Fagartikkel

Kontinuerlege og diskontinuerlege funksjonar

Kva er ein kontinuerleg funksjon? Her skal vi gjere greie for og argumentere for om ein funksjon er kontinuerleg eller diskontinuerleg i eit punkt i eit definisjonsområde.

Måling av djupne med loddsnor frå båt. Ved eit fjellutspring på botnen blir det eit hopp i djupna, som gjer at grafen over djupn, som er plassert rett under skissa av båt og loddsnor, også får eit hopp. Illustrasjon. — Lodding med båt. Bilete: Junie Loftesnes / CC BY-SA 4.0

Frå ein båt blir djupna lodda ned til havbotnen mens han rører seg inn mot land. Vatnet blir jamt grunnare, bortsett frå når båten passerer eit fjellutspring som gjer at djupna endrar seg brått, sjå figuren.

Vi tenkjer oss djupna som funksjon av den strekninga båten tilbakelegg. Grafen til denne funksjonen ville då kunne sjå ut som vist på figuren. Grafen er ikkje samanhengande. Funksjonsverdiane gjer eit plutseleg hopp for ein spesiell verdi av $x$ , men til kvar $x$ -verdi blir det målt ei bestemd djupne, så funksjonen er definert for alle $x$ .

Vi seier at djupnefunksjonen ikkje er kontinuerleg. Han er diskontinuerleg.

Grafane til kontinuerlege funksjonar er samanhengande i definisjonsområda sine. Vi kan altså teikne grafane med blyant utan å løfte blyanten frå papiret.

Ein funksjon $f$ er kontinuerleg for $x = a$ viss og berre viss

$\lim_{x \to a} f (x) = f (a)$

Ein funksjon som ikkje er kontinuerleg i eit punkt, er diskontinuerleg i punktet.

Funksjonen $f$ er kontinuerleg i eit intervall dersom $f$ er kontinuerleg i alle punkt i intervallet.

Ein funksjon er kontinuerleg dersom han er kontinuerleg i heile definisjonsområdet sitt.

Ein funksjon kan ha to ulike grenseverdiar når $x$ nærmar seg ein verdi $a$ , avhengig av om $x$ nærmar seg $a$ frå høgre eller frå venstre.

Vi får derfor følgjande:

Ein funksjon $f$ er kontinuerleg for $x = a$ viss og berre viss

$\lim_{x \to a^{-}} f (x) = \lim_{x \to a^{+}} f (x) = f (a)$

$\lim_{x \to a^{-}} f (x)$ betyr grenseverdien for $f (x)$ når $x$ går mot $a$ frå venstre.

$\lim_{x \to a^{+}} f (x)$ betyr grenseverdien for $f (x)$ når $x$ går mot $a$ frå høgre.

Tre funksjonar er teikna i eit koordinatsystem der x-aksen går frå minus 5 til 8. Det er funksjonane f av x er lik ein tredjedels x i tredje minus x pluss 2, g av x er lik parentes x i andre minus 4 parentes slutt delt på parentes x minus 2 parentes slutt og h av x er lik parentes x i andre minus 2 parentes slutt delt på parentes x minus 2 parentes slutt. Linja x er lik 2 er også teikna inn. Det er teikna eit stort, raudt kryss på grafen til g for x er lik 2. Skjermutklipp. — Tre døme på kontinuerlege funksjonar. Bilete: Stein Aanensen, Olav Kristensen / CC BY-SA 4.0

Funksjonane $f$ , $g$ og $h$ er gitt ved

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & \frac{1}{3} x^{3} - x + 2 \\ g (x) & = & \frac{x^{2} - 4}{x - 2} \\ h (x) & = & \frac{x^{2} - 2}{x - 2} \end{array}$

Frå teorien om grenseverdiar har vi denne setninga:

Grenseverdien til ein polynomfunksjon $f (x)$ når $x$ går mot ein bestemd verdi $a$ , kan vi finne ved å rekne ut $f (a)$ .

Det betyr at $f$ er kontinuerleg i definisjonsområdet sitt. Funksjonen er kontinuerleg. Funksjonen er òg definert for alle reelle tal slik at grafen til $f$ er ei samanhengande kurve.

Funksjonane $g$ og $h$ er ikkje definerte for $x = 2$ fordi nemnarane blir 0 for $x = 2$ . $g$ har ein grenseverdi for $x = 2$ , mens grafen til $h$ har asymptoten $x = 2$ . På figuren markerer $X$ at funksjonen $g$ ikkje er definert for $x = 2$ .

Vi kan finne grenseverdiane til funksjonane $g$ og $h$ når $x$ går mot ein bestemd verdi $a$ , som er ulik frå 2, ved å rekne ut $f (a)$ .

Det betyr at funksjonane $g$ og $h$ er kontinuerlege i definisjonsområda sine, og dei er derfor kontinuerlege funksjonar.

Reglar for bruk av teksten "Kontinuerlege og diskontinuerlege funksjonar"