Oppgåver og aktivitetar

Modellering med andregradsfunksjonar

Mange praktiske problem kan modellerast med andregradsfunksjonar.

3.3.12

Du skal byggje ei hundeseng ved å dele av eit hjørne i eit rom ved hjelp av ein planke på 2 m. Planken må delast i to og vil utgjere to av veggene i hundesenga.

a) Teikn ei skisse av hundesenga sett ovanfrå. Kall den eine sida for $x$ , og finn eit uttrykk for den andre sida der $x$ inngår.

Løysingsforslag

Sidan summen av dei to veggane er 2 m og den eine er $x$ , må den andre vere $2 - x$ .

Rektangel med sider x og 2 minus x er plassert inne i eit hjørne med vinkel 90 grader. Illustrasjon. — Skisse av hundeseng

b) Set opp ein funksjon $A (x)$ for arealet av hundesenga.

Løysingsforslag

Arealet er produktet av lengde og breidde, og vi får

$A (x) = x (2 - x) = 2 x - x^{2}$

c) Forklar at den teoretiske definisjonsmengda til funksjonen $A (x)$ er $D_{A} = ⟨ 0, 2 ⟩$ .

Løysingsforslag

Sidan planken er 2 m, kan ikkje nokon av sidene vere større enn det. Ingen av sidene kan vere null eller mindre. $x$ må altså vere mindre enn 2 m og større enn 0 m.

d) Kan du seie noko om kva definisjonsmengda vil vere i praksis? Kvifor er dette intervallet annleis enn det i b)?

Løysingsforslag

I praksis må senga vere brei nok og lang nok til at hunden skal få plass. Vi kan ikkje seie noko heilt eksakt, men vi kan sjå for oss at senga må vere minimum ein halv meter i kvar retning. Då er 0,5 nedre grense for $x$ . Den øvre grensa for $x$ får vi når den andre sida er 0,5. Då kan vi løyse likninga

$\begin{array}{rcl} 2 - x & = & 0, 5 \\ - x & = & 0, 5 - 2 \\ x & = & 1, 5 \end{array}$

Då blir den praktiske definisjonsmengda $[0.5, 1, 5]$ .

e) Vi set no $D_{A} = [0.5, 1.5]$ i resten av oppgåva. Kva blir verdimengda $V_{A}$ til funksjonen $A (x)$ ?

Løysingsforslag

Dette kan løysast på fleire måtar. Vi kan teikne funksjonen og finne toppunktet (korleis veit vi at funksjonen har eit toppunkt?). Alternativt kan vi starte med å rekne ut kor stort arealet er når $x = 0, 5$ og når $x = 1, 5$ sidan dette er grensene for definisjonsmengda.

$A (0, 5) = 2 \cdot 0, 5 - 0, 5^{2} = 1 - 0, 25 = 0, 75 A (1, 5) = 2 \cdot 1, 5 - 1, 5^{2} = 3 - 2, 25 = 0, 75$

Kvifor får vi same areal?

For å finne toppunktet, kan vi bruke at andregradsfunksjonar er symmetriske. Det betyr at sidan vi fekk same svar på dei to utrekningane over, må toppunktet liggje midt i mellom 0,5 og 1,5, altså for $x = 1$ . Då er begge sidene lik 1 m, og arealet må bli 1 m².

Den praktiske verdimengda til funksjonen blir derfor $V_{A} = [0.75, 1]$ .

f) Kor stor er den største senga du kan lage, og kor lange er sidene då?

Løysingsforslag

Ut ifrå løysinga i den førre oppgåva får vi den største moglege hundesenga når sidene er 1 m, og då er arealet 1 m².

g) Kva er samanhengen mellom likninga $A (x) = 0, 84$ og ulikskapen $A (x) \leq 0, 84$ , og kva betyr desse i praksis?

Løysingsforslag

Når vi løyser likninga, finn vi ut for kva $x$ -verdiar arealet er lik 0,84 m². Når vi løyser ulikskapen, finn vi ut for kva $x$ -verdiar arealet er mindre enn eller lik 0,84 m². Når vi skal løyse ulikskapen, må vi først starte med å løyse den tilsvarande likninga:

$\begin{array}{rcl} A (x) & = & 0, 84 \\ 2 x - x^{2} & = & 0, 84 \\ - x^{2} + 2 x - 0, 84 & = & 0 \end{array}$

Vi løyser med andregradsformelen:

$\begin{array}{rcl} x & = & \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 0, 84)}}{2 \cdot (- 1)} \\ = & \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 3, 36}}{- 2} \\ = & \frac{- 2 \pm \sqrt{0, 64}}{- 2} \\ = & \frac{- 2 \pm 0, 8}{- 2} \\ x & = & \frac{- 2 + 0, 8}{- 2} = 0, 6 \lor x = \frac{- 2 - 0, 8}{- 2} = 1, 4 \end{array}$

Sidan vi veit mykje om funksjonen $A (x)$ frå før, ser vi at dersom $A (x) \leq 0, 84$ , må $x$ vere mindre eller lik 0,6 og større eller lik 1,4. Samtidig kan ikkje $x$ vere mindre enn 0,5 eller større enn 1,5. Vi slepp å teikne forteiknslinje. Løysinga på ulikskapen blir derfor

$x \in [0.5, 0.6] \cup [1.4, 1.5]$

Alternativ skrivemåte: $0, 5 \leq x \leq 0, 6 \lor 1, 4 \leq x \leq 1, 5$

Teiknet $\lor$ betyr "eller".

Oppgåva kan òg løysast grafisk eller med CAS.

3.3.13

Du skal byggje eit skap på ein vegg. Veggen har skråtak. Breidda på veggen er 300 cm, høgda på det høgaste er 260 cm og på det lågaste 65 cm. Skapet skal vere rektangulært og stå inntil den høgaste veggen. Jo høgare skapet er, jo smalare må skapet vere for å få plass under skråtaket. Vi ønskjer at skapet skal vere så stort som mogleg.

a) Vi set breidda på skapet lik $x$ . Teikn ei skisse av korleis skapet kan sjå ut framanfrå, og forklar at høgda $h$ på skapet blir

$h = 260 - 0, 65 x$

Tips

Her kan du bruke formlike trekantar.

Løysingsforslag

I trapeset A B C D er A D og B C dei parallelle sidene. A D har lengda 65 centimeter og B C har lengda 260 centimeter. A B er 300 centimeter og står vinkelrett på både A D og B C. A B er langs golvet i eit loftsrom der A D er avstanden frå golv til tak langs den eine veggen, og B D er avstanden frå golv til tak langs den andre veggen. Illustrasjon. — Skisse av fronten av eit mogleg rektangulært skap EBFG i loftsrom med skråtak

For at skapet skal bli så stort som mogleg, må det plasserast inntil den høgaste veggen. Vi bruker at trekantane $G F C$ og $D H C$ er formlike. Det betyr at

$\begin{array}{rcl} \frac{G F}{D H} & = & \frac{F C}{H C} \\ \frac{x}{300} & = & \frac{260 - h}{260 - 65} \\ \frac{x}{300} & = & \frac{260 - h}{195} | \cdot 195 \\ \frac{x}{300} \cdot 195 & = & \frac{260 - h}{195} \cdot 195 \\ \frac{195 x}{300} & = & 260 - h \\ h & = & 260 - \frac{195}{300} x \\ h & = & 260 - 0, 65 x \end{array}$

Merk at vi ikkje multipliserte med fellesnemnaren, som er produktet av 300 og 195, fordi det gir oss enklare rekning når vi ønskjer å ende opp med $h =$ .

b) Finn eit uttrykk $A (x)$ for arealet av fronten på skapet.

Løysingsforslag

$A (x) = x \cdot h = x (260 - 0, 65 x) = 260 x - 0, 65 x^{2}$

c) Forklar kvifor volumet av skapet blir størst når arealet $A (x)$ av fronten har den største verdien sin.

Løysingsforslag

Volumet av skapet er produktet av arealet av fronten, $A (x)$ , og djupna av skapet. Vi må anta at veggen er plan slik at djupna av skapet er den same overalt. Då varierer volumet berre med $A (x)$ , så når denne funksjonen har den største verdien sin, vil òg volumet av skapet vere størst.

d) Kor breitt og høgt er skapet når arealet av fronten er størst mogleg?

Løysingsforslag

Her betyr det at vi ønskjer å finne toppunktet til arealfunksjonen $A (x)$ . Vi teiknar funksjonen i GeoGebra og bruker verktøyet "Ekstremalpunkt".

Funksjonen A av x er lik 260 x minus 0,65 x i andre er teikna i eit koordinatsystem der x-aksen går frå 0 til 300. Toppunktet B med koordinatane 200 og 26000 er teikna inn. Skjermutklipp. — Funksjonen som viser arealet til skapfronten

Arealet av fronten er størst når breidda på skapet er 200 cm.
Høgda på skapet er då: $h = 260 - 0, 65 \cdot 200 = 130 cm .$

Oppgåva kan òg løysast ved å bruke CAS.

e) Kan du tenkje deg nokon løysingar som vil gi større skapplass?

Løysingsforslag

Her er det mange moglegheiter. Eitt forslag er å dele opp skapet i to og la kvar del gå så høgt som mogleg. Då vil den høgre delen av skapet kome høgare enn resten.

f) Utfordring

Vi set no den lågaste høgda under taket lik $s$ . Kva blir arealfunksjonen $A (x)$ no?

Tips

Start med å finne ein ny formel for høgda $h$ der lengda $H C$ no blir $260 - s$ i staden for $260 - 65$ .

g) Utfordring

Til no har du sett at når den lågaste høgda er 65 cm, vart det størst skap når breidda var 200 cm.

For kva verdi av $s$ får vi størst skapplass når vi bruker heile breidda på 300 cm til skap?

Tips

Bruk GeoGebra. Legg inn talet $s$ som ein glidar og la glidaren gå frå 0 til 260. Legg inn arealfunksjonen $A (x)$ frå den førre oppgåva med glidaren $s$ . Finn toppunktet til arealfunksjonen med GeoGebra. Observer korleis toppunktet flyttar seg når verdien for $s$ blir endra med glidaren.

Kva betyr det i praksis når toppunktet til funksjonen har $x$ -koordinat som er større enn 300?

CC BY-SASkrive av Tove Annette Holter.

Sist fagleg oppdatert 20.04.2020

Modellering med andregradsfunksjonar

3.3.12

3.3.13

Reglar for bruk