Fagstoff

Likningar med brøk

Her går vi gjennom det grunnleggande du må ta omsyn til når du har brøkar i likninga di.

Når vi har brøkar i likningane

Vi skal jobbe med likningar der vi har brøkar med i likningane. Dersom du treng å repetere grunnleggande likningsløysing før du går laus på likningar med brøkar, kan du lese artikkelen "Likningar. Likningar løyst ved rekning".

Likningar med berre tal i nemnaren

Vi vil løyse likninga

$\frac{x}{2} + 1 = \frac{2 x + 1}{3}$

For å forenkle likninga finn vi fellesnemnaren og multipliserer med denne i alle ledda:

$\begin{array}{rcl} \frac{x}{2} + 1 & = & \frac{2 x + 1}{3} | \cdot 2 \cdot 3 \\ \frac{x \cdot 2 \cdot 3}{2} + 1 \cdot 2 \cdot 3 & = & \frac{(2 x + 1) \cdot 2 \cdot 3}{3} \\ 3 x + 6 & = & 4 x + 2 | - 3 x - 2 \\ 4 & = & x \end{array}$

I denne likninga fann vi fellesnemnaren ved å multiplisere dei to nemnarane vi hadde i utgangspunktet. I det neste dømet må vi tenke litt lenger før vi vel fellesnemnar:

$\frac{x - 4}{4} + \frac{x - 1}{2} = \frac{2 x + 1}{6}$

Vi ønsker å finne den minste fellesnemnaren. Vi startar med å faktorisere den første av dei tre nemnarane og får $\begin{array}{rcl} 4 & = & 2 \cdot 2 \end{array}$ . Vi ser at den andre nemnaren er faktor i den første. Den tredje nemnaren er $6 = 2 \cdot 3$ . Vi legg merke til at den eine faktoren her, 2, òg er faktor i 4, mens 3 ikkje er faktor. Det betyr at den minste fellesnemnaren er $2 \cdot 2 \cdot 3 = 12$ .

$\begin{array}{rcl} \frac{x - 4}{4} + \frac{x - 1}{2} & = & \frac{2 x + 1}{6} | \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \\ 3 (x - 4) + 2 \cdot 3 (x - 1) & = & 2 (2 x + 1) \\ 3 x - 12 + 6 x - 6 & = & 4 x + 2 | - 4 x + 18 \\ 5 x & = & 20 \\ x & = & 4 \end{array}$

Likningar med den ukjende i nemnaren

Når vi skal løyse likningar med den ukjende i nemnaren, går vi fram på same måte som i døma over: Vi finn den minste fellesnemnaren og bruker han til å kvitte oss med brøkane.

$\frac{2}{x} - \frac{3}{2 x} = 1$

Vi ser at den første nemnaren, x, er faktor i den andre, så fellesnemnaren blir $2 x$ . Vi multipliserer med fellesnemnaren:

$\begin{array}{rcl} \frac{2}{x} - \frac{3}{2 x} & = & 1 | \cdot 2 x \\ 4 - 3 & = & 2 x \\ 1 & = & 2 x | : 2 \\ x & = & \frac{1}{2} \end{array}$

I den neste likninga møter vi på eit fenomen som er viktig å merke seg. Det er nemleg ikkje alltid vi kan stole på den løysinga vi kjem fram til, når vi har den ukjende under brøkstreken!

$\frac{x}{x - 1} - \frac{x + 2}{x} = \frac{1}{x (x - 1)}$

Vi ser at dei to første nemnarane er faktor i den siste nemnaren, så fellesnemnaren blir $x (x - 1)$ :

$\begin{array}{rcl} \frac{x}{x - 1} - \frac{x + 2}{x} & = & \frac{1}{x (x - 1)} | \cdot x (x - 1) \\ \frac{x \cdot x \cdot (x - 1)}{(x - 1)} - \frac{(x + 2) \cdot x \cdot (x - 1)}{x} & = & \frac{1 \cdot x (x - 1)}{x (x - 1)} \\ x^{2} - x^{2} - x + 2 & = & 1 | + x - 1 \\ 1 & = & x \end{array}$

🤔 Tenk over: Kva er problemet med den løysinga vi har fått?

Forklaring

Dersom vi set inn $x = 1$ i den opphavlege likninga vår, vil vi få 0 under brøkstreken. Det er ikkje mogleg å dele på 0. Det betyr at likninga vår ikkje har noka løysing.