Periode, amplitude, likevektslinje og faseforskyving

Hugs at faseforskyvinga går til det skjeringspunktet mellom grafen og likevektslinja der grafen er stigande.

Her er faseforskyvinga positiv (som betyr at talet $\phi$ i den generelle sinusfunksjonen er negativt).

• Perioden kan vi lese av mellom $x$-verdiane $\frac{\pi }{4}$ og $\frac{5\pi }{4}$. Vi får $p=\frac{5\pi }{4}-\frac{\pi }{4}=\pi$.

• Likevektslinja er $y=1$.

• Maksimalverdien til sinusfunksjonen er 3. Det betyr at amplituden $A=3-1=2$.

• Faseforskyvinga er $x_f=\frac{\pi }{4}$.

Den generelle sinusfunksjonen kan skrivast som

$f\left(x\right)=A\sin (kx+\phi )+d$

Vi har frå oppgåve b) at

• amplituden er 2, som gir $A=2$

• likevektslinja er $y=1$, som gir $d=1$

• perioden er $\pi$, som gir
  $p=\frac{2\pi }{k}=\pi \iff k=2$

• faseforskyvinga er $\frac{\pi }{4}$, som gir$\begin{array}{rcl}{x}_f & =& -\frac{\phi }{k}=\frac{\pi }{4}\\ \phi & =& -\frac{\pi }{4}·k=-\frac{\pi }{4}·2=-\frac{\pi }{2}\end{array}$

Funksjonsuttrykket blir

$f\left(x\right)=2\sin \left(2x-\frac{\pi }{2}\right)+1$

• $A$ står for amplituden til funksjonen og fortel kor langt grafen til funksjonen svingar ut frå likevektslinja.

• $k$ er eit tal som fortel noko om perioden $p$ til sinusfunksjonen. Samanhengen er at $p=\frac{2\pi }{k}$. Perioden er avstanden i $x$-retning frå eit punkt på grafen til neste punkt der grafen er i same svingetilstand. I nokre samanhengar kallar vi $k$ for frekvens fordi han seier noko om talet på svingingar per eining i $x$-retning.

• Talet $\phi$ fortel noko om kor stor faseforskyvinga til sinusfunksjonen er. Faseforskyvinga $x_f$ er gitt ved talet $-\frac{\phi }{k}$. Det betyr at grafen er forskyvd $-\frac{\phi }{k}$ i $x$-retning i forhold til grafen til ein funksjon der $\phi =0$.

• Linja $y=d$ er likevektslinja grafen til funksjonen svingar om.

Vi les først av maksimalverdien $f_{maks}$ og minimalverdien $f_{min}$ til funksjonen.

$f_{maks}=1, f_{min}=-3$

Så reknar vi ut amplituden $A$ og talet $d$, som er $y$-verdien til likevektslinja:

$A=\frac{f_{maks}-f_{min}}{2}=\frac{1-\left(-3\right)}{2}=2$

$d=f_{maks}-A=1-2=-1$

Vi les av perioden $p$ som avstanden mellom to av toppunkta. Vi får

$p=\pi$

Dette gir

$p=\frac{2\pi }{k} \iff k=\frac{2\pi }{p}=\frac{2\pi }{\pi }=2$

Vi finn det skjeringspunktet mellom likevektslinja og stigande graf som er nærast $y$-aksen. Det er punktet $\left(-\frac{\pi }{4},-1\right)$. Det betyr at faseforskyvinga $x_f$ er

$x_f=-\frac{\pi }{4}$

Dette gir

$x_f=-\frac{\phi }{k} \iff \phi =-k·x_f=-2·\left(-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\pi }{2}$

Dermed blir funksjonsuttrykket

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& A\sin \left(kx+\phi \right)+d\\ & =& 2\sin \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)-1\end{array}$

Hjelpefigur:

$f_{maks}=1,5, f_{min}=-0,5$

$A=\frac{f_{maks}-f_{min}}{2}=\frac{1,5-\left(-0,5\right)}{2}=1$

$d=f_{maks}-A=1,5-1=0,5$

$p=8,5\pi -2,5\pi =6\pi$

$k=\frac{2\pi }{p}=\frac{2\pi }{6\pi }=\frac{1}{3}$

$x_f=\pi$

$\phi =-k·x_f=-\pi ·\frac{1}{3}=-\frac{\pi }{3}$

Dermed blir funksjonsuttrykket

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& A\sin \left(kx+\phi \right)+d\\ & =& \sin \left(\frac{x}{3}-\frac{\pi }{3}\right)+0,5\end{array}$

$f_{maks}=0, f_{min}=-3$

$A=\frac{f_{maks}-f_{min}}{2}=\frac{0-\left(-3\right)}{2}=\frac{3}{2}$

$d=f_{maks}-A=0-\frac{3}{2}=-\frac{3}{2}$

$p=\frac{3\pi }{4}-\frac{\pi }{4}=\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$

$k=\frac{2\pi }{p}=\frac{2\pi }{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}=4$

$x_f=\frac{\pi }{8}$

$\phi =-k·x_f=-4·\frac{\pi }{8}=-\frac{\pi }{2}$

Dermed blir funksjonsuttrykket

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& A\sin \left(kx+\phi \right)+d\\ & =& \frac{3}{2}\sin \left(4x-\frac{\pi }{2}\right)-\frac{3}{2}\end{array}$

$f_{maks}=1,2, f_{min}=0,8$

$A=\frac{f_{maks}-f_{min}}{2}=\frac{1,2-0,8}{2}=0,2=\frac{1}{5}$

$d=f_{maks}-A=1,2-0,2=1$

Vi ser at grafen er i same svingetilstand når $x=6\pi$ som når $x=18\pi$. Perioden blir

$p=18\pi -6\pi =12\pi$

$k=\frac{2\pi }{p}=\frac{2\pi }{{\displaystyle 12\pi }}=\frac{1}{6}$

$x_f=\frac{-3\pi }{2}$

$\phi =-k·x_f=-\frac{1}{6}·\left(-\frac{3\pi }{2}\right)=\frac{\pi }{4}$

Dermed blir funksjonsuttrykket

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& A\sin \left(kx+\phi \right)+d\\ & =& \frac{1}{5}\sin \left(\frac{x}{6}+\frac{\pi }{4}\right)+1\end{array}$

Løysinga blir som i oppgåve d) til vi kjem til faseforskyvinga, der vi no får

$x_f=\frac{21\pi }{2}$

Dette gir

$\phi =-k·x_f=-\frac{1}{6}·\left(\frac{21\pi }{2}\right)=-\frac{7\pi }{4}$

Funksjonsuttrykket blir

$g\left(x\right)=\frac{1}{5}\sin \left(\frac{x}{6}-\frac{7\pi }{4}\right)+1$

Stikkordet er periode.

Alt er likt i dei to funksjonsuttrykka bortsett frå $\phi$. Vi har at perioden til funksjonane er $12\pi$. Det betyr at dersom vi til dømes trekker $12\pi$ frå $x$-verdiane i $f$, har ikkje det noka betydning for utrekninga av funksjonsverdiane. Vi får

$\begin{array}{rcl}f\left(x-12\pi \right) & =& \frac{1}{5}\sin \left(\frac{x-12\pi }{6}+\frac{\pi }{4}\right)-1\\ & =& \frac{1}{5}\sin \left(\frac{x}{6}-2\pi +\frac{\pi }{4}\right)-1\\ & =& \frac{1}{5}\sin \left(\frac{x}{6}-\frac{8\pi }{4}+\frac{\pi }{4}\right)-1\\ & =& \frac{1}{5}\sin \left(\frac{x}{6}-\frac{7\pi }{4}\right)-1\\ & =& g\left(x\right)\end{array}$

Dei to skjeringspunkta har $x$-verdiar som gjer at grafen er i same svingetilstand. Det er derfor det ikkje spelte noka rolle for funksjonen kva for eit av desse punkta vi brukte. Av same årsak kan vi eigentleg bruke eit kva som helst skjeringspunkt der grafen er i same svingetilstand, det vil seie at grafen er stigande, når vi skal bestemme funksjonsuttrykket.

Vi bruker i praksis eitt av dei to skjeringspunkta nærast $y$-aksen, for det gir ikkje meining å operere med ei faseforskyving som er større enn perioden til funksjonen.

Sjå forslag til framgangsmåte for skissa under overskrifta "Skissering av trigonometriske funksjonar" nedst i teoriartikkelen om periode, amplitude, likevektslinje og faseforskyving.

Direkte frå funksjonsuttrykket får vi

$A=2, k=1, \phi =\frac{\pi }{4}, d=-1$

Det betyr videre at perioden er

$p=\frac{2\pi }{k}=\frac{2\pi }{1}=2\pi$

og faseforskyvinga er

$x_f=-\frac{\phi }{k}=-\frac{{\displaystyle \frac{\pi }{4}}}{1}=-\frac{\pi }{4}$

Likevektslinja er $y=-1$.

Funksjonen har maksimalverdi $-1+2=1$ og minimalverdi $-1-2=-3$.

Ein passande skala på $y$-aksen kan vere 1.

Faseforskyvinga betyr at grafen er forskyvd med $\frac{\pi }{4}$ til venstre, og vi teiknar ei pil mellom punkta $\left(0,-1\right)$ og $\left(-\frac{\pi }{4},-1\right)$ for å markere faseforskyvinga.

Ein passande skala på $x$-aksen kan vere $\frac{\pi }{4}$.

Første punkt på grafen til høgre for $\left(-\frac{\pi }{4},-1\right)$ som er i same svingetilstand, ligg éin periode bort, det vil seie at $x=-\frac{\pi }{4}+2\pi =-\frac{\pi }{4}+\frac{8\pi }{4}=\frac{7\pi }{4}$. Vi kan òg markere punktet som ligg ein halv periode bort, det vil seie for $x=\frac{3\pi }{4}$, for der vil grafen krysse likevektslinja på veg nedover.

Vi får toppunkt med $y$-koordinat 1. Eitt av toppunkta har $x$-koordinat midt mellom $-\frac{\pi }{4}$ og $\frac{3\pi }{4}$, det vil seie $\frac{\pi }{4}$. Vi får eit nytt toppunkt i ein avstand 1 periode frå det første, det vil seie for $x=\frac{\pi }{4}+2\pi =\frac{\pi }{4}+\frac{8\pi }{4}=\frac{9\pi }{4}$.

Vi får botnpunkt med $y$-koordinat $-3$. Eitt av botnpunkta har $x$-koordinat midt mellom $\frac{3\pi }{4}$ og $\frac{7\pi }{4}$, det vil seie $\frac{5\pi }{4}$. Vi får eit nytt botnpunkt til dømes for $x=\frac{5\pi }{4}-2\pi =\frac{5\pi }{4}-\frac{8\pi }{4}=-\frac{3\pi }{4}$.

No kan vi teikne skissa av grafen.

$A=3, k=4, \phi =\frac{\pi }{3}, d=-2$

$p=\frac{2\pi }{k}=\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$

$x_f=-\frac{\phi }{k}=-\frac{{\displaystyle \frac{\pi }{3}}}{4}=-\frac{\pi }{12}$

Likevektslinje: $y=-2$

Maksimalverdi: $1$

Minimalverdi: $-5$

Skala på $x$-aksen: $\frac{\pi }{12}$

Skala på $y$-aksen: 1 eller 2

Skjeringspunkt mellom likevektslinja og stigande graf: $\left(-\frac{\pi }{12},-2\right)$ og $\left(\frac{5\pi }{12},-2\right)$

Skjeringspunkt mellom likevektslinja og søkkande graf :$\left(\frac{\pi }{6},-2\right)$

Toppunkt: for $x=\frac{\pi }{24}$ og $x=\frac{13\pi }{24}$

Botnpunkt: for $x=\frac{7\pi }{24}$ og $x=-\frac{5\pi }{24}$

No kan vi teikne skissa av grafen:

$A=\frac{1}{2}, k=1, \phi =-\frac{\pi }{6}, d=0$

$p=\frac{2\pi }{k}=\frac{2\pi }{1}=2\pi$

$x_f=-\frac{\phi }{k}=-\frac{{\displaystyle -\frac{\pi }{6}}}{1}=\frac{\pi }{6}$

Likevektslinje: $y=0$ ($x$-aksen)

Maksimalverdi: $\frac{1}{2}$

Minimalverdi: $-\frac{1}{2}$

Skala på $x$-aksen: $\frac{\pi }{6}$

Skala på $y$-aksen: 0,1 eller 0,2

Skjeringspunkt mellom likevektslinja og stigande graf :$\left(\frac{\pi }{6},0\right)$ og $\left(\frac{13\pi }{6},0\right)$

Skjeringspunkt mellom likevektslinja og søkkande graf :$\left(\frac{7\pi }{6},0\right)$

Toppunkt: for $x=\frac{2\pi }{3}$ og $x=\frac{8\pi }{3}$

Botnpunkt: for $x=\frac{5\pi }{3}$ og $x=-\frac{\pi }{3}$

No kan vi teikne skissa av grafen:

$A=0,05, k=\frac{1}{8}, \phi =-\frac{3\pi }{4}, d=0,02$

$p=\frac{2\pi }{k}=\frac{2\pi }{{\displaystyle \frac{1}{8}}}=16\pi$

$x_f=-\frac{\phi }{k}=-\frac{{\displaystyle -\frac{3\pi }{4}}}{{\displaystyle \frac{1}{8}}}=-8·\left(-\frac{3\pi }{4}\right)=6\pi$

Likevektslinje: $y=0,02$

Maksimalverdi: $0,07$

Minimalverdi: $-0,03$

Skala på $x$-aksen: $2\pi$

Skala på $y$-aksen: 0,01 eller 0,02

Skjeringspunkt mellom likevektslinja og stigande graf: $\left(6\pi ,0.02\right)$ og $\left(22\pi ,0.02\right)$

Skjeringspunkt mellom likevektslinja og søkkande graf :$\left(14\pi ,0.02\right)$ og $\left(-2\pi ,0.02\right)$

Toppunkt: for $x=10\pi$ og $x=-6\pi$

Botnpunkt: for $x=2\pi$ og $x=18\pi$

No kan vi teikne skissa av grafen:

$A=15, k=2\pi , \phi =\pi , d=-5$

$p=\frac{2\pi }{2\pi }=1$

$x_f=-\frac{\phi }{k}=-\frac{{\displaystyle \pi }}{2\pi }=-\frac{1}{2}$

Likevektslinja er $y=-5$

Maksimalverdi: $10$

Minimalverdi: $-20$

Skala på $x$-aksen: $\frac{1}{2}$

Skala på $y$-aksen: 5

Skjeringspunkt mellom likevektslinja og stigande graf: $\left(-\frac{1}{2},-5\right)$ og $\left(\frac{1}{2},-5\right)$

Skjeringspunkt mellom likevektslinja og søkkande graf: $\left(0,-5\right)$.

Toppunkt: for $x=-\frac{1}{4}$ og $x=\frac{3}{4}$

Botnpunkt: for $x=\frac{1}{4}$ og $x=-\frac{3}{4}$

No kan vi teikne skissa av grafen:

Vi skriv om funksjosnuttrykket.

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& A\sin \left(b\left(x+c\right)\right)+d\\ & =& A\sin \left(bx+bc\right)+d\end{array}$

Det betyr at $b$ er det same som $k$ i dei førre oppgåvene. Vidare må $bc$ vere det same som $\phi$. Resten av framgangsmåten blir som før.

Samanhengen mellom $\phi$ og $bc$ gir

$x_f=-\frac{\phi }{b}=-\frac{bc}{b}=-c$

$c$ er altså det same som faseforskyvinga, men med motsett forteikn. Måten funksjonsuttrykket til $f$ er skrive på her, gjer at vi kan lese av faseforskyvinga direkte.

Omskriving:

$\begin{array}{rcl}g\left(x\right) & =& \sin \left(\frac{x}{3}-\frac{\pi }{3}\right)+\frac{1}{2}\\ & =& \sin \left(\frac{1}{3}\left(x-\pi \right)\right)+\frac{1}{2}\end{array}$

$A=1, k=\frac{1}{3}, x_f=\pi , d=\frac{1}{2}$

$p=\frac{2\pi }{{\displaystyle \frac{1}{3}}}=6\pi$

Likevektslinje: $y=\frac{1}{2}$

Maksimalverdi: $1,5$

Minimalverdi: $-0,5$

Skala på $x$-aksen: $\pi$

Skala på $y$-aksen: 0,25

Skjeringspunkt mellom likevektslinja og stigande graf: $\left(\pi ,\frac{1}{2}\right)$, $\left(7\pi ,\frac{1}{2}\right)$ og $\left(-5\pi ,\frac{1}{2}\right)$

Skjeringspunkt mellom likevektslinja og søkkande graf: $\left(-2\pi ,\frac{1}{2}\right)$ og $\left(4\pi ,\frac{1}{2}\right)$.

Toppunkt: for $x=-\frac{7\pi }{2}$ og $x=\frac{3\pi }{2}$

Botnpunkt: for $x=-\frac{\pi }{2}$ og $x=-\frac{11\pi }{2}$

No kan vi teikne skissa av grafen.

Du kan sjå grafen teikna i oppgåve 2.2.11 b).

Grafane til $f$ og $g$ har topp- og botnpunkt for dei same $x$-verdiane, så $f$ og $g$ er i fase.