Fagartikkel

Meir om forenkling av rasjonale uttrykk

Korleis skal vi trekkje saman (addere og subtrahere) rasjonale uttrykk som òg inneheld andregradsuttrykk?

Gjennom tre eksempel skal vi illustrere korleis vi ved hjelp av reglane for brøkrekning og faktoriseringsreglane kan trekkje saman og forenkle rasjonale uttrykk som òg inneheld andregradsuttrykk. Lengst nede på sida finn du korleis vi løyser oppgåvene med CAS i GeoGebra.

Hugsar du at eit tal som kan skrivast som ein brøk med heile tal i teljar og nemnar, blir kalla eit rasjonalt tal? På same måte er eit typisk rasjonalt uttrykk ein brøk med bokstavuttrykk i teljar og nemnar.

Eksempel 1

Vi skal forkorte brøken

$\frac{x^{2} - 5 x + 6}{x - 3}$

Først faktoriserer vi teljaren $x^{2} - 5 x + 6$ ved stiremetoden. Då må vi finne to tal som har produkt lik 6 og sum lik $- 5$ . Tala $- 2 og - 3$ oppfyller desse krava. Det betyr at

$x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)$ .

Då er

$\frac{x^{2} - 5 x + 6}{x - 3} = \frac{(x - 2) (x - 3)}{x - 3} = x - 2$

Eksempel 2

Vi skal forkorte brøken

$\frac{x^{2} + 3 x + 2}{2 x + 2}$

Først faktoriserer vi teljaren $x^{2} + 3 x + 2$ ved stiremetoden. Då må vi finne to tal med produkt lik 2 og sum lik 3. Tala 1 og 2 oppfyller desse krava. Det betyr at

$x^{2} + 3 x + 2 = (x + 1) (x + 2)$

Då er

$\frac{x^{2} + 3 x + 2}{2 x + 2} = \frac{(x + 1) (x + 2)}{2 (x + 1)} = \frac{x + 2}{2}$

Eksempel 3

Vi skal trekkje saman og forkorte

$\frac{1}{2 x - 2} + \frac{2}{x - 3} - \frac{x - 2}{x^{2} - 4 x + 3}$

Først faktoriserer vi nemnarane. Vi startar med å finne nullpunkta til nemnaren $x^{2} - 4 x + 3$ .

$\begin{array}{rcl} x^{2} - 4 x + 3 & = & 0 \\ x & = & \frac{- (- 4) \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} \\ x & = & \frac{4 \pm 2}{2} \\ x_{1} & = & 1 x_{2} = 3 \end{array}$

Nemnaren i den tredje brøken har altså nullpunkta $x = 1 og x = 3$ .

Det gir at $x^{2} - 4 x + 3 = (x - 1) (x - 3)$ .

Nemnaren i den første brøken faktoriserer vi slik:

$2 x - 2 = 2 (x - 1)$

Det betyr at fellesnemnaren for dei tre nemnarane er

$2 (x - 1) (x - 3)$

Då er

$\begin{array}{rcl} \frac{1}{2 x - 2} & + & \frac{2}{x - 3} - \frac{x - 2}{x^{2} - 4 x + 3} \\ = & \frac{1}{2 (x - 1)} + \frac{2}{(x - 3)} - \frac{x - 2}{(x - 1) (x - 3)} \\ = & \frac{1 \cdot (x - 3)}{2 (x - 1) \cdot (x - 3)} + \frac{2 \cdot 2 (x - 1)}{(x - 3) \cdot 2 (x - 1)} - \frac{(x - 2) \cdot 2}{(x - 1) (x - 3) \cdot 2} \\ = & \frac{x - 3}{2 (x - 1) (x - 3)} + \frac{4 x - 4}{2 (x - 1) (x - 3)} - \frac{(2 x - 4)}{2 (x - 1) (x - 3)} \\ = & \frac{x - 3 + 4 x - 4 - (2 x - 4)}{2 (x - 1) (x - 3)} \\ = & \frac{x - 3 + 4 x - 4 - 2 x + 4}{2 (x - 1) (x - 3)} Hugs å skifte forteikn! \\ = & \frac{3 x - 3}{2 (x - 1) (x - 3)} \\ = & \frac{3 (x - 1)}{2 (x - 1) (x - 3)} \\ = & \frac{3}{2 (x - 3)} \end{array}$

Brøkar som blir utvida og forkorta endrar ikkje verdi.

Når ein brøk blir utvida, blir teljar og nemnar multiplisert med det same talet. Brøken endrar ikkje verdi.
Når ein brøk blir forkorta, blir teljar og nemnar dividert med det same talet. Brøken endrar ikkje verdi.

Faktorisering av rasjonale uttrykk i GeoGebra. Skjermdump. — Bilete: Olav Kristensen / CC BY-NC-SA 4.0

Ved CAS i GeoGebra får vi dei same løysingane som i eksempla over ved å bruke faktoriseringskommandoen.

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0