Tal, talmengder og intervall

Talmengder

Naturlege tal

Dei første tala du lærte som barn, var sannsynlegvis tala

$1, 2, 3, 4,...$

Dette var òg dei første tala menneska tok i bruk.

Vi kallar desse tala for dei naturlege tala. Mengda av alle dei naturlege tala blir symbolisert med bokstaven N, gjerne skriven med to strekar på den midtarste delen, slik: ℕ.

Vi skriv

$\mathbb{N}=\left\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...\right\}$

og les "N er lik mengda av tala 1, 2, 3, 4, 5 og så vidare". Vi bruker krøllparentesar (òg kalla sløyfeparentesar eller mengdeparentesar) for å liste opp ei mengde av enkelttal. Prikkane etter 10-talet viser at tala held fram i same mønster: 11, 12 og så vidare.

Dei naturlege tala kan brukast til å beskrive eit antal, til dømes kor mange eple du har. Dei kan òg brukast til å angi ei nummerrekkefølge, til dømes resultatlista ved ein idrettskonkurranse.

Den tyske matematikaren Leopold Kronecker (1823–1891) skal ein gong ha sagt at "Gud skapte dei naturlege tala, resten er mennesket sitt verk".

Heile tal

La oss tenke oss at du dyrkar og sel eple. Dersom du har 8 eple og sel 2 eple, har du 6 eple igjen. Dette kan illustrerast med rekneoperasjonen subtraksjon:

$8-2=6$

Vi subtraherer eit naturleg tal frå eit anna naturleg tal og får eit nytt naturleg tal.

Men kva om kunden ønsker å kjøpe 8 eple, eller til og med 12 eple slik at du må låne 4 eple av naboen?

Reknestykka blir no

$8-8$ og $8-12$

Her har vi ikkje naturlege tal som gir svar på rekneoperasjonane. Det er då matematikarar har funne på å utvide talmengda med talet 0 og dei negative tala, og vi får at

$8-8=0$ og $8-12=-4$

Null eple betyr at du ikkje har fleire eple, og $-4$ eple betyr at du skyldar 4 eple.

Vi utvidar mengda av dei naturlege tala ved å plassere 0 til venstre for 1, $-1$ til venstre for 0, $-2$ til venstre for $-1$ og så vidare:

$\left\{..., -2, -1, 0, 1, 2,...\right\}$

Ei tallinje kan gi eit bilete av dei heile tala:

Talet $-1$ kan med fordel lesast som "negativ 1" for å markere at minusteiknet her blir brukt som eit forteikn – det fortel at talet er negativt – og ikkje som rekneteikn.

Den talmengda vi no har fått, blir kalla for dei heile tala og blir symbolisert med bokstaven Z, gjerne skriven med to strekar på den midtarste delen, slik: ℤ.

$\mathbb{Z}=\left\{..., -2, -1, 0, 1, 2,... \right\}$

Tal som ligg på kvar si side av talet 0 og like langt frå 0, kallar vi for motsette tal. Til dømes er 2 og $-2$ motsette av kvarandre. Summen av eit tal og det motsette talet er alltid lik null. Talet 0 er sitt eige motsette tal.

Dei negative tala vart ikkje innførte i Europa før på 1500-talet. Det var store diskusjonar før dei vart godtekne. Både filosofar og teologar hadde store motførestillingar mot å godta negative tal.

Talet 0 vart godteke i Europa nokre hundre år tidlegare. Nokre matematikarar reknar talet 0 med blant dei naturlege tala, mens andre ikkje gjer det.

Når vi bruker rekneoperasjonane addisjon og subtraksjon på to heile tal, får vi alltid eit nytt heilt tal som resultat.

Når vi legg saman, trekker frå kvarandre og multipliserer heile tal, blir resultatet alltid eit heilt tal. Det er slik ein matematikar liker å ha det: éi talmengde og éin rekneoperasjon. Rekneoperasjonen verkar på tal i talmengda og gir eit nytt tal i talmengda.

Når vi adderer eit positivt tal, flyttar vi oss til høgre på tallinja. Adderer vi det positive talet 2, flyttar vi oss to plassar til høgre på tallinja, uansett om vi adderer talet 2 til eit positivt eller negativt tal.

Når vi subtraherer eit positivt tal, flyttar vi oss til venstre på tallinja. Subtraherer vi det positive talet 2, flyttar vi oss to plassar til venstre på tallinja. Dersom vi subtraherer det positive talet 9, flyttar vi oss ni plassar til venstre på tallinja.

Men kva vil det seie å addere eller subtrahere negative tal? Kvar hamnar vi på tallinja dersom vi til talet 2 adderer det negative talet $-5$, eller dersom vi til talet 3 subtraherer det negative talet $-4$?

Kva vil det eigentleg seie å addere og subtrahere negative tal? Har vi praktiske situasjonar der vi kan få ei forståing av kva det vil seie? Dette kan du lese meir om på teorisida "Rekneartar og negative tal". Her nøyer vi oss med å seie følgande:

• Når vi skal legge til eit negativt tal, må vi gjere det motsette av kva vi ville gjort elles: Vi må gå til venstre på tallinja. Det betyr at $2+\left(-5\right)=2-5=-3$.

• Når vi skal trekke frå eit negativt tal, må vi gjere det motsette av kva vi ville gjort elles: Vi må gå til høgre på tallinja. Det betyr at $3-\left(-4\right)=3+4=7$.

Rasjonale tal

Du kjenner òg til rekneoperasjonen divisjon. Vi kan dividere 8 med 4 og få 2, som er eit heilt tal. Men dersom vi til dømes dividerer 1 med 2, blir resultatet ikkje eit heilt tal. Vi får brøken $\frac{1}{2}$. For å kunne dividere heile tal må vi på ny utvide talmengda vår. Vi må inkludere alle tal som består av brøkar med heile tal i teljaren og nemnaren. Hugs at i ein brøk er teljaren "på toppen" og nemnaren "nede", slik: $\frac{\mathrm{teljar}}{\mathrm{nemnar}}$.

Tal som kan skrivast som brøkar med heile tal i teljaren og nemnaren, kallar vi rasjonale tal. Desse blir symboliserte med ℚ.

🤔 Tenk over: Er heile tal òg rasjonale tal?

Rasjonale tal blir av og til enklare å behandle dersom vi skriv dei som desimaltal. Prinsippet er at vi gjer brøkane om til brøkar med 10, 100, 1 000 og så vidare som nemnarar.

Tenk deg at du deler ei kake i ti like store delar. Fem av desse delane utgjer då halvparten av kaka.

Det betyr at $\frac{1}{2}=\frac{5}{10}$.

Eit desimaltal har eit desimalskiljeteikn. I Noreg bruker vi komma som desimalskiljeteikn, mens dei fleste andre land og dei fleste digitale verktøy bruker punktum. Første siffer etter desimalskiljeteiknet angir kor mange tidelar vi har, det neste kor mange hundredelar vi har, og så vidare. Siffera framfor desimalskiljeteiknet angir heiltal.

Det betyr at brøken $\frac{1}{2}$ kan skrivast som $\frac{1}{2}=\frac{5}{10}=0,5$.

Mange brøkar kan på tilsvarande måte gjerast om til desimaltal.

Til dømes er

$\frac{1}{4}=\frac{25}{100}=0,25$

Vi kan no anvende rekneoperasjonane addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon på rasjonale tal og få eit rasjonalt tal som resultat.

🤔 Tenk over: Kan alle brøkar skrivast som eit desimaltal med eit endeleg tal på desimalar?

Reelle tal

🤔 Tenk over: Finst det tal som ikkje er rasjonale tal?

Forholdet mellom omkrinsen og diameteren i ein sirkel er lik det talet som vi kallar π (pi). Du har lært at 3,14 er ein god tilnærma verdi for π, men faktisk er det ikkje mogleg å skrive π som eit rasjonalt tal. I 2009 vart talet berekna med ei nøyaktigheit av 2 699 999 990 000 desimalar, det vil seie nesten 2,7 billionar desimalar. Talet π er eit tal på tallinja, men er altså ikkje rasjonalt. Vi seier at det er irrasjonalt.

Eit anna irrasjonalt tal er det talet som multiplisert med seg sjølv gir talet 2. Vi skriv berre $\sqrt{2}$ . Det finst ingen brøkar som multiplisert med seg sjølv gir talet 2.

Vi må altså utvide talmengda vår igjen for å få med slike tal som π og $\sqrt{2}$. Den talmengda vi no har fått, kallar vi for dei reelle tala, og ho blir symbolisert med bokstaven ℝ.

Vi kan tenke oss alle reelle tal som punkt på ei uendeleg tallinje. Punkta ligg veldig tett. Mellom to reelle tal er det uendeleg mange reelle tal. Dei reelle tala utgjer alle tala på tallinja.

🤔 Forklar kva denne figuren illustrerer. Bruk omgrepet "delmengde" i forklaringa.

🤔 Tenk over: Er 2 eit irrasjonalt tal?

Framleis finst det tal som vi ikkje har teke med. Til dømes er det ikkje noko reelt tal som multiplisert med seg sjølv gir talet $-1$. $\sqrt{-1}$ er eit imaginært tal. Dette talet ligg ikkje på tallinja. Vi skal ikkje rekne med imaginære tal i 1T-kurset, men bruk gjerne internett og finn ut meir om imaginære og komplekse tal!

Mengder som består av bestemde tal

Når vi skal referere til bestemde tal på tallinja, bruker vi krøllparentesar {...} slik vi gjorde øvst på sida for mengda ℕ av dei naturlege tala. Mengda av dei naturlege tala 1, 2 og 5 skriv vi som {1, 2, 5}.

Talintervall – mengder avgrensa av tal

Mengda av alle reelle tal avgrensa av to verdiar kallar vi eit talintervall eller berre eit intervall. Døme på talintervall er

$[1, 3], ⟨1, 3⟩, ⟨1, 3]$ og $[1, 3\rangle$

Det første intervallet, som har hakeparentesar, inkluderer endepunkta 1 og 3 i tillegg til alle reelle tal mellom desse to tala. Dette er eit lukka intervall fordi endepunkta er med, og dei lukkar intervallet. Vi les det som "intervallet frå og med 1 til og med 3".

I det andre intervallet, som har spisse parentesar (vinkelparentesar), er 1 og 3 ikkje med, men elles er alle tala som er med i det første intervallet, med her òg. Dette er eit ope intervall. Vi les det som "intervallet frå 1 til 3".

I det tredje intervallet er talet 1 ikkje med, mens talet 3 er med. I det fjerde er talet 1 med, mens 3 ikkje er med. Dei to siste intervalla kallar vi halvopne intervall.

🤔 Tenk over: Korleis les vi dei to siste intervalla?

🤔 Tenk over: Kvifor trur du intervallet $\langle -1,3\rangle$ blir kalla eit ope intervall?

Intervallet $[2, \to ⟩=[2,\infty \rangle$ inneheld alle reelle tal større enn eller lik 2. Vi les intervallet som "intervallet frå og med 2 til uendeleg". Når vi har uendeleg i eit intervall, bruker vi spiss parentes fordi vi ikkje har noko endepunkt som kan lukke dette intervallet. Intervallet er derfor halvope.

Intervallet $⟨\leftarrow , -4⟩=\langle -\infty ,-4\rangle$ inneheld alle reelle tal mindre enn $-4$. Dette intervallet les vi som "intervallet frå minus uendeleg til minus 4". Intervallet er ope.

Ei talmengde kan godt bestå av fleire intervall. Då bruker vi teiknet ∪, som betyr "union", for å lenke saman intervalla. Døme:

$⟨-1,3⟩\cup [5,\to \rangle$

Dette les vi som "intervallet frå minus 1 til 3 union med intervallet frå og med 5 til uendeleg".

Film om tal og talmengder (lengde 14:02)