}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{1\pm \sqrt{9}}{2}\\ & & \\ x_1& =& \frac{1+3}{2}=2 \vee x_2=\frac{1-3}{2}=-1\end{array}$

$\begin{array}{rcl}-x^2-5x-6& = & 0\\ & & \\ x& =& \frac{-\left(-5\right)\pm \sqrt{{\left(-5\right)}^2-4·\left(-1\right)·\left(-6\right)}}{2·\left(-1\right)}\\ & & \\ x& =& \frac{5\pm \sqrt{25-24}}{-2}\\ & & \\ x& =& \frac{5\pm \sqrt{1}}{-2}\\ & & \\ x_1& =& \frac{5+1}{-2}=-3 \vee x_2=\frac{5-1}{-2}=-2\end{array}$

$\begin{array}{rcl}-x^2-6x-8& = & 0\\ & & \\ x& =& \frac{-\left(-6\right)\pm \sqrt{{\left(-6\right)}^2-4·\left(-1\right)·\left(-8\right)}}{2·\left(-1\right)}\\ & & \\ x& =& \frac{6\pm \sqrt{36-32}}{-2}\\ & & \\ x& =& \frac{6\pm \sqrt{4}}{-2}\\ & & \\ x_1& =& \frac{6+2}{-2}=-4 \vee x_2=\frac{6-2}{-2}=-2\end{array}$

Her er det lurt å dividere alle ledd med 3 før vi set inn i abc-formelen. Vi må også ordne likninga.

Vi får då

$\begin{array}{rcl}3x^2+12x+12& =& 0 |:3\\ & & \\ x^2+4x+4& = & 0\\ & & \\ x& =& \frac{-4\pm \sqrt{4^2-4·1·4}}{2·1}\\ & & \\ x& =& \frac{-4\pm \sqrt{16-16}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{-4\pm \sqrt{0}}{2}\\ & & \\ x_1& =& x_2=\frac{-4}{2}=-2\end{array}$

Vi må ordne likninga først.

$\begin{array}{rcl}3x^2-2x+2& =& 0\\ & & \\ x& = & \frac{-\left(-2\right)\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·3·2}}{2·3}\\ & & \\ x& =& \frac{2\pm \sqrt{4-24}}{6}\\ & & \\ x& =& \frac{2\pm \sqrt{-20}}{6}\end{array}$

Her får vi inga løysing fordi talet under rotteiknet er negativt.

Her er det lurt å multiplisere alle ledd med 10 før vi set inn i abc-formelen. Hugs også å ordne likninga.

Vi får då

$\begin{array}{rcl}0,3x^2-0,2x+0,2& = & 0 \overline{)·10}\\ & & \\ 3x^2-3x+2& =& 0\\ & & \\ x& =& \frac{2\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·3·2}}{2·3}\\ & & \\ x& =& \frac{2\pm \sqrt{4-24}}{6}\\ & & \\ x& =& \frac{2\pm \sqrt{-20}}{6}\end{array}$

Her får vi inga løysing fordi talet under rotteiknet er negativt.

Her er det lurt å multiplisere alle ledd med 1000 før vi set inn i abc-formelen. Hugs å ordne likninga også.

Vi får då

$\begin{array}{rcl}0,003x^2-0,002x+0,002& = & 0 \overline{)·1000}\\ & & \\ 3x^2-2x+2& =& 0\\ & & \\ x& =& \frac{2\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·3·2}}{2·3}\\ & & \\ x& =& \frac{2\pm \sqrt{4-24}}{6}\\ & & \\ x& =& \frac{2\pm \sqrt{-20}}{6}\end{array}$

Her får vi inga løysing fordi talet under rotteiknet er negativt.

$\begin{array}{rcl}x& =& \frac{-\left(-4\right)\pm \sqrt{{\left(-4\right)}^2-4·1·2}}{2·1}\\ & & \\ x& =& \frac{4\pm \sqrt{8}}{2}\\ & & \\ x_1& =& \frac{4+2\sqrt{2}}{2} \vee x_2=\frac{4-2\sqrt{2}}{2}\\ & & \\ x_1& =& \frac{2\left(2+\sqrt{2}\right)}{2} \vee x_2=\frac{2\left(2-\sqrt{2}\right)}{2}\\ & & \\ x_1& =& 2+\sqrt{2} \vee x_2=2-\sqrt{2}\end{array}$

Her er det lurt å dividere alle ledd med 2 før vi set inn i abc-formelen. Hugs også å ordne likninga.

Vi får da

$\begin{array}{rcl}5x^2-5x-2& = & 0\\ & & \\ x& =& \frac{-\left(-5\right)\pm \sqrt{{\left(-5\right)}^2-4·5·\left(-2\right)}}{2·5}\\ & & \\ x& =& \frac{5\pm \sqrt{65}}{10}\\ & & \\ x_1& =& \frac{5+\sqrt{65}}{10} \vee x_2=\frac{5-\sqrt{65}}{10}\end{array}$

$\begin{array}{rcl}{x}^2-2x+2-4+4x& = & 0\\ & & \\ x^2+2x-2& =& 0\\ & & \\ x& =& \frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·1·\left(-2\right)}}{2·1}\\ & & \\ x& =& \frac{-2\pm \sqrt{12}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{-2\pm 2\sqrt{3}}{2}\\ & & \\ x_1& =& \frac{2\left(-1+\sqrt{3}\right)}{2} \vee x_2=\frac{2\left(-1-\sqrt{3}\right)}{2}\\ & & \\ x_1& =& \sqrt{3}-1 \vee x_2=-1-\sqrt{3}\end{array}$

$\begin{array}{rcl} 4-2x+x^2& = & 3x-3+2x^2\\ & & \\ x^2-2x^2-2x-3x+4+3& =& 0\\ & & \\ -x^2-5x+7& =& 0\\ & & \\ x& =& \frac{-\left(-5\right)\pm \sqrt{{\left(-5\right)}^2-4·\left(-1\right)·7}}{2·\left(-1\right)}\\ & & \\ x& =& \frac{5\pm \sqrt{25+28}}{-2}\\ & & \\ x& =& \frac{5\pm \sqrt{53}}{-2}\\ & & \\ x_1& =& -\frac{5+\sqrt{53}}{2} \vee x_2=-\frac{5-\sqrt{53}}{2 }\end{array}$

$\begin{array}{rcl} 4x^2-6x+2x^2+11x& = & 3x+3-2x^2\\ & & \\ 4x^2-2x^2+2x^2-6x+11x-3x-3& =& 0\\ & & \\ 8x^2+2x-3& =& 0\\ & & \\ x& =& \frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·8·\left(-3\right)}}{2·8}\\ & & \\ x& =& \frac{-2\pm \sqrt{100}}{2·8}\\ & & \\ x& =& \frac{-2\pm 10}{2·8}\\ & & \\ x_1& =& \frac{-12}{16}=-\frac{3}{4} \vee x_2=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}\end{array}$

Vi set opp ei likning

$\begin{array}{rcl}x·\left(x+4\right)& = & 96\\ & & \\ x^2+4x-96& =& 0\\ & & \\ x& =& \frac{-4\pm \sqrt{4^2-4·1·\left(-96\right)}}{2·1}\\ & & \\ x& =& \frac{-4\pm \sqrt{400}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{-4\pm 20}{2}\\ & & \\ x_1& =& 8 \vee x_2=-12\end{array}$

Her bruker vi berre den positive løysinga.

$8+4=12$

Huset er 12 m langt og 8 m breitt.

Vi set opp en likning

$\begin{array}{rcl} x·\left(x-5\right)& = & 126\\ & & \\ x^2-5x-126& =& 0\\ & & \\ x& =& \frac{5\pm \sqrt{5^2-4·1·\left(-126\right)}}{2·1}\\ & & \\ x& =& \frac{5\pm \sqrt{529}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{5\pm 23}{2}\\ & & \\ x_1& =& 14 \vee x_2=-9\\ & & \end{array}$

Her bruker vi berre den positive løysinga.

$14-5=9$

Huset er 14 m langt og 9 m breitt.

Her må vi bruke pytagorassetninga for å setja opp likninga.

$\begin{array}{rcl}{x}^2+{\left(x+2\right)}^2& = & {10}^2\\ & & \\ x^2+x^2+4x+4-100& =& 0\\ & & \\ 2x^2+4x-96& =& 0\end{array}$

Her er det lurt å dividere alle ledd med 2 for å få lettare tal å setje inn i abc-formelen.

Vi får då

$\begin{array}{rcl}{x}^2-2x-48& = & 0\\ & & \\ x& =& \frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·1·\left(-48\right)}}{2·1}\\ & & \\ x& =& \frac{-2\pm \sqrt{196}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{-2\pm 14}{2}\\ & & \\ x_1& =& 6 \vee x_2=-8\end{array}$

Her bruker vi berre den positive løysinga.

$6+2=8$

Garasjen er 8 m lang og 6 m brei.

Vi må først finne lengda av sidene.

Vi bruker pytagorassetninga og set opp ei likning.

$\begin{array}{rcl} x^2+{\left(x+10\right)}^2& = & {50}^2\\ & & \\ x^2+x^2+20x+100-2500& =& 0\\ & & \\ 2x^2+20x-2400& =& 0\end{array}$

Her er det lurt å dividere alle ledd med 2 for å få lettare tal å setje inn i abc-formelen.

Vi får då

$\begin{array}{rcl}{x}^2+10x-1200& = & 0\\ & & \\ x& =& \frac{-10\pm \sqrt{{10}^2-4·1·\left(-1200\right)}}{2·1}\\ & & \\ x& =& \frac{-10\pm \sqrt{4900}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{-10\pm 70}{2}\\ & & \\ x_1& =& 30 \vee x_2=-40\end{array}$

Her bruker vi berre den positive løysinga.

$30+10=40$

Sidelengdene blir 30 m o g 40 m.

Arealet blir då $30 \mathrm{m}·40 \mathrm{m}=1200 {\mathrm{m}}^2$.

$\begin{array}{rcl}x& = & \frac{-\left(-4\right)\pm \sqrt{{\left(-4\right)}^2-4·a·4}}{2·a}\\ & & \\ x& =& \frac{4\pm \sqrt{16-16a}}{2a}\end{array}$

Vi ser på uttrykket under rotteiknet, $16-16a$.

Dersom $a>1$ vil uttrykket under rotteiknet bli negativt, og vi har inga løysing.

Dersom $a=1$ vil uttrykket under rotteiknet bli lik 0, og vi får éi løysing, $x=\frac{4}{2·1}=2$.

Dersom $a<1$ vil uttrykket under rotteiknet bli positivt, og vi har to løysingar.

$\begin{array}{rcl}x& = & \frac{-\left(-b\right)\pm \sqrt{{\left(-b\right)}^2-4·1·4}}{2·1}\\ & & \\ x& =& \frac{b\pm \sqrt{b^2-16}}{2}\end{array}$

Vi ser på uttrykket under rotteiknet, $b^2-16$.

Dersom $b^2<16$ vil uttrykket under rotteiknet bli negativt, og vi har inga løysing.

Dette vil skje når $b$ ligg mellom $-4$ og $4$.

Dersom $b^2=16$, dvs når $b=4$ eller $b=-4$ vil uttrykket under rotteiknet bli lik 0, og vi får éi løysing.

$b=-4: x=\frac{-(-4)}{2·1}=2$

$b=4: x=\frac{-4}{2·1}=-2.$

Dersom $b^2>16$ dvs når $b>4$ eller $b<-4$, vil uttrykket under rotteiknet bli positivt, og vi har to løysingar.

Vi set inn 10 m for høgda $h$ og får

$10=14,5t-4,9t^2+1,8$

Vi løyser likninga med CAS i GeoGebra.

Ballen er 10 m over bakken etter 0,76 s (på veg opp) og etter 2,2 s (på veg ned).

Når ballen treff bakken, er høgda over bakken 0 m.

Vi set inn 0 m for høgda $h$ og får

$0=14,5t-4,9t^2+1,8$

Vi løyser likninga med CAS i GeoGebra.

Vi kan berre bruke den positive løysinga.

Ballen treff bakken etter 3,08 s.

Vi set inn 15 m for høgda $h$ og får

$15=14,5t-4,9t^2+1,8$

Vi løyser likninga med CAS i GeoGebra.

Inga løysing. Det må tyde at ballen når aldri ei høgd på 15 m over bakken.

Vi set inn formelen og får

$$\begin{gathered} 250=2\pi r^2+2\pi r·5 \\ 250=2\pi r^2+10\pi r \end{gathered}$$

Vi løyser likninga med CAS i GeoGebra.

Vi kan berre bruke den positive løysinga.

Brusboksen har ein radius på 4,3 cm.