Oppgåve

Grafen til trigonometriske funksjonar

Øv på å teikne trigonometriske funksjonar og finne periode, topp-, botn- og nullpunkt. Nedst på sida kan du laste ned oppgåvene som Word- og pdf-dokument.

Oppgåve 1

Vi har gitt funksjonen

$f (x) = \cos x, D_{f} = ℝ$

a) Teikn grafen for $x \in [0, 4 π 〉$ , og finn topp-, botn- og nullpunkta til funksjonen ved å lese av direkte på grafen.

Tips til oppgåva

Sidan definisjonsmengda til funksjonen er alle reelle tal, vil funksjonen ha uendeleg mange topp-, botn- og nullpunkt. Desse skriv vi ved hjelp av det heile talet $k \in ℤ$ . Sjå teorisida "Grafen til sinus- og cosinusfunksjonen".

Løysing

Grafen til funksjonen f av x er lik cosinus til x er teikna for x-verdiar mellom minus 3 pi fjerdedelar og 13 pi fjerdedelar. Illustrasjon. — Grafen til cosinusfunksjonen

Vi ser at avstanden i $x$ -retning mellom to nabotoppunkt og mellom to nabobotnpunkt er 2π. Eitt av toppunkta er $(0, 1)$ , og eitt av botnpunkta er $(π, - 1)$ . Det betyr at

toppunkta til $f$ er $(k \cdot 2 π, 1)$
botnpunkta til $f$ er $(π + k \cdot 2 π, - 1)$

når $k \in ℤ$ .

Vi ser at det er den same avstanden, π, mellom to nabonullpunkt. Vi har eit nullpunkt for $x = \frac{π}{2}$ . Det betyr at

nullpunkta til $f$ er $\frac{π}{2} + k \cdot π$

når $k \in ℤ$ .

b) Kva er topp-, botn- og nullpunkta til $f$ dersom $D_{f} = [0, 2 π ⟩$ ?

Løysing

Vi ser av grafen at vi får

eitt toppunkt $(0, 1)$
eitt botnpunkt $(π, - 1)$
to nullpunkt for $x = \frac{π}{2}$ og $x = \frac{3 π}{2}$

Merk at toppunktet $(2 π, 1)$ er utanfor definisjonsmengda til $f$ her.

c) Kva er perioden til funksjonen $f$ ? Samanlikn med perioden til funksjonen $g (x) = \sin x$ .

Løysing

Vi ser av grafen at mønsteret gjentek seg til dømes for kvart toppunkt. Perioden blir derfor lik avstanden i $x$ -retning mellom to nabotoppunkt, som er 2π. Dette er det same som perioden til $g (x) = \sin x$ .

Oppgåve 2

Vi har gitt funksjonen

$f (x) = \sin (x + \frac{π}{4}), D_{f} = ℝ$

a) Teikn grafen for $x \in [0, 4 π ⟩$ . Teikn òg grafen til $g (x) = \sin x$ i det same koordinatsystemet. Kva er skilnaden på grafane?

Løysing

Grafen til funksjonen f av x er lik sinus til parentes x pluss pi fjerdedelar parentes slutt og grafen til funksjonen g av x er lik sinus til x er teikna for x-verdiar mellom minus pi fjerdedelar og 4 pi. Illustrasjon. — Grafane til sin(x + π/4) og sinx

Dersom vi samanliknar grafen til $f$ med grafen til $g (x) = \sin x$ , ser vi at grafen til $f$ er forskyvd $\frac{π}{4}$ til venstre i forhold til grafen til $g$ .

b) Finn topp-, botn- og nullpunkta til funksjonen $f$ ved å lese av direkte på grafen.

Løysing

Vi ser at avstanden i $x$ -retning mellom to nabotoppunkt og mellom to nabobotnpunkt er 2π. Eitt av toppunkta er $(\frac{π}{4}, 1)$ , og eitt av botnpunkta er $(\frac{5 π}{4}, - 1)$ . Det betyr at

toppunkta til $f$ er $(\frac{π}{4} + k \cdot 2 π, 1)$
botnpunkta til $f$ er $(\frac{5 π}{4} + k \cdot 2 π, - 1)$

når $k \in ℤ$ .

Vi ser at det er den same avstanden, π, mellom to nabonullpunkt. Vi har eit nullpunkt for $x = \frac{3 π}{4}$ . Det betyr at

nullpunkta til $f$ er $\frac{3 π}{4} + k \cdot π$

når $k \in ℤ$ .

c) Kva er topp-, botn- og nullpunkta til $f$ dersom $D_{f} = [0, 4 π ⟩$ ?

Løysing

Vi ser av grafen at vi får

to toppunkt, $(\frac{π}{4}, 1)$ og $(\frac{9 π}{4}, 1)$
to botnpunkt, $(\frac{5 π}{4}, - 1)$ og $(\frac{13 π}{4}, - 1)$
fire nullpunkt, $\frac{3 π}{4}, \frac{7 π}{4}, \frac{11 π}{4}$ og $\frac{15 π}{4}$

d) Kva er perioden til funksjonen $f$ ? Samanlikn med perioden til funksjonen $g$ .

Løysing

Vi ser av grafen at mønsteret gjentek seg til dømes for kvart toppunkt. Perioden blir derfor lik avstanden i $x$ -retning mellom to nabotoppunkt, som er 2π.

Merk at dette er det same som perioden til $g (x) = \sin x$ . Det ser altså ikkje ut til at eit tillegg til argumentet $x$ til sinusfunksjonen påverkar perioden.

Oppgåve 3

Vi har gitt funksjonen

$f (x) = \sin 2 x, D_{f} = ℝ$

a) Teikn grafen for $x \in [0, 4 π ⟩$ . Teikn òg grafen til $g (x) = \sin x$ i det same koordinatsystemet. Kva er skilnaden på grafane?

Løysing

Grafen til funksjonen f av x er lik sinus til 2 x og grafen til funksjonen g av x er lik sinus til x er teikna for x-verdiar mellom minus pi fjerdedelar og 4 pi. Illustrasjon. — Grafane til sin2x og sinx

Skilnaden på grafen til $f$ og grafen til $g$ er at for kvart toppunkt grafen til $f$ har, har grafen til $g$ to. Det blir tilsvarande når det gjeld botnpunkt og nullpunkt. Vi kan òg seie at grafen til $f$ går dobbelt så raskt opp og ned som grafen til $g$ .

b) Finn topp-, botn- og nullpunkta til funksjonen $f$ ved å lese av direkte på grafen.

Løysing

Vi ser at avstanden i $x$ -retning mellom to nabotoppunkt og mellom to nabobotnpunkt er 2π. Eitt av toppunkta er $(\frac{π}{4}, 1)$ , og eitt av botnpunkta er $(\frac{3 π}{4}, - 1)$ . Det betyr at

toppunkta til $f$ er $(\frac{π}{4} + k \cdot π, 1)$
botnpunkta til $f$ er $(\frac{3 π}{4} + k \cdot π, - 1)$

når $k \in ℤ$ .

Vi ser at det er den same avstanden, $\frac{π}{2}$ , mellom to nabonullpunkt. Vi har eit nullpunkt for $x = 0$ . Det betyr at

nullpunkta til $f$ er $k \cdot \frac{π}{2}$

når $k \in ℤ$ .

c) Kva er topp-, botn- og nullpunkta til $f$ dersom $D_{f} = [0, 2 π ⟩$ ?

Løysing

Vi ser av grafen at vi får

to toppunkt, $(\frac{π}{4}, 1)$ og $(\frac{5 π}{4}, 1)$
to botnpunkt, $(\frac{3 π}{4}, - 1)$ og $(\frac{7 π}{4}, - 1)$
fire nullpunkt, $0, \frac{π}{2}, π$ og $\frac{3 π}{2}$

Merk at nullpunktet $2 π$ er utanfor definisjonsmengda til $f$ .

d) Kva er perioden til funksjonen $f$ ? Samanlikn med perioden til funksjonen $g$ .

Løysing

Sidan avstanden mellom to nabotoppunkt er π, er perioden for funksjonen π. Dette såg vi òg i oppgåve a).

Oppgåve 4

Vi har gitt funksjonen

$f (x) = \cos 3 x, D_{f} = ℝ$

a) Teikn grafen til $f$ , og finn topp-, botn- og nullpunkta til funksjonen ved å lese av direkte på grafen.

Løysing

Grafen til funksjonen f av x er lik cosinus til 3 x er teikna for x-verdiar mellom minus pi tredjedelar og 7 pi tredjedelar. Illustrasjon. — Grafen til cos3x

Merk at ruteavstanden i $x$ -retning er $\frac{π}{6}$ på biletet over. Vi ser at avstanden i $x$ -retning mellom to nabotoppunkt og mellom to nabobotnpunkt er $\frac{2 π}{3}$ . Eitt av toppunkta er $(0, 1)$ , og eitt av botnpunkta er $(\frac{π}{3}, - 1)$ . Det betyr at

toppunkta til $f$ er $(k \cdot \frac{2 π}{3}, 1)$
botnpunkta til $f$ er $(\frac{π}{3} + k \cdot \frac{2 π}{3}, - 1)$

når $k \in ℤ$ .

Vi ser at det er den same avstanden, $\frac{π}{3}$ , mellom to nabonullpunkt. Vi har eit nullpunkt for $x = \frac{π}{6}$ . Det betyr at

nullpunkta til $f$ er $\frac{π}{6} + k \cdot \frac{π}{3}$

når $k \in ℤ$ .

b) Kva er topp-, botn- og nullpunkta til $f$ dersom $D_{f} = [0, 2 π ⟩$ ?

Løysing

Vi ser av grafen at vi får

tre toppunkt, $(0, 1), (\frac{2 π}{3}, 1)$ og $(\frac{4 π}{3}, 1)$
tre botnpunkt, $(\frac{π}{3}, - 1), (π, - 1)$ og $(\frac{5 π}{3}, - 1)$
seks nullpunkt, $\frac{π}{6}, \frac{π}{2}, \frac{5 π}{6}$ , $\frac{7 π}{6}, \frac{3 π}{2}$ og $\frac{11 π}{6}$

c) Kva er perioden til funksjonen? Samanlikn med perioden til funksjonen $g (x) = \cos x$ .

Løysing

Sidan avstanden mellom to nabotoppunkt er $\frac{2 π}{3}$ , er perioden for funksjonen $\frac{2 π}{3}$ . Dette er ein tredjedel av perioden til $g (x) = \cos x$ , som vi veit har periode lik 2π (sjå oppgåve 2.2.1 c)). Vi kan òg seie at grafen til $f$ går tre gonger så raskt opp og ned som grafen til $g$ .

d) Kva veit vi om perioden til funksjonen $h (x) = \sin a x$ samanlikna med perioden til $g (x) = \sin x$ ?

Tips til oppgåva

Set opp ei oversikt over perioden til funksjonane du har sett på i desse oppgåvene.

Løysing

Funksjon	$\sin x$	$\sin 2 x$	$\cos 3 x$	$\sin a x$
Periode	$2 π = \frac{2 π}{1}$	$π = \frac{2 π}{2}$	$\frac{2 π}{3}$	$\frac{2 π}{a}$

Ut ifrå det vi har sett i oppgåvene over, ser det ut som om funksjonen $h$ har perioden $\frac{2 π}{a}$ dersom vi følger mønsteret. Ut ifrå kva vi har sett, kan vi gå ut frå at $\sin k x$ har den same perioden som $\cos k x$ .

Oppgåve 5

Vi har gitt funksjonen

$f (x) = \tan x, D_{f} = ℝ$

a) Teikn grafen til $f$ for $x \in [0, 4 π ⟩$ . Er $f$ ein periodisk funksjon?

Løysing

Grafen til funksjonen f av x er lik tangens til x er teikna for x-verdiar mellom minus pi tredjedelar og 7 pi tredjedelar. Illustrasjon. — Grafen til tanx

Sidan $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ og vi veit at sinus- og cosinusfunksjonane er periodiske, må tangensfunksjonen òg vere periodisk. Her ser det ut som om mønsteret til grafen i intervallet $[0, π ⟩$ gjentek seg. Perioden til funksjonen er altså π.

b) Kva er topp-, botn- og nullpunkta til $f$ ?

Løysing

Det ser ikkje ut som om grafen har nokon topp- eller botnpunkt. Det har samanheng med at funksjonen ikkje kan eksistere der $\cos x = 0$ . Når $\cos x$ nærmar seg 0, veks $\tan x$ over alle grenser. Når du har lært å derivere tangensfunksjonen, kan du vise at den deriverte alltid er positiv.

Avstanden mellom to nabonullpunkt er π. Sidan funksjonen har eit nullpunkt for $x = 0$ , kan vi skrive nullpunkta som $k \cdot π, k \in ℤ$ .

Nedlastbare filer

Her kan du laste ned oppgåvene som Word- og pdf-dokument.