Oppgåve

Forenkling av rasjonale uttrykk

Oppgåvene nedanfor skal løysast utan bruk av hjelpemiddel. Du kan også prøve å løyse oppgåvene med CAS.

Oppgåve 1

Forkort brøkane.

a) $\frac{x^{2} - 25}{x + 5}$

Løysing

$\frac{x^{2} - 25}{x + 5} = \frac{(x + 5) (x - 5)}{(x + 5)} = x - 5$

b) $\frac{x^{2} - 81}{3 x + 27}$

Løysing

$\frac{x^{2} - 81}{3 x + 27} = \frac{(x + 9) (x - 9)}{3 (x + 9)} = \frac{x - 9}{3}$

c) $\frac{16 x^{2} - 64}{4 x + 8}$

Løysing

$\frac{16 x^{2} - 64}{4 x + 8} = \frac{16 (x^{2} - 4)}{4 (x + 2)} = \frac{4 \cdot 4 (x + 2) (x - 2)}{4 (x + 2)} = 4 x - 8$

d) $\frac{100 x^{2} - 1}{10 x - 1}$

Løysing

$\frac{100 x^{2} - 1}{10 x - 1} = \frac{(10 x + 1) (10 x - 1)}{(10 x - 1)} = 10 x + 1$

e) $\frac{2 a^{2} - 50}{18 a - 90}$

Løysing

$\frac{2 a^{2} - 50}{18 a - 90} = \frac{2 (a^{2} - 25)}{18 (a - 5)} = \frac{2 (a^{2} - 5^{2})}{2 \cdot 9 (a - 5)} = \frac{2 (a - 5) (a + 5)}{2 \cdot 9 (a - 5)} = \frac{a + 5}{9}$

f) $\frac{2 x^{2} - 8}{x - 2}$

Løysing

$\frac{2 x^{2} - 8}{x - 2} = \frac{2 (x^{2} - 2^{2})}{x - 2} = \frac{2 (x - 2) (x + 2)}{x - 2} = 2 x + 4$

Oppgåve 2

Forkort brøkane.

a) $\frac{x^{2} - \frac{1}{4}}{2 x - 1}$

Løysing

$\frac{x^{2} - \frac{1}{4}}{2 x - 1} = \frac{(x - \frac{1}{2}) (x + \frac{1}{2})}{2 (x - \frac{1}{2})} = \frac{x + \frac{1}{2}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{1}{4}$

b) $\frac{x^{2} - 4 x + 4}{x - 2}$

Løysing

$\frac{x^{2} - 4 x + 4}{x - 2} = \frac{(x - 2) (x - 2)}{(x - 2)} = x - 2$

c) $\frac{3 x^{2} - 18 x + 27}{2 x - 6}$

Løysing

$\frac{3 x^{2} - 18 x + 27}{2 x - 6} = \frac{3 (x^{2} - 6 x + 9)}{2 (x - 3)} = \frac{3 (x - 3) (x - 3)}{2 (x - 3)} = \frac{3 (x - 3)}{2}$

d) $\frac{x^{2} - x + \frac{1}{4}}{2 x - 1}$

Løysing

$\frac{x^{2} - x + \frac{1}{4}}{2 x - 1} = \frac{(x - \frac{1}{2}) (x - \frac{1}{2})}{2 (x - \frac{1}{2})} = \frac{x - \frac{1}{2}}{2} = \frac{2 x - 1}{4} = \frac{x}{2} - \frac{1}{4}$

e) $\frac{2 x^{2} - \frac{2}{9}}{6 x - 2}$

Løysing

$\frac{2 x^{2} - \frac{2}{9}}{6 x - 2} = \frac{2 (x - \frac{1}{3}) (x + \frac{1}{3})}{2 \cdot 3 (x - \frac{1}{3})} = \frac{x + \frac{1}{3}}{3} = \frac{3 x + 1}{9} = \frac{x}{3} + \frac{1}{9}$

Oppgåve 3

Forkort brøkane.

a) $\frac{1 - x}{x - 1}$

Løysing

$\frac{1 - x}{x - 1} = \frac{- (- 1 + x)}{x - 1} = \frac{- (x - 1)}{x - 1} = - 1$

b) $\frac{1 - x^{2}}{x^{2} - 1}$

Løysing

$\frac{1 - x^{2}}{x^{2} - 1} = \frac{- (- 1 + x^{2})}{x^{2} - 1} = - 1$

c) $\frac{1 - x}{x^{2} - 1}$

Løysing

$\frac{1 - x}{x^{2} - 1} = \frac{- (- 1 + x)}{(x - 1) (x + 1)} = - \frac{1}{x + 1}$

d) $\frac{{(x - 1)}^{2} + 2 (x - 1)}{2 x^{2} - 2}$

Løysing

Her kan vi setje $(x - 1)$ utanfor parentes sidan uttrykket er felles faktor i begge ledda i teljaren.

$\frac{{(x - 1)}^{2} + 2 (x - 1)}{2 x^{2} - 2} = \frac{(x - 1) (x - 1 + 2)}{2 (x^{2} - 1)} = \frac{(x - 1) (x + 1)}{2 (x - 1) (x + 1)} = \frac{1}{2}$

Oppgåve 4

Trekk saman og forkort.

a) $\frac{2}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}$

Løysing

$\begin{array}{rcl} = & \frac{2 (x + 1)}{(x - 1) (x + 1)} - \frac{1 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} \\ = & \frac{2 x + 2 - (x - 1)}{(x - 1) (x + 1)} \\ = & \frac{2 x + 2 - x + 1}{(x - 1) (x + 1)} \\ = & \frac{x + 3}{(x - 1) (x + 1)} \end{array}$

b) $\frac{4}{2 x - 1} - \frac{8}{4 x^{2} - 1}$

Løysing

$\begin{array}{rcl} = & \frac{4 (2 x + 1)}{(2 x - 1) (2 x + 1)} - \frac{8}{(2 x - 1) (2 x + 1)} \\ = & \frac{8 x + 4 - 8}{(2 x - 1) (2 x + 1)} \\ = & \frac{8 x - 4}{(2 x - 1) (2 x + 1)} \\ = & \frac{4 (2 x - 1)}{(2 x - 1) (2 x + 1)} \\ = & \frac{4}{2 x + 1} \end{array}$

c) $\frac{4}{x - 2} - \frac{3 x + 10}{x^{2} - 4}$

Løysing

$\begin{array}{rcl} = & \frac{4 (x + 2)}{(x - 2) (x + 2)} - \frac{3 x + 10}{(x - 2) (x + 2)} \\ = & \frac{4 x + 8 - 3 x - 10}{(x - 2) (x + 2)} \\ = & \frac{x - 2}{(x - 2) (x + 2)} \\ = & \frac{1}{x + 2} \end{array}$

d) $\frac{4}{2 x - 10} - \frac{\frac{3 x}{2} + \frac{15}{2}}{x^{2} - 25}$

Løysing

$\begin{array}{rcl} = & \frac{4}{2 (x - 5)} - \frac{\frac{3 x \cdot 2}{2} + \frac{15 \cdot 2}{2}}{2 (x - 5) (x + 5)} \\ = & \frac{4}{2 (x - 5)} - \frac{3 (x + 5)}{2 (x - 5) (x + 5)} \\ = & \frac{4 - 3}{2 (x - 5)} \\ = & \frac{1}{2 (x - 5)} \end{array}$

Oppgåve 5

a) Løys oppgåve 4 c) digitalt.

Løysing

På linje 1 i CAS-vindauget i GeoGebra er uttrykket 4 delt på parentes x minus 2 parentes slutt minus parentes 3 x pluss 10 parentes slutt delt på parentes x i andre minus 4 parentes slutt rekna ut til 1 delt på parentes x pluss 2. Skjermutklipp.

b) Løys oppgåve 4 d) digitalt.

Løysing

Her kan vi bruke knappen for faktorisering etterpå (sjå linje 2 i CAS-biletet nedanfor) for å få det forenkla uttrykket på same form som i oppgåve 1.5.11 b).

På linje 1 i CAS-vindauget i GeoGebra er uttrykket 4 delt på parentes 2 x minus 10 parentes slutt minus parentes 3 x delt på 2 pluss 15 delt på 2 parentes slutt delt på parentes x i andre minus 25 parentes slutt rekna ut til 1 delt på parentes 2x minus 10 parentes slutt. På linje to er det skrive dollarteikn 1. Svaret med Faktoriser er 1 delt på 2 delt på parentes x minus 5 parentes slutt. Skjermutklipp. — Forenkling og faktorisering med CAS.

Oppgåve 6

Rekn ut og forkort.

a) $\frac{x^{2} + 6 x + 9}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 2 x - 3}$

Løysing

$\begin{array}{rcl} \frac{x^{2} + 6 x + 9}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 2 x - 3} & = & \frac{(x + 3) (x + 3)}{(x - 2)} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 3) (x - 1)} \\ = & \frac{(x + 3) (x + 3) (x + 2) (x - 2)}{(x - 2) (x + 3) (x - 1)} \\ = & \frac{x^{2} + 5 x + 6}{x - 1} \end{array}$

b) $\frac{x^{2} + 2 x - 8}{x^{2} - 16} : \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 2 x - 8}$

Løysing

$\begin{array}{rcl} \frac{x^{2} + 2 x - 8}{x^{2} - 16} : \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 2 x - 8} & = & \frac{x^{2} + 2 x - 8}{x^{2} - 16} \cdot \frac{x^{2} - 2 x - 8}{x^{2} - 4} \\ = & \frac{(x + 4) (x - 2) (x - 4) (x + 2)}{(x + 4) (x - 4) (x + 2) (x - 2)} \\ = & 1 \end{array}$

Oppgåve 7

Trekk saman og forkort.

a) $\frac{1}{x + 2} - \frac{3}{x - 2} + \frac{6 x}{x^{2} - 4}$

Løysing

$\begin{array}{rcl} \frac{1}{x + 2} - \frac{3}{x - 2} + \frac{6 x}{x^{2} - 4} & = & \frac{1}{(x + 2)} - \frac{3}{(x - 2)} + \frac{6 x}{(x + 2) (x - 2)} \\ = & \frac{1 \cdot (x - 2)}{(x + 2) \cdot (x - 2)} - \frac{3 \cdot (x + 2)}{(x - 2) \cdot (x + 2)} + \frac{6 x}{(x + 2) (x - 2)} \\ = & \frac{x - 2 - 3 (x + 2) + 6 x}{(x + 2) \cdot (x - 2)} \\ = & \frac{4 x - 8}{(x + 2) \cdot (x - 2)} \\ = & \frac{4 (x - 2)}{(x + 2) \cdot (x - 2)} \\ = & \frac{4}{x + 2} \end{array}$

b) $\frac{2 x}{2 x - 2} - \frac{2}{2 (x + 1)} + \frac{2 x}{x^{2} - 1}$

Løysing

$\begin{array}{rcl} \frac{2 x}{2 x - 2} - \frac{2}{2 (x + 1)} + \frac{2 x}{x^{2} - 1} & = & \frac{2 x}{2 (x - 1)} - \frac{2}{2 (x + 1)} + \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} \\ = & \frac{2 x \cdot (x + 1)}{2 (x - 1) \cdot (x + 1)} - \frac{2 \cdot (x - 1)}{2 (x + 1) \cdot (x - 1)} + \frac{2 x \cdot 2}{(x + 1) (x - 1) \cdot 2} \\ = & \frac{2 x^{2} + 2 x - 2 x + 2 + 4 x}{2 \cdot (x + 1) \cdot (x - 1)} \\ = & \frac{2 x^{2} + 4 x + 2}{2 \cdot (x + 1) \cdot (x - 1)} \\ = & \frac{2 (x^{2} + 2 x + 1)}{2 \cdot (x + 1) \cdot (x - 1)} \\ = & \frac{2 {(x + 1)}^{2}}{2 \cdot (x + 1) \cdot (x - 1)} \\ = & \frac{2 (x + 1) (x + 1)}{2 \cdot (x + 1) \cdot (x - 1)} \\ = & \frac{x + 1}{x - 1} \end{array}$

c) $\frac{x}{x^{2} + 4 x + 3} - \frac{2}{x^{2} - 2 x - 3} + \frac{3}{x^{2} - 9}$

Løysing

$\begin{array}{rcl} \frac{x}{x^{2} + 4 x + 3} - \frac{2}{x^{2} - 2 x - 3} + \frac{3}{x^{2} - 9} \\ = & \frac{x}{(x + 3) (x + 1)} - \frac{2}{(x + 1) (x - 3)} + \frac{3}{(x + 3) (x - 3)} \\ = & \frac{x \cdot (x - 3)}{(x + 3) (x + 1) \cdot (x - 3)} - \frac{2 \cdot (x + 3)}{(x + 1) (x - 3) \cdot (x + 3)} + \frac{3 \cdot (x + 1)}{(x + 3) (x - 3) \cdot (x + 1)} \\ = & \frac{x \cdot (x - 3) - 2 \cdot (x + 3) + 3 \cdot (x + 1)}{(x + 3) (x + 1) \cdot (x - 3)} \\ = & \frac{x^{2} - 3 x - 2 x - 6 + 3 x + 3}{(x + 3) (x + 1) \cdot (x - 3)} = \frac{x^{2} - 2 x - 3}{(x + 3) (x + 1) \cdot (x - 3)} \\ = & \frac{(x - 3) (x + 1)}{(x + 3) (x + 1) \cdot (x - 3)} = \frac{1}{x + 3} \end{array}$

Oppgåve 8

Trekk saman og forkort.

a) $\frac{x}{x - 1} - \frac{x - 3}{2 x - 2}$

Løysing

$\begin{array}{rcl} \frac{x}{x - 1} - \frac{x - 3}{2 x - 2} & = & \frac{2 \cdot x}{2 (x - 1)} - \frac{(x - 3)}{2 (x - 1)} \\ = & \frac{2 x - x + 3}{2 (x - 1)} \\ = & \frac{x + 3}{2 x - 2} \end{array}$

b) $\frac{2}{x - 1} + \frac{x}{x^{2} - 3 x + 2}$

Løysing

$\begin{array}{rcl} \frac{2}{x - 1} + \frac{x}{x^{2} - 3 x + 2} & = & \frac{(x - 2) \cdot 2}{(x - 2) (x - 1)} + \frac{x}{(x - 2) (x - 1)} \\ = & \frac{2 x - 4 + x}{(x - 1) (x - 2)} \\ = & \frac{3 x - 4}{(x - 1) (x - 2)} \end{array}$

c) $\frac{x}{x - 1} + \frac{2 - x}{x + 3} - \frac{x - 2}{x^{2} + 2 x - 3}$

Løysing

$\begin{array}{rcl} \frac{x}{x - 1} + \frac{2 - x}{x + 3} - \frac{x - 2}{x^{2} + 2 x - 3} & = & \frac{(x + 3) \cdot x}{(x + 3) (x - 1)} + \frac{(x - 1) (2 - x)}{(x - 1) (x + 3)} - \frac{(x - 2)}{(x + 3) (x - 1)} \\ = & \frac{x^{2} + 3 x + (2 x - x^{2} - 2 + x) - x + 2}{(x + 3) (x - 1)} \\ = & \frac{x^{2} + 3 x + 2 x - x^{2} - 2 + x - x + 2}{(x + 3) (x - 1)} \\ = & \frac{5 x}{(x + 3) (x - 1)} \end{array}$

d) $\frac{1}{2 x - 2} - \frac{2 x - 1}{x - 2} + \frac{3}{x^{2} - 3 x + 2}$

Løysing

$\begin{array}{rcl} \frac{1}{2 x - 2} - \frac{2 x - 1}{x - 2} + \frac{3}{x^{2} - 3 x + 2} & = & \frac{(x - 2) \cdot 1}{(x - 2) \cdot 2 (x - 1)} - \frac{2 (x - 1) (2 x - 1)}{2 (x - 1) (x - 2)} + \frac{2 \cdot 3}{2 (x - 1) (x - 2)} \\ = & \frac{x - 2 - (2 (2 x^{2} - x - 2 x + 1)) + 6}{2 (x - 1) (x - 2)} \\ = & \frac{x - 2 - 4 x^{2} + 2 x + 4 x - 2 + 6}{2 (x - 1) (x - 2)} \\ = & \frac{- 4 x^{2} + 7 x + 2}{2 (x - 1) (x - 2)} \\ = & \frac{- 4 (x + \frac{1}{4}) (x - 2)}{2 (x - 1) (x - 2)} \\ = & \frac{4 x + 1}{2 (x - 1)} \end{array}$

Oppgåve 9

a) Bestem $a$ slik at brøken kan forkortast.

$\frac{x - a}{x^{2} - 6 x + 8}$

Løysing

Først faktoriserer vi nemnaren.

$x^{2} - 6 x + 8 = (x - 2) (x - 4)$ .

Skal brøken kunne forkortast, må $a$ anten vere 2 eller 4.

b) Bestem $t$ slik at brøken kan forkortast.

$\frac{2 x - t}{x^{2} - 2 x + 1}$

Løysing

Først faktoriserer vi nemnaren.

$x^{2} - 2 x + 1 = (x - 1) (x - 1)$ .

Skal brøken kunne forkortast, må anten $(x + 1)$ eller $(x - 1)$ vere faktor i teljaren. Vi faktoriserer ut 2-talet frå teljaren:

$2 x - t = 2 (x - \frac{t}{2})$

Det betyr at vi har:

$\begin{array}{rcl} \frac{t}{2} & = & \pm 1 \\ t & = & \pm 2 \end{array}$

Skal brøken kunne forkortast, må $t$ vere 2, slik at vi har $2 x - 2 = 2 (x - 1)$ .

Oppgåve 1

Oppgåve 2

Oppgåve 3

Oppgåve 4

Oppgåve 5

Oppgåve 6

Oppgåve 7

Oppgåve 8

Oppgåve 9

Reglar for bruk av teksten "Forenkling av rasjonale uttrykk"