Eksponentiallikningar
Likningar med potensuttrykk der eksponenten er ukjend, kallar vi eksponentiallikningar. Vi kan bruke logaritmesetningane til å løyse slike likningar.
Gitt eksponentiallikninga
Sidan logaritmen til to like tal er like, er
Tredje logaritmesetning gir då at
Det gir løysinga på eksponentiallikninga:
Her kan vi òg like gjerne bruke den naturlege logaritmen.
Vi skal løyse likninga
Vi løyser likninga ved å bruke logaritmesetningane:
Anne har plassert 1 000 kroner på ein konto i banken. På 2000-talet kunne renta vere 6,0 prosent per år. Kor lenge må pengane stå i banken før beløpet er fordobla?
Vi finn vekstfaktoren først.
Når ein storleik aukar med
Vekstfaktoren blir
Vi kan då setje opp følgjande likning der
Vi prøver å løyse likninga ved å bruke logaritmesetningane.
Her må vi bruke eit digitalt verktøy, eller ein logaritmetabell, for å få ein tilnærma verdi. I praktiske oppgåver løyser vi derfor eksponentiallikningar i eit CAS-verktøy.
Ved CAS i GeoGebra får vi det tilnærma svaret 11,9 som løysing på likninga.
Pengane må altså stå i omtrent 12 år i banken før beløpet er fordobla.
Vi kan òg løyse likninga grafisk. I koordinatsystemet har vi teikna grafen til funksjonen
Vi går ut frå at innbyggjartalet i Småby veks med 1,5 prosent kvart år. Det bur i dag 13 000 personar i Småby. Kor mange år går det før innbyggjartalet er 15 000?
Vi finn først vekstfaktoren.
Så set vi opp og løyser likninga
Innbyggjartalet vil vere 15 000 om snaue 10 år.
Kari kjøper ein fire år gammal bil for 200 000 kroner. Bilen har sokke i verdi med 10 prosent kvart år sidan han var ny, og Kari reknar med at denne verdireduksjonen vil halde fram dei neste åra.
Når ein verdi minkar med
Vekstfaktoren blir
Verdien av bilen,
Av grafen til
Avlesing på grafen viser òg at verdien av bilen for 4 år sidan, det vil seie når
Vi skal òg sjå korleis vi kan rekne ut dette med CAS i GeoGebra.
På linje 1 skriv vi inn funksjonen
Til slutt på linje 4 reknar vi ut kor mykje bilen var verd for 4 år sidan.
Vi får det same svaret som vi fann grafisk.
I døme 5 skal vi sjå litt på ei annleis eksponentiallikning.
Vi har her gitt svaret på eksakt form. Det kan ofte vere greitt når vi arbeider med teoretiske problemstillingar.
I praktiske oppgåver som døma 2, 3 og 4, er det vanleg å bruke tilnærmingsverdiar. Utklippet frå CAS i GeoGebra viser korleis vi først løyser likninga eksakt og deretter finn tilnærmingsverdien ved å trykkje på knappen "tilnærma lik", eller skriv $1 på linja under den eksakte løysinga. (Kva betyr det?) Legg merke til at GeoGebra bruker den naturlege logaritmen "ln" i staden for den briggske logaritmen "lg". Det kunne vi òg gjort då vi rekna ut svaret manuelt over.
Oppgåve
Det er to andre forskjellar òg mellom svaret med den manuelle, eksakte utrekninga og det eksakte svaret med CAS. Kva er forskjellane?
Nokre likningar inneheld fleire ledd med potensuttrykk, som til dømes
Kva slags likning er dette, og korleis kan vi løyse denne manuelt?
Vi ser at i likninga inngår både 3 opphøgd i
Vi kallar no
No ser vi at vi har ei andregradslikning med
Andregradslikninga har løysinga
Vi byrja med å setje
Løysinga
Løysinga blir
Her kunne vi òg ha oppgitt svaret på eksakt form som
Metoden her går altså ut på å skifte variabel ved å setje