Oppgåve

Funksjonsomgrepet. Definisjonsmengde og verdimengde

Her kan du arbeide med oppgåver om funksjonsomgrepet. Løys oppgåvene utan hjelpemiddel. Nedst på sida kan du laste ned oppgåvene som word- og pdf-dokument.

Oppgåve 1

a) Teikn og beskriv omgrepa: koordinatsystem, x-akse, y-akse, koordinatar og punkt.

b) Teikn eit koordinatsystem. Set namn på aksane. Teikn punkta (2,3) og (4,4). Trekk ei linje mellom punkta.

c) Samarbeidsoppgåve: Den eine eleven lagar eit koordinatsystem, og den andre eleven bestemmer kva for punkt den første eleven skal teikne i koordinatsystemet sitt. Klarer de å lage figurar av punkta?

Oppgåve 2

De treng ein taxi. Det kostar 60 kroner for å bestille ein taxi heim til dykk og så 14 kroner per kilometer. Den faste kostnaden er 60 kroner, og den variable kostnaden er 14 kroner. Sidan vi ikkje veit kor mange kilometer taxien skal køyre, bruker vi bokstaven x for talet på kilometer. Prisen for taxituren kallar vi P. Kor stor blir P? Prisen er avhengig av kor mange kilometer vi køyrer, og vi skriv $P (x)$ .

$P (x) = 14 \cdot x + 60$

a) Forklar med dine eigne ord kva funksjonsuttrykket, $P (x)$ , viser.

Løysing

Funksjonsuttrykket viser prisen for ein taxitur når ein køyrer x kilometer. Det kostar 60 kroner i fast pris når ein ringer etter taxi, og deretter 14 kroner per kilometer ein køyrer med taxien.

b) Lag ein verditabell for x-verdiane 10, 20, 30, 40 og 50.

Løysing

Verditabell
Tal på kilometer, x	10	20	30	40	50
Pris, $P (x)$	200	340	480	620	760

c) Forklar kva verditabellen fortel deg.

Løysing

Verditabellen viser prisen for ein taxitur når ein køyrer høvesvis 10, 20, 30, 40 og 50 kilometer.

Oppgåve 3

Tre sirklar med radius 1, 1,5 og 2. Under kvar sirkel er formelen for arealet av sirkelen gitt saman med arealet av sirklane, som er 3,14, 7,07 og 12,56. Illustrasjon. — Tre sirklar med arealformel.

Figuren ovanfor viser radiusen og arealet til tre sirklar.

a) Kva storleik er det som bestemmer arealet til ein sirkel?

Løysing

Radiusen bestemmer storleiken på arealet til ein sirkel.

b) Kan vi seie at arealformelen for ein sirkel $A = π \cdot r^{2}$ er ein funksjon? Forklar i så fall kvifor.

Løysing

Arealet av sirkelen er bestemt av radiusen. Til kvar verdi av radiusen, r, finst ein nøyaktig verdi av arealet til sirkelen. Vi kan då seie at arealet til ein sirkel er ein funksjon av radiusen, r.

Oppgåve 4

Sukkertøy i ulike fargar. Foto. — Bilete: Bon Appetit, NTB / CC BY-NC 4.0

Tenk deg at du er på butikken og handlar smågodt.

a) Skriv ned eit funksjonsuttrykk som viser samanhengen mellom pris P og talet på hekto smågodt du kjøper. La prisen på smågodt vere 9,90 kroner per hekto og x kor mange hekto du kjøper.

Løysing

Funksjonsuttrykker kan vere $P (x) = 9, 90 \cdot x$ .

b) Lag eit nytt funksjonsuttrykk, $Q (x)$ , som viser kor mykje du betaler når du kjøper smågodt. No er prisen sett ned til 7,90 kroner per hekto, men du må betale 5,00 kroner for begeret som du fyller smågodtet i.

Løysing

Ein funksjon som viser prisen, $Q (x)$ , har x som variabel (sidan du kan kjøpe så mange hekto smågodt du ønsker), og x multipliserer vi med pris per hekto. Til slutt må vi legge til prisen for begeret, 5,00 kroner, som ein eingongskostnad.

$Q (x) = 7, 90 \cdot x + 5, 00$

Oppgåve 5

Du hugsar sikkert at formelen for arealet av eit kvadrat er

$A = side \cdot side = s^{2}$

a) Lag ein tabell i eit rekneark der du finn arealet til kvadrat med sidelengder 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 og 16. Bruk kopiering og formel når du lagar tabellen.

Løysing

Reknearket kan sjå slik ut:

Rekneark
	A	B	B (formelvisning)
1	Sidekant i kvadratet	Arealet av kvadratet
2	2	4	=A2^2
3	4	16	=A3^2
4	6	36	=A4^2
5	8	64	=A5^2
6	10	100	=A6^2
7	12	144	=A7^2
8	14	196	=A8^2
9	16	256	=A9^2

Nedanfor kan du sjå utrekningane i eit ekte rekneark.

Filer

Arealet av kvadrat(XLSX)

b) Kan du eit namn på tala som viser dei ulike areala?

Løysing

Ein kan kalle arealet av eit kvadrat for eit kvadrattal.

Oppgåve 6

Du og familien din er på ferie og vil leige ein bil. De tek ein tur for å undersøke pris og får dette tilbodet: fastpris 650 kroner og 6,20 kroner per kilometer.

a) Bruk desse opplysningane til å skrive eit funksjonsuttrykk, $K (x)$ , som kan brukast for å rekne ut kostnadene ved å leige ein bil.

Løysing

Eit funksjonsuttrykk som viser kostnadene, $K (x)$ , som ein funksjon av talet på kilometer, x, kan skrivast som

$K (x) = 6, 20 \cdot x + 650$

b) Vel fem forskjellige turlengder, til dømes 50 km, 100 km og så vidare. Rekn ut kostnadene for kvar av dei, og set opp tala i ein verditabell.

Løysing

Verditabell
Tal på kilometer, x	50	100	150	200	250
Kostnadene, $K (x)$	960	1 270	1 580	1 890	2 200

c) Bruk resultata frå b) til å teikne ein graf til K.

Løysing

Grafen til K av x er lik 6,2 x pluss 650 er teikna med talet på kilometer langs x-aksen og kostnader langs y-aksen. Grafen er teikna for x-verdiar frå 0 til 340. På grafen er det merka av 6 punkt. Dei har koordinatane A 50 og 960, B 100 og 1270, C 150 og 1580, D 200 og 1890 og E 250 og 2200. Den loddrette linja x er lik 180 er teikna inn og skjeringspunktet F med grafen til K er teikna inn. F har koordinatane 180 og 1766. Skjermutklipp.

Vi legg punkta inn i eit koordinatsystem. Punkta ligg på ei rett linje. Det ser vi òg når vi skriv inn funksjonsuttrykket og får teikna grafen, som går gjennom alle punkta.

d) Bruk grafen, og finn ut kor mykje det kostar å køyre 18 mil.

Løysing

Vi teiknar linja $x = 180$ og finner skjeringspunktet mellom denne linja og grafen til K med verktøyet "Skjering mellom to objekt". Sjå punktet F på grafen i oppgåve c).

Det kostar 1 766 kroner å køyre 18 mil (180 kilometer).

Oppgåve 7

I 2008 hadde Camilla eit mobilabonnement. Ho betalte 99 kroner i fast pris per månad og 0,49 kroner per ringeminutt, t. Kostnadene, k, ved å bruke mobiltelefonen ein månad kan vi skrive som

$k (t) = 0, 49 \cdot t + 99$

der t varierer frå og med 50 til og med 200.

a) Lag ein verditabell for k.

Løysing

Verditabell
t	50	100	150
$k (t)$	123,50	148,00	172,50

b) Teikn grafen til k.

Løysing

Grafen til funksjonen k av t er lik 0,49 t pluss 99 er teikna for t-verdiar mellom 50 og 200 der t står for talet på ringeminutt. Grafen er ei rett, stigande linje. Tre punkt ligg på grafen til k og har koordinatane 50 og 123,5, 100 og 148 og 150 og 172,5. Skjermutklipp.

c) Finn grafisk kor mange minutt Camilla har ringt når kostnadene er 160 kroner.

Løysing

y-aksen viser kostnadene. Vi finn 160 på y-aksen og lagar ei rett linje til grafen. Vi les av x-verdien og får cirka 125. Camilla har altså ringt i cirka 125 minutt når kostnaden er 160 kroner. Sjå grafen i b).

Oppgåve 8

Nedanfor har vi teikna grafane til fire funksjonar, f, g, h, og i. Bestem definisjonsmengda og verdimengda til kvar av funksjonane. Ein spissparentes 〉 i eit punkt på grafen betyr at punktet ikkje er ein del av grafen, mens ein hakeparentes ] betyr at punktet er ein del av grafen, det tilsvarer korleis desse symbola blir brukte for intervall.

Grafen til ein funksjon f er teikna for x-verdiar mellom minus 1 og 2. Grafen startar med ein spissparentes i punktet med koordinatane minus 1 og 1. Grafen har eit botnpunkt i origo og endar i ein spissparentes i punktet med koordinatane 2 og 4. Illustrasjon.

Løysing

$D_{f} = 〈 - 1, 2 〉, V_{f} = [0, 4 〉$

Grafen til ein funksjon g er teikna for x-verdiar mellom minus 6 og 6. Grafen startar med ein spissparentes i punktet med koordinatane minus 6 og 0,3. Grafen stig og har eit toppunkt med koordinatane minus 4,7 og 1, deretter eit botnpunkt med koordinatane minus 1,6 og minus 1, vidare eit toppunkt med koordinatane 1,6 og 1 og eit botnpunkt med koordinatane 4,7 og minus 1. Grafen endar i ein spissparentes i punktet med koordinatane 6 og minus 0,3. Illustrasjon.

Løysing

$D_{g} = ⟨ - 6, 6 ⟩, V_{g} = [- 1, 1]$

Grafen til ein funksjon h er teikna for x-verdiar mellom minus 3,3 og 3,3. Begge endane av grafen forsvinn ut av biletet i øvre biletkant, og grafen har eit botnpunkt med koordinatane 0 og minus 2. Illustrasjon.

Løysing

$D_{h} = R, V_{h} = [- 2, \to 〉$

Grafen til ein funksjon er teikna for x-verdiar mellom cirka minus 2 og cirka 2. Grafen har ingen markeringar i endepunkta, og begge endar forsvinn ned i nedre biletkant. Grafen har eit toppunkt med koordinatane minus 1 og 5, eit botnpunkt med koordinatane 0 og 4 og eit nytt toppunkt med koordinatane 1 og 5. Illustrasjon.

Løysing

$D_{i} = R, V_{i} = 〈 \leftarrow, 5]$

Oppgåve 9

Bestem definisjonsmengde og verdimengde for funksjonane under.

a) Funksjonen f viser temperaturen gjennom eit sommardøgn på Sørlandet.

Grafen til ein funksjon f er teikna for x-verdiar mellom 0 og 24. Grafen startar med ein hakeparentes i punktet med koordinatane 0 og 9. Grafen søkk og har eit botnpunkt med koordinatane 4 og 5, vidare eit toppunkt med koordinatane 16 og 25, og han endar med ein spissparentes i punktet med koordinatane 24 og 11. Illustrasjon.

Løysing

$D_{f} = [0, 24 〉, V_{f} = [5, 25]$

b) Funksjonen g viser middeltemperaturen kvart døgn gjennom eit år på Sørpolen.

Grafen til ein funksjon g er teikna for x-verdiar mellom 0 og 12. Grafen startar med ein hakeparentes i punktet med koordinatane 0 og minus 30. Grafen søkk og har eit botnpunkt med koordinatane 6 og minus 60 og endar med ein spissparentes i punktet med koordinatane 12 og minus 30. Illustrasjon.

Løysing

$D_{g} = [0, 12 ⟩, V_{g} = [- 60, - 30]$

c) Funksjonen h viser vasstanden i Bergen frå ei flomåling til neste flomåling.

Grafen til ein funksjon h er teikna for x-verdiar mellom 0 og 12. Grafen startar med ein hakeparentes i punktet med koordinatane 0 og 160. Grafen søkk og har eit botnpunkt med koordinatane 6 og 40 og endar i ein spissparentes i punktet med koordinatane 12 og 160. Illustrasjon.

Løysing

$D_{h} = [0, 12 〉, V_{h} = [40, 160]$

Opplysningar om tidevatn og vasstand for norskekysten på Kartverket:

Kartverket: Se havnivå

Vasstand og talet på timar mellom kvar flomåling varierer litt frå døgn til døgn. Vi har teke utgangspunkt i data frå Bergen 04.01.2010 og laga ei tilnærma rett kurve.

d) Funksjonen i viser saldoen på kontoen din under ein fem timar lang handletur.

Koordinatsystem med 4 vassrette linjestykke. Det første går frå x er lik 0 til x er lik 0,5, og y-verdien er 1000. Det venstre endepunktet startar med ein hakeparentes. Det andre linjestykket går frå x er lik 0,5 til x er lik 1,25, og y-verdien er 700. Det tredje går frå x er lik 1,25 til x er lik 4, og y-verdien er 200. Det fjerde linjestykket går frå x er lik 4 til x er lik 5, og y-verdien er 100. Det høgre endepunktet endar i ein spissparentes. Illustrasjon.

Løysing

$D_{i} = [0, 5 ⟩, V_{i} = \{100, 200, 700, 1000\}$

Oppgåve 10

Bestem definisjonsmengde og verdimengde for funksjonane under.

a) Funksjonen B viser omtrentleg folketalet i verda frå og med år 1900 til år 2000.

Grafen til ein funksjon B er teikna for x-verdiar mellom 0 og 100. Grafen startar med ein hakeparentes i punktet med koordinatane 0 og 1,5. Grafen stig heile vegen og endar med ein spissparentes i punktet med koordinatane 100 og 5,7. Illustrasjon.

Løysing

$D_{B} = [0, 100 〉, V_{B} = [1.5, 5.7 〉$

b) Funksjonen S viser talet på sauar (og lam) gjennom eit år i ein buskap på 100 vinterfôra sauar.

Grafen til funksjonen S er teikna i eit koordinatsystem for x-verdiar mellom 0 og 12. Grafen startar med ein hakeparentes i punktet med koordinatane 0 og 100. Grafen går vassrett til høgre til punktet med koordinatane 2 og 100, stig i ei rett linje til punktet med koordinatane 3 og 120, stig i ei rett linje til punktet med koordinatane 4 og 170, går vassrett til punktet med koordinatane 8 og 170, søkk i ei rett linje til punktet med koordinatane 9 og 150, søkk i ei rett linje til punktet med koordinatane 10 og 120, søkk i ei rett linje til punktet med koordinatane 11 og 100 og endar i ein spissparentes i punktet med koordinatane 12 og 100. Illustrasjon.

Løysing

$D_{s} = [0, 12 〉, V_{s} = [100, 170]$

c) Funksjonen R viser verdien på ein bil frå han vart kjøpt ny for 420 000 kroner og fem år framover.

Grafen til funksjonen R er teikna for x-verdiar mellom 0 og 5. Grafen startar med ein hakeparentes i punktet med koordinatane 0 og 420000. Grafen søkk heile vegen og endar med ein hakeparentes i punktet som har koordinatane 5 og 250000. Illustrasjon.

Løysing

$D_{R} = [0, 5], V_{R} = [140000, 420000]$

d) Funksjonen E viser talet på elevar på skulebussen frå han startar, til han er framme på skulen ein time seinare.

Grafen til funksjonen E er teikna i eit koordinatsystem for x-verdiar mellom 0 og 60. Grafen startar med ein hakeparentes i punktet med koordinatane 0 og 7 der. Grafen går som ei trapp oppover mot høgre der øvste trinn går mellom punktet med koordinatane 52 og 50 og punktet med koordinatane 58 og 50. Frå det sistnemnde punktet går grafen i ei rett linje ned til punktet med koordinatane 60 og 0. Der endar grafen i ein hakeparentes. Illustrasjon.

Løysing

$D_{E} = [0, 60], V_{E} = [0, 50]$

Oppgåve 11

Foreslå ei rimeleg definisjonsmengde og verdimengde for funksjonane.

a) Funksjonen L viser talet på lærarar på ein vidaregåande skule i Noreg som funksjon av talet på elevar på skulen.

Løysing

$D_{L} = [50, 2000], V_{L} = [5, 150]$

b) Funksjonen E viser talet på elevar på ein vidaregåande skule i Noreg som funksjon av talet på lærarar på skulen.

Løysing

$D_{E} = [5, 150], V_{E} = [50, 2000]$

c) Funksjonen V viser kor mykje ein berepose med appelsinar veg som funksjon av talet på appelsinar i posen.

Løysing

$D_{V} = [0, 25], V_{V} = [0, 5]$

d) Funksjonen M viser mjølkeforbruket per veke i ein husstand som funksjon av talet på personar i husstanden.

Løysing

$D_{M} = [1, 8], V_{M} = [3, 25]$

Oppgåve 12

Kva for ein eller kva for nokre av grafane nedanfor representerer ein funksjon? Grunngi svaret.

Ein sirkel med radius 3 teikna i eit koordinatsystem. Sentrum i sirkelen er punktet med koordinatane 1 og 1. Illustrasjon.

Løysing

Dette er ikkje ein funksjon. Til fleire av x-verdiane svarer det meir enn éin y-verdi.

Ein graf er teikna i eit koordinatsystem. Grafen startar i punktet med koordinatane 12,5 og 5,7, går mot venstre og søkk heile vegen. I punktet med koordinatane minus 0,5 og 2 er grafen loddrett. Deretter svingar grafen til høgre og søkk framleis. Han endar i punktet med koordinatane 12,5 og minus 1,7. Illustrasjon.

Løysing

Dette er ikkje ein funksjon. Til fleire av x-verdiane svarer det meir enn éin y-verdi.

Ein graf er teikna i eit koordinatsystem. Grafen startar i punktet med koordinatane minus 0,6 og minus 2,1, stig mot høgre og har eit toppunkt med koordinatane 2 og 4,5. Deretter søkk grafen mot høgre og endar i punktet med koordinatane 4,6 og minus 2,1. Illustrasjon.

Løysing

Dette er ein funksjon. Til kvar x-verdi svarer det éin y-verdi.

Ein graf er teikna i eit koordinatsystem. Grafen startar i punktet med koordinatane minus 2,5 og minus 2,4. Han stig i ei rett linje mot høgre til punktet med koordinatane 2,7 og 3,6. Deretter søkk han mot høgre i ei rett linje til punktet med koordinatane 8,5 og 0,8. Illustrasjon.

Løysing

Dette er ein funksjon. Til kvar x-verdi svarer det éin y-verdi.

Oppgåve 13

Lyseblått garnnøste og strikkepinnar. Foto. — Bilete: Corbis / CC BY-NC-SA 4.0

Du skal strikke eit firkanta sjal. I oppskrifta står det at dersom du lagar 22 masker i breidda, svarer til det 10 cm. Strikkar du 25 masker i høgda, blir det òg 10 cm.

a) Kor mange masker i breidda blir det per cm?

Løysingsforslag

Vi veit at 22 masker er 10 cm. Då kan vi finne talet på masker på éin cm ved å dele 22 med 10.

$\frac{22 maskar}{10 cm} = 2, 2 \frac{maskar}{cm}$

b) Dersom sjalet skal vere 45 cm breitt, kor mange masker må vi leggje opp i breidda då?

Løysingsforslag

Vi må multiplisere talet på masker per cm med talet på cm vi skal strikke. Vi får at talet på masker blir

$2, 2 \frac{masker}{cm} \cdot 45 cm = 99 masker$

c) Forklar at du kan beskrive talet på masker i breidda $b (x)$ ved hjelp av uttrykket 2,2x, der x er talet på cm i breidda.

Løysingsforslag

Når vi skal finne ut kor mange masker det blir i breidda, må vi gonge 2,2 med talet på cm, altså får vi

$b (x) = 2, 2 \cdot x = 2, 2 x$

d) Finn ein tilsvarande formel eller funksjon $h (y)$ for talet på masker det blir i høgda når høgda er y cm.

Løysingsforslag

Talet på masker per cm i høgda blir

$\frac{25 maskar}{10 cm} = 2, 5 \frac{maskar}{cm}$

$h (y) = 2, 5 \cdot y = 2, 5 y$

e) Kvifor bruker vi ikkje den same bokstaven for talet på cm i breidda (x) og talet på cm i høgda (y)?

Løysingsforslag

Vi bruker ikkje den same bokstaven fordi dei måler to ulike ting. Den eine måler breidda, den andre måler høgda, og dei vil ha ulike verdiar i praksis.

f) Ei venninne bestiller eit sjal av deg. Det skal vere 70 cm breitt og 40 cm høgt. Kor mange masker blir det i breidda og i høgda?

Løysingsforslag

Opplysningane betyr at $x = 70$ og $y = 40$ . Talet på masker i breidda blir

$b (70) = 2, 2 \cdot 70 = 154$

mens talet på masker i høgda blir

$h (40) = 2, 5 \cdot 40 = 100$

g) Kor mange masker blir det totalt på dette sjalet?

Løysingsforslag

Dette blir som arealet av eit rektangel målt i masker. Vi må multiplisere talet på masker i breidda med talet på masker i høgda. Talet på masker totalt blir

$154 \cdot 100 = 15 400$

h) Prøv å anslå kor lang tid det tek å strikke dette sjalet.

i) Undersøk kor raskt ei strikkemaskin kan strikke dette sjalet. Rekn òg ut kor mange slike sjal strikkemaskina kan lage på den tida det tek å strikke eit sjal manuelt.

j) Kor breitt blir eit sjal dersom du legg opp 132 masker i breidda?

Løysingsforslag

Her er det mange måtar å gå fram på. Vi tek utgangspunkt i formelen $b (x) = 2, 2 x$ . Vi veit no at $b (x) = 132$ . Då får vi

$\begin{array}{rcl} 2, 2 x & = & 132 \\ \frac{2, 2 x}{2, 2} & = & \frac{132}{2, 2} \\ x & = & 60 \end{array}$

Breidda blir 60 cm.

k) Lag ein formel eller funksjon $x (b)$ for breidda i cm når talet på masker er b.

Løysingsforslag

Dette blir det motsette av funksjonen $b (x)$ .

Alternativ 1

Vi kan snu på formelen $b (x) = 2, 2 x$ . For å gjere det enklare, skriv vi no

$b = 2, 2 x$ . (Hugs at $b (x)$ berre er ein skrivemåte. Storleiken har namnet b.)

Vi ønskjer å ende opp med $x =$ . Då gjer vi omtrent som i den førre oppgåva.

$\begin{array}{rcl} b & = & 2, 2 x \\ \frac{b}{2, 2} & = & \frac{2, 2 x}{2, 2} \\ \frac{b}{2, 2} & = & x \\ x & = & \frac{b}{2, 2} \end{array}$

No kan vi rekne ut breidda x ut ifrå talet på masker b, og vi kan skrive

$x (b) = \frac{b}{2, 2}$

Alternativ 2

Vi veit at 22 masker i breidda svarer til 10 cm. Då vil 1 maske svare til

$\frac{10 cm}{22} = 0, 455 cm$

For å finne ut kor langt eit visst tal masker b er, må vi multiplisere b med dette talet. Det gir oss

$x (b) = 0, 455 \cdot b = 0, 455 b$

l) Studer dei to svaralternativa i den førre oppgåva. Er dei like?

Løysingsforslag

Vi tek utgangspunkt i formelen/funksjonen i alternativ 2.

$x (b) = 0, 455 \cdot b = \frac{10}{22} \cdot \frac{b}{1} = \frac{10 \cdot b}{22 \cdot 1} = \frac{10 \cdot b}{10 \cdot 2, 2} = \frac{b}{2, 2}$

Konklusjon: Det er den same formelen.

m) Finn tilsvarande formel eller funksjon for høgda $y (h)$ når det er h masker i høgda.

Løysingsforslag

Dette blir det motsette av funksjonen $h (y)$ .

Alternativ 1

Vi kan snu på formelen $h (y) = 2, 5 y$ . For å gjere det enklare, skriv vi no $h = 2, 5 y$ . (Hugs at $h (y)$ berre er ein skrivemåte. Storleiken har namnet h.)

Vi ønskjer å ende opp med $y =$ . Vi får

$\begin{array}{rcl} h & = & 2, 5 y \\ \frac{h}{2, 5} & = & \frac{2, 5 y}{2, 5} \\ \frac{h}{2, 5} & = & y \\ y & = & \frac{h}{2, 5} \end{array}$

No kan vi rekne ut høgda y ut ifrå talet på masker h, og vi kan skrive

$y (h) = \frac{h}{2, 5}$

Alternativ 2

Vi veit at 25 masker i høgda svarer til 10 cm. Då vil 1 maske svare til

$\frac{10 cm}{25} = 0, 4 cm$

For å finne ut kor høgt eit visst tal masker h er, må vi multiplisere h med dette talet. Det gir oss

$y (h) = 0, 4 \cdot h = 0, 4 h$

n) Du oppdagar at du har kjøpt feil garn. På garnet er det gitt ei heilt anna strikkefastheit, det står at 12 masker i breidda skal gi 10 cm. Forholdet mellom masker i breidda og masker i høgda er det same som i det opphavlege garnet. Kan du lage tilsvarande formlar for dette garnet, sånn at du kan bruke det i staden?

Løysingsforslag

Vi får

$b (x) = \frac{12}{10} \cdot x = 1, 2 \cdot x = 1, 2 x$

Då må den motsette formelen bli

$x (b) = \frac{b}{1, 2}$

Forholdet mellom mengda masker i høgda og talet på masker i breidda skal vere det same. Med originalgarnet er dette forholdet $\frac{25}{22}$ . Dersom vi set det ukjende talet på masker i høgda for n med det andre garnet, blir forholdet $\frac{n}{12}$ . Desse to forholda må vere like, og vi får

$\begin{array}{rcl} \frac{n}{12} & = & \frac{25}{22} \\ \frac{n \cdot 12}{12} & = & \frac{25 \cdot 12}{22} \\ n & = & 13, 6 \end{array}$

Sjølv om vi ikkje kan strikke 13,6 masker, kan vi rekne med talet 13,6. Vi får vidare at

$h (y) = \frac{13, 6}{10} \cdot y = 1, 36 \cdot y = 1, 36 y$

Den motsette formelen blir

$y (h) = \frac{h}{1, 36}$

o) Kva er forskjellen mellom ein funksjon og ein formel? Diskuter.

Oppgåve 14

Tove og Christian liker å vere fysisk aktive, og i tillegg liker dei å lage matematiske samanlikningar. (Ein kan vel kanskje kalle dei litt nerdete?) Då Noreg vart stengt ned på grunn av koronakrisa, var dei mykje på tur både saman og kvar for seg. Dei sykla, sprang og gjekk tur både i fjellet og på flatmark.

I denne oppgåva går vi ut frå at dei syklar, spring og går tur med jamn fart sjølv om dei heilt sikkert ikkje gjorde det.

Syklist i skogen. Foto. — Bilete: miklosz / CC BY-NC-SA 4.0

a) Ein av turane dei sykla, var ei kupert rute på 28,6 km. Tove brukte 1 time og 34 minutt. Lag eit uttrykk $s (t)$ som beskriv kor langt Tove har kome etter t minutt.

Løysingsforslag

Vi må finne ut kor langt Tove kjem på eitt minutt. Tida i minutt er

$1 h 34 \min = 60 \min + 34 \min = 94 \min$

Talet på km per minutt blir

$\frac{28, 6 km}{94 \min} = 0, 304 km / \min$

Dette er eit mål på farten til Tove.

Vi kan då setje opp følgjande uttrykk:

$s (t) = 0, 304 t$

b) Christian brukte 1 time og 2 minutt på den same sykkelturen. Lag eit uttrykk $t (x)$ som beskriv kor lang tid Christian har brukt på x km.

Løysingsforslag

Vi gjer om tida til minutt.

$1 h 2 \min = 60 \min + 2 \min = 62 \min$

Her er vi interessert i talet på minutt per km. Då må vi gjere det motsette av kva vi gjorde i den førre oppgåva.

$\frac{62 \min}{28, 6 km} = 2, 17 \min / km$

Dette er òg eit mål på fart, men i staden for å seie noko om kor langt Christian kjem per minutt som i den førre oppgåva, seier talet her noko om kor lang tid han bruker per km. Dersom vi multipliserer dette talet med kor langt han har sykla, får vi kor lang tid han brukte. Vi får derfor

$t (x) = 2, 17 x$

c) Lag ein formel for kor langt Tove har kome som funksjon av kor langt Christian har kome.

Tips 1

Her skal vi altså fram til ein funksjon s, ikkje $s (t)$ , men $s (x)$ sidan x er kor langt Christian har kome.

Tips 2

Erstatt t i formelen for $s (t)$ med formelen $t (x)$ .

Løysingsforslag

$s (x) = 0, 304 t = 0, 304 \cdot t (x) = 0, 304 \cdot 2, 17 x = 0, 66 x$

d) Kva fortel formelen i oppgåva over oss?

Løysingsforslag

Formelen fortel oss at for kvar km Christian syklar, syklar Tove 0,66 km eller 660 m.

e) Kor langt har Tove sykla når Christian har sykla 5 km?

Løysingsforslag

Her har vi at $x = 5$ . Då får vi

$s (5) = 0, 66 \cdot 5 = 3, 3$

Tove har sykla 3,3 km når Christian har sykla 5 km.

Jente som drikk vatn frå flaske på fjelltur. Foto. — Bilete: Espen Bratlie / CC BY-NC-SA 4.0

f) Ein av fjellturane dei liker godt, er 6,9 km lang. Dei hadde kvar sin tur, og Christian (som skrytte av at han tok det roleg) brukte 1 time og 9 minutt. Tove, derimot, hang i stroppen og sleit seg inn til 1 time og 40 minutt.
Lag eit uttrykk $t (x)$ som viser kor langt Tove har gått som ein funksjon av kor langt Christian har gått.

Tips

Her må vi gjere tilsvarande som i oppgåvene over, men vi kan ta nokre snarvegar.

Løysingsforslag

Vi fann i oppgåve c) at vi enda opp med å multiplisere dei to forholdstala for km/min for Tove og min/km for Christian.

Tove:

$1 h 40 \min = 60 \min + 40 \min = 100 \min$

$\frac{6, 9 km}{100 \min} = 0, 069 km / \min$

Christian:

$1 h 9 \min = 60 \min + 9 \min = 69 \min$

$\frac{69 \min}{6, 9 km} = 10 \min / km$

Vi får

$s (x) = 0, 069 \cdot 10 x = 0, 69 x$

g) Er Christian like rask i forhold til Tove på fottur som på sykkel?

Svar

Tove kjem lenger per km Christian har kome på fottur sidan konstanten i formelen for fottur (0,69) er større enn for sykling (0,66). Christian er derfor ikkje like rask i forhold til Tove på fottur som på sykkel (sjølv om forskjellen ikkje er veldig stor).

Nedlastbare filer

Her kan du laste ned oppgåvene som word- og pdf-dokument.

Oppgåve 1

Oppgåve 2

Oppgåve 3

Oppgåve 4

Oppgåve 5

Filer

Oppgåve 6

Oppgåve 7

Oppgåve 8

Oppgåve 9

Oppgåve 10

Oppgåve 11

Oppgåve 12

Oppgåve 13

Alternativ 1

Alternativ 2

Alternativ 1

Alternativ 2

Oppgåve 14

Nedlastbare filer

Filer

Reglar for bruk av teksten "Funksjonsomgrepet. Definisjonsmengde og verdimengde"