Oppgåvene nedanfor skal løysast utan bruk av hjelpemiddel.
3.3.1
I koordinatsystemet har vi teikna grafen til funksjonen
og markert nokre punkt på grafen.
a) Skriv ned koordinatane til punkta A, B, C og D.
Vis fasit
b) Rekn ut .
Vis fasit
c) Forklar at koordinatane til punkta på grafen kan skrivast som
Vis fasit
Når vi reknar ut, finn vi funksjonsverdien for , det vil seie punktet A på grafen. Eit punkt vil derfor alltid liggje på grafen til for alle verdiar for der funksjonen eksisterer.
3.3.2
Bestem kva veg grafane til funksjonane krummar (smil eller sur), og der dei skjer andreaksen, utan å teikne grafane.
a)
Vis fasit
Talet for andregradsleddet er positivt. Grafen vil vende den hole sida si opp (smile) og vil då ha eit botnpunkt. Grafen skjer andreaksen i 12.
b)
Vis fasit
Talet føre andregradsleddet er negativt. Grafen vil vende den hole sida si ned (sur) og vil då ha eit toppunkt. Grafen skjer andreaksen i 4.
c)
Vis fasit
Talet føre andregradsleddet er negativt. Grafen vil vende den hole sida si ned (sur) og vil då ha eit toppunkt. Grafen skjer andreaksen i .
d)
Vis fasit
Talet føre andregradsleddet er positivt. Grafen vil vende den hole sida si opp (smile) og vil då ha eit botnpunkt. Grafen skjer andreaksen i 0.
e) Sjekk svara i a) ved å teikne grafane til funksjonane i eit koordinatsystem.
Vis fasit
3.3.3
Funksjonen er gitt ved for verdiar mellom og .
a) Teikn grafen til .
Vis fasit
b) Finn botnpunktet på grafen til .
Vis fasit
Vi bruker verktøyet "Nullpunkt" i GeoGebra. Botnpunktet er
c) Finn nullpunkta til .
Vis fasit
Vi bruker verktøyet "Nullpunkt" i GeoGebra. Nullpunkta er og .
d) Finn der grafen til skjer -aksen. Kva kallar vi desse skjeringspunkta?
Vis fasit
Grafen skjer -aksen for Skjeringspunkta kallar vi nullpunkt.
3.3.4
Camilla kastar ein ball rett opp i lufta. Etter sekund er høgda meter over bakken gitt ved andregradsfunksjonen
a) Teikn grafen til for dei første 3 sekunda.
Vis fasit
b) Når er ballen 10 meter over bakken?
Vis fasit
Vi teiknar linja Vi finn skjeringspunktet mellom denne linja og grafen til h med kommandoen "Skjering mellom to objekt". Sjå punkta D og E i løysinga til oppgåve a). Ballen er 10 meter over bakken etter 0,8 sekund og etter 2,1 sekund.
c) Når treffer ballen bakken?
Vis fasit
Vi finn nullpunktet med verktøyet "Nullpunkt". Sjå punktet C i løysinga til oppgåve a). Ballen treffer bakken etter 3 sekund.
d) Når er ballen 15 meter over bakken?
Vis fasit
Vi ser av grafen i løysinga til oppgåve a) at ballen aldri når denne høgda.
e) Kor høgt når ballen, og når er ballen på det høgaste punktet sitt?
Vis fasit
Vi finn toppunktet med verktøyet "Ekstremalpunkt". Sjå punkt A i løysinga til oppgåve a). Ballen når det høgaste punktet sitt etter omtrent 1,4 sekund og har då ei høgde på 12 meter over bakken.
3.3.5
Gitt grafane nedanfor.
Set riktig bokstav (A, B, C) føre den andregradsfunksjonen du meiner høyrer til graf A, graf B eller graf C. Prøv deg utan å teikne grafane. Obs: Tre av funksjonsuttrykka høyrer ikkje til nokon av grafane.
Vis fasit
3.3.6
a) Sjå på dei fire funksjonsuttrykka nedanfor, og finn ut ved rekning
kva veg grafane til funksjonane krummar (smileller sur )
kva for nokre av grafane som har toppunkt, og kva for nokre av dei som har botnpunkt
der grafane skjer andreaksen
likninga for symmetrilinja til kvar av grafane
koordinatane til topp- eller botnpunktet til kvar av grafane
verdimengda til funksjonane
nullpunkta til funksjonane
Vis fasit
Når og a>0, vil grafen vende den hole sida si opp (smile). Grafen vil då ha eit botnpunkt. Grafen skjer andreaksen i 12 fordi konstantleddet c=12.
Symmetrilinja er x=-b2a=72.
Botnpunktet har koordinatane 72,f72=72,-14.
f72=722-7·72+12=-14
Verdimengda blir då [-14,→〉.
For å finne nullpunkta løyser vi likninga
fx=0x2-7x+12=0x=7±72-4·122=7±12x1=3x2=4
Nullpunkta er 3 og 4.
gx=-2x2+2x+4
Vis fasit
Når fx=ax2+bx+c og a<0, vil grafen vende den hole sida si ned (sur). Grafen vil då ha eit toppunkt. Grafen skjer andreaksen i 4 fordi konstantleddet c=4.
Når fx=ax2+bx+c og a<0, vil grafen vende den hole sida si ned (sur). Grafen vil då ha eit toppunkt. Grafen skjer andreaksen i -8 fordi konstantleddet c=-8.
Symmetrilinja er x=-b2a=0-2=0.
Toppunktet fell då saman med skjering med andreaksen: 0,-8
Verdimengda er ⟨←,-8].
Grafen til ligg h under x-aksen. Vf=⟨←,-8]. Funksjonen har derfor ingen nullpunkt.
ix=3x2+12x
Vis fasit
Når fx=ax2+bx+c og a>0, vil grafen vende den hole sida si opp (smile). Grafen vil då ha eit botnpunkt. Grafen skjer andreaksen i 0 fordi konstantleddet c=0.
Symmetrilinja blir x=-b2a=-122·3=-2.
Botnpunktet har koordinatane -2,i-2=-2,-12.
i-2=3·-22+12·-2=-12
Verdimengda blir då [-12,→〉.
For å finne nullpunkta løyser vi likninga
ix=03x2+12x=03xx+4=0x1=-4x2=0
Nullpunkta er -4 og 0.
b) Sjekk svara i a) ved å teikne grafane til funksjonane i eit koordinatsystem.
Vis fasit
3.3.7
Funksjonen f er gitt ved fx=x2+x-6 for x-verdiar mellom -4 og 3.
a) Teikn grafen til f.
Vis fasit
b) Bestem botnpunktet til grafen til f grafisk og ved rekning.
Vis fasit
Vi bruker verktøyet "Ekstremalpunkt" i GeoGebra.
Vi ser av grafen at botnpunktet er -0.5,-6.25.
Ved rekning
Symmetrilinja blir x=-12·1=-0,5.
y-verdien blir då f-0,5=-0,52-0,5-6=-6,25.
Botnpunktet blir -0,5,-6,25.
c) Bestem grafisk kvar grafen til f skjer koordinataksane.
Vis fasit
Grafen til f skjer førsteaksen i -3,0 og 2,0.
Grafen til f skjer andreaksen i 0,-6.
d) Bestem ved rekning kvar grafen til f skjer koordinataksane.
Vis fasit
Grafen skjer andreaksen når x=0:
f0=-6
Skjeringspunkta er 0,-6.
Grafen skjer andreaksen når y=0
fx=0x2+x-6=0x=-1±12-4·-62x=-3∨x=2
Grafen skjer førsteaksen i punkta -3,0 og 2,0.
e) Kva er verdimengda til f?
Vis fasit
I denne oppgåva skulle vi velje x-verdiar frå og med -4 til og med 3.
Definisjonsmengda Df til funksjonen blir dermed Df=-4,3.
Den lågaste verdien til funksjonen f er -6,25. Vi ser grafisk at den høgaste verdien til funksjonen er 6.
Verdimengda Vf blir dermed Vf=-6.25,6.
3.3.8
Andreas kastar eit spyd.
Grafen til funksjonen f gitt ved fx=-0,01x2+0,85x+2,20 beskriv banen spydet følgjer gjennom lufta.
Her er x meter målt langs bakken frå staden Andreas kastar spydet frå, og fx meter er høgda spydet har over bakken.
a) Teikn grafen til f for x≥0.
Vis fasit
Vi teiknar grafen i GeoGebra ved å skrive inn
fx=Funksjon(-0.01x2+0.85x+2.20,0,∞).
b) Bestem skjeringspunkta mellom grafen til f og aksane.
Bestem toppunktet på grafen til f.
Vis fasit
Vi finn skjeringspunkta mellom aksen og grafen ved å bruke kommandoen "Skjering mellom to objekt".
Grafen skjer x-aksen for x=87,5 og y-aksen for y=2,2.
Vi finn toppunktet ved å bruke verktøyet "Ekstremalpunkt".
Toppunktet er 42.5,20.3.
c) Kva fortel svara i b) om spydkastet?
Vis fasit
Andreas kastar ut spydet 2,2 meter over bakken. Spydet når ei høgde på litt over 20 meter, og lengda på kastet er 87,5 meter.