Fagstoff

Omvende trigonometriske funksjonar

Dei trigonometriske funksjonane sinx, cosx og tanx kan ha omvende funksjonar.

Du har brukt omvende trigonometriske funksjonar i matematikk 1T når du til dømes skulle gå frå ein sinusverdi til ein vinkel. Her skal vi ta dette eit steg vidare.

Kort generell repetisjon av omvende funksjonar

Du kan lese meir om omvende funksjonar på sidene for dette under hovudemnet "Funksjonsanalyse og modellering" i matematikk R1.

Den omvende funksjonen $f^{- 1}$ til ein funksjon $f$ er slik at

$f^{- 1} (f (x)) = x$

Kva står det eigentleg i denne likninga? Prøv å forklare med eigne ord.

Svar

Det står at dersom vi set inn ein verdi for $x$ i $f$ og set resultatet vidare inn i $f^{- 1}$ , kjem vi tilbake til den verdien vi starta med. Vi kan seie at $f^{- 1}$ opphevar verknaden $f$ har på eit tal.

Til dømes vil den omvende funksjonen $f^{- 1}$ til funksjonen $f (x) = 2 x$ vere $f^{- 1} (x) = \frac{x}{2}$ fordi at for å oppheve effekten av å multiplisere med 2 må vi dividere med 2.

Éin-eintydnad

Ikkje alle funksjonar har omvende funksjonar. Forklar kvifor funksjonen $f (x) = x^{2}, D_{f} = ℝ$ ikkje har ein omvend funksjon.

Forklaring

Vi har til dømes at $f (2) = 4$ . Skal vi gå motsett veg, veit vi at det er to $x$ -verdiar som svarer til at $f (x) = 4$ , nemleg $x = 2$ og $x = - 2$ .

Ein omvend funksjon kan berre peike tilbake på éin $x$ -verdi, elles er det ikkje ein funksjon.

Kva kan vi gjere med funksjonen $f$ i dette dømes for at han skal ha ein omvend funksjon?

Forklaring

Vi kan avgrense definisjonsmengda $D_{f}$ . Dersom vi avgrensar definisjonsmengda til til dømes $D_{f} = [0, \to 〉$ , vil den omvende funksjonen berre peike tilbake på éin $x$ -verdi.

Kva blir den omvende funksjonen $f^{- 1}$ til $f (x) = x^{2}, D_{f} = [0, \to 〉$ ?

Resultat

Den motsette operasjonen av å opphøge i andre, er å ta kvadratrot. Sidan definisjonsmengda til $f$ er dei positive tala og 0, får vi at den omvende funksjonen $f^{- 1}$ er

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x}, D_{f^{- 1}} = [0, \to ⟩$

sidan definisjonsmengda til $f^{- 1}$ er det same som verdimengda til $f$ .

Vi kan òg finne den omvende funksjonen ved rekning ved å setje $y = f (x)$ :

$\begin{array}{rcl} y & = & f (x) \\ = & x^{2} \\ \pm \sqrt{y} & = & x \\ x & = & \sqrt{y} \end{array}$

Vi treng berre den positive løysinga sidan $D_{f} = [0, \to 〉$ . Den omvende funksjonen er ein funksjon av $y$ over, men vi byter til $x$ når vi skriv opp den omvende funksjonen:

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x}, D_{f^{- 1}} = [0, \to ⟩$

I dette tilfellet seier vi at funksjonen $f$ er éin-eintydig sidan det til kvar $y$ -verdi svarer til berre éin $x$ -verdi (i tillegg til at det til kvar $x$ -verdi svarer til berre éin $y$ -verdi, som det må vere for at $f$ skal vere ein funksjon).

Den omvende funksjonen til sinusfunksjonen

Einingssirkel med supplementvinklane v og u. Sinus til v og sinus til u er markert på figuren. Sinus til v er y-koordinaten til skjeringspunktet mellom høgre vinkelbein til vinkel v og einingssirkelen. Det er tilsvarande for sinus til vinkel u. Illustrasjon. — Einingssirkel med supplementvinklane u og v

I oppgåve 2.1.4 a) blir du beden om finne to vinklar som er slik at $\sin v = \frac{1}{2}$ . Frå einingssirkelen på figuren har vi at dette er oppfylt for vinklane $\frac{π}{6}$ og $\frac{5 π}{6}$ målte i radianar. Då bruker vi den omvende funksjonen til sinusfunksjonen når vi går tilbake frå ein sinusverdi til ein vinkel. Sinusfunksjonen gjer det motsette: tek oss frå ein vinkel til ein sinusverdi.

Den omvende funksjonen $f^{- 1}$ kan ikkje returnere to vinklar. Kva må vi gjere med $f$ for at han skal ha ein omvend funksjon?

Forklaring

Vi må gjere med sinusfunksjonen som vi måtte gjere med dømet $f (x) = x^{2}$ over: Vi må avgrense definisjonsmengda $D_{f}$ .

Grafen til funksjonen f av x er lik sinus til x, som er teikna for x-verdiar mellom minus 3 pi halve og 2 pi. Illustrasjon. — Grafen til sinusfunksjonen

Vi må avgrense definisjonsområdet til $f (x) = \sin x$ slik at funksjonen blir éin-eintydig dersom den omvende funksjonen skal eksistere. På figuren har vi teikna grafen til $f$ . Forklar kvifor vi ikkje kan bruke første omløp som definisjonsmengde.

Forklaring

I første omløp vil det alltid vere to $x$ -verdiar til kvar $y$ -verdi. Då er ikkje funksjonen $f$ éin-eintydig.

Kan du foreslå ei definisjonsmengde for $f$ som gjer at funksjonen blir éin-eintydig?

Forslag

Til dømes vil $D_{f} = [\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$ gjere funksjonen éin-eintydig, for då er grafen søkkande i heile definisjonsområdet.

For å lette arbeidet med omvende trigonometriske funksjonar er det bestemt internasjonalt at når $f (x) = \sin x$ , $D_{f} = [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ , skriv vi den omvende funksjonen $f^{- 1} (x)$ som

$f^{- 1} (x) = \arcsin x$

målt i radianar. (Ein tilsvarande definisjon finst dersom vinklane blir oppgitte i gradar.)

Er grafen til $f$ éin-eintydig i dette området?

Svar

Ja, vi ser på figuren over at grafen til $f (x) = \sin x$ er stigande i heile området.

Kva blir verdimengda og definisjonsmengda til $f^{- 1}, V_{f^{- 1}}$ og $D_{f^{- 1}}$ ?

Resultat

Vi får at

$V_{f^{- 1}} = D_{f} = [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$

$D_{f^{- 1}} = V_{f} = [- 1, 1]$

fordi $f (- \frac{π}{2}) = - 1$ og $f (\frac{π}{2}) = 1$ .

Grafen til f av x er lik sinus til x og den omvende funksjonen g av x er lik arcsin x som er teikna i eit koordinatsystem. f er teikna for x-verdiar mellom minus pi halve og pi halve, mens g er teikna for x-verdiar mellom minus 1 og 1. Illustrasjon. — Grafen til sinx og arcsinx

Den omvende funksjonen $f^{- 1}$ kan skrivast på to måtar:

$f^{- 1} (x) = \arcsin x = \sin^{- 1} x$

På sidene våre vil vi bruke den første varianten.

På figuren har vi teikna grafen til $f$ og $f^{- 1}$ i det same koordinatsystemet. Merk at vi må avgrense grafen til $f$ ved hjelp av til dømes kommandoen "Funksjon". Det treng vi ikkje gjere med grafen til $f^{- 1}$

Ut frå den førehandsbestemde verdimengda til $\arcsin x$ får vi at

$f^{- 1} (\frac{1}{2}) = \arcsin \frac{1}{2} = \frac{π}{6}$

Kva blir $\arcsin (- \frac{1}{2})$ ?

Resultat

Vi kan lese av på figuren litt lenger opp på sida at

$\arcsin (- \frac{1}{2}) = - \frac{π}{6}$

Nedanfor har vi funne verdien grafisk med GeoGebra ved å teikne $f (x) = \sin x$ og linja $y = - \frac{1}{2}$ og bruke verktøyet "Skjering mellom to objekt".

Grafen til f av x er lik sinus til x, som er teikna for x-verdiar mellom minus pi halve og pi halve. Skjeringspunktet mellom denne og linja y er lik minus 0,5 er markert og har koordinatane minus pi sjettedelar og minus 0,5. Illustrasjon. — Skjeringspunkt mellom sinusfunksjonen og linja y = –0,5

Oppsummering: den omvende funksjonen til sinus-, cosinus- og tangensfunksjonen

Det eksisterer tilsvarande omvende funksjonar for cosinusfunksjonen og for tangensfunksjonen. Nedanfor er ei oversikt over dei.

Omvende trigonometriske funksjonar
Funksjon: $f (x)$	Omvend funksjon: $f^{- 1} (x)$	$D_{f} = V_{f^{- 1}}$	$D_{f^{- 1}} = V_{f}$
$\sin x$	$\sin^{- 1} x = \arcsin x$	$[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$	$[- 1, 1]$
$\cos x$	$\cos^{- 1} x = \arccos x$	$[0, π]$	$[- 1, 1]$
$\tan x$	$\tan^{- 1} x = \arctan x$	$〈 - \frac{π}{2}, \frac{π}{2} 〉$	$ℝ$

Du blir betre kjend med dei omvende funksjonane til cosinus- og tangensfunksjonen i oppgåvene.

Utrekning med CAS i GeoGebra, to linjer. På linje 1 er det skrive arcsin til ein halv. Svaret er 1 sjettedels pi. På linje to er det skrive sin opphøgd i minus 1 parentes minus ein halv parentes slutt. Svaret er minus 1 sjettedels pi. Skjermutklipp. — Den omvende funksjonen til sinus med CAS i GeoGebra

Omvende trigonometriske funksjonar med GeoGebra

GeoGebra forstår begge skrivemåtane for dei omvende funksjonane. Biletet viser bruk av den omvende funksjonen til sinus.

Den deriverte til $\arcsin x$

Vi set no $f^{- 1} (x) = g (x)$ for å sleppe å ha både $- 1$ og derivertteiknet samtidig på same stad. Frå matematikk R1 har vi resultatet

$g^{'} (f (x)) = \frac{1}{f^{'} (x)}$

Det betyr at vi kan rekne ut verdiar for den deriverte til ein omvend funksjon $g$ ut ifrå den deriverte til den opphavlege funksjonen $f$ .

Frå R1 har vi at ein funksjon ikkje er deriverbar i endepunkta i eit intervall. $f^{'} (x) = \cos x$ vil derfor berre eksistere i det opne intervallet $〈 - \frac{π}{2}, \frac{π}{2} 〉$ . Tilsvarande vil den deriverte funksjonen $g^{'} (x)$ berre vere definert i det opne intervallet $〈 - 1, 1 〉$ .

Døme

Rekn ut $g^{'} (\frac{1}{2})$ når $f (x) = \sin x$ .

Vi har ut ifrå verdimengda til $g (x) = \arcsin x$ (og definisjonsmengda til $f$ ) at

$f (\frac{π}{6}) = \sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}$

Vi har òg at

$f^{'} (x) = \cos x$

Då får vi at

$g^{'} (\frac{1}{2}) = \frac{1}{f^{'} (\frac{π}{6})} = \frac{1}{\cos \frac{π}{6}} = \frac{1}{\frac{1}{2} \sqrt{3}} = \frac{2}{3} \sqrt{3}$

Kan vi finne eit eksplisitt uttrykk for den deriverte til $\arcsin x$ ?

Svaret på det er ja. Nedanfor viser vi at

$g^{'} (x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Det er vanskeleg å bruke definisjonen til den deriverte for å finne $g^{'}$ . Vi går heller fram slik:

Vi har at

$\sin (\arcsin x) = x$

Vi set $\arcsin x = v$ og deriverer (med omsyn på $x$ ) på begge sider og får med bruk av kjerneregelen at

$\begin{array}{rcl} {(\sin v)}^{'} & = & {(x)}^{'} \\ \cos v \cdot v^{'} & = & 1 \\ v^{'} & = & \frac{1}{\cos v} \end{array}$

Kva er $v^{'}$ det same som?

Svar

$v^{'} = {(\arcsin x)}^{'} = g^{'} (x)$

$v^{'}$ er derfor den deriverte til den omvende funksjonen $g (x) = \arcsin x$ som vi er på jakt etter.

Vi kjem vidare ved å erstatte $\cos v$ med $\sin v$ sidan $\sin v = \sin (\arcsin x) = x$ . Det får vi til ved hjelp av einingsformelen $\cos^{2} v + \sin^{2} v = 1$ , som gir

$\begin{array}{rcl} \cos^{2} v & = & 1 - \sin^{2} v \\ \cos v & = & \sqrt{1 - \sin^{2} v} \end{array}$

Vi får til slutt

$\begin{array}{rcl} g^{'} (x) & = & v^{'} \\ = & \frac{1}{\cos v} \\ = & \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2} v}} \\ = & \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \end{array}$

Vi kan finne tilsvarande uttrykk for den deriverte av dei andre omvende trigonometriske funksjonane.

Eit spørsmål til slutt: Kvifor treng vi ikkje ta med (eller bry oss om) løysinga $\cos v = - \sqrt{1 - \sin^{2} v}$ , som vi òg får ut ifrå einingsformelen?

Forklaring

Vi er berre interesserte i vinklar i det opne intervallet $〈 - \frac{π}{2}, \frac{π}{2} 〉$ . I dette intervallet er cosinus alltid positiv, så vi treng ikkje ta med den negative løysinga.

Oppsummering: den deriverte til dei omvende trigonometriske funksjonane

Nedanfor er ei oversikt over den deriverte til dei omvende trigonometriske funksjonane.

Funksjon: $f (x)$	Omvend funksjon: $g (x)$	$g^{'} (x)$
$\sin x$	$\arcsin x$	$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$
$\cos x$	$\arccos x$	$- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$
$\tan x$	$\arctan x$	$\frac{1}{1 + x^{2}}$

Du blir betre kjend med den deriverte til dei omvende funksjonane til cosinus- og tangensfunksjonen i oppgåvene.

Kort generell repetisjon av omvende funksjonar

Éin-eintydnad

Den omvende funksjonen til sinusfunksjonen

Oppsummering: den omvende funksjonen til sinus-, cosinus- og tangensfunksjonen

Omvende trigonometriske funksjonar med GeoGebra

Den deriverte til arcsinx

Døme

Kan vi finne eit eksplisitt uttrykk for den deriverte til arcsinx?

Oppsummering: den deriverte til dei omvende trigonometriske funksjonane

Den deriverte til $\arcsin x$

Kan vi finne eit eksplisitt uttrykk for den deriverte til $\arcsin x$ ?