Kontinuerlege og diskontinuerlege funksjonar

Frå ein båt blir djupna lodda ned til havbotnen mens båten beveger seg inn mot land. Vatnet blir stadig grunnare, bortsett frå når båten passerer eit fjellutspring som gjer at djupna endrar seg brått, sjå figuren.

Vi tenker oss djupna som funksjon av den strekninga båten tilbakelegg. Grafen til denne funksjonen ville då kunne sjå ut som vist på figuren. Grafen er ikkje samanhengande. Funksjonsverdiane gjer eit plutseleg hopp for ein spesiell verdi av x, men til kvar x-verdi blir det målt ei bestemd djupne, så funksjonen er definert for alle x.

Vi seier at djupnefunksjonen ikkje er kontinuerleg for den x-verdien som beskriv punktet for fjellutspringet. Han er diskontinuerleg i dette punktet.

Funksjonar som er kontinuerlege i heile definisjonsområdet sitt, kallar vi for kontinuerlege funksjonar. Desse har ingen punkt der dei er diskontinuerlege. Éin måte å beskrive det på er at ein kan teikne grafen med blyant utan å løfte blyanten frå papiret, så lenge vi er innanfor definisjonsområdet til grafen. Som vi skal sjå, betyr ikkje det nødvendigvis at grafane må henge saman over det heile.

Vi byrjar med å sjå på tre døme:

Funksjonane f, g og h er gitt ved

$$ \begin{array}{rcl}f\left(x\right)& = & \frac{1}{3}{x}^3-x+2\\ & & \\ & & \\ g\left(x\right)& =& \frac{x^2-4}{x-2}\\ & & \\ & & \\ h\left(x\right)& =& \frac{x^2-2}{x-2}\end{array}$$

$$ f\left(x\right)$$ er ein polynomfunksjon. Denne funksjonen er definert for alle x-verdiar. Grafen er samanhengande i heile $$ \mathrm{ℝ}$$. Vi seier dermed at funksjonen er kontinuerleg.

$$ g\left(x\right)$$ og $$ h\left(x\right)$$ er begge rasjonale funksjonar. Vi ser at dei begge er udefinert for $$ x=2$$, sidan vi har 0 under brøkstreken. Det betyr at det ikkje finst noko punkt på grafen der $$ x=2$$. Overalt elles er grafane samanhengande, men akkurat i dette punktet er han det ikkje. Vi seier likevel at $$ g\left(x\right)$$ og $$ h\left(x\right)$$ er kontinuerlege funksjonar, fordi dei er kontinuerlege i alle punkt der dei er definerte.

Vi seier at ein funksjon er kontinuerleg dersom det ikkje finst nokon punkt på grafen der grafen ikkje er samanhengande. Derfor er det berre nødvendig å undersøke i enkelte punkt dersom vi skal sjekke om ein funksjon er kontinuerleg eller ikkje.

I tillegg til polynomfunksjonar og rasjonale funksjonar, er dei fleste andre funksjonar du har jobba med tidlegare, òg kontinuerlege i heile definisjonsområdet sitt. Dette omfattar til dømes potensfunksjonar, eksponentialfunksjonar og logaritmefunksjonar. Vi har òg at dersom vi set saman to funksjonar som er kontinuerlege, vil samansetninga òg vere kontinuerleg.

Vi såg over at ein funksjon er kontinuerleg dersom det ikkje finst eitt eller fleire punkt der funksjonar ikkje er kontinuerlege. Vi forstår intuitivt at dersom grafen er samanhengande i eit punkt, er han kontinuerleg der. Men vi har òg ein matematisk definisjon vi kan bruke til å rekne ut om funksjonen er kontinuerleg i eit punkt:

Ein funksjon f er kontinuerleg for $$ x=a$$ viss og berre viss

$\underset{x\to a}{\lim } f\left(x\right)=f\left(a\right)$

Funksjonen $$ f\left(x\right)$$ over er ein polynomfunksjon. Vi hugsar at måten vi finn grenseverdien i eit punkt på nettopp er ved å rekne ut funksjonsverdien. Dermed er alle polynomfunksjonar kontinuerlege i heile definisjonsområdet sitt.

🤔 Tenk over: Kvifor seier vi ikkje at $$ g\left(x\right)$$ og $$ h\left(x\right)$$ i dømet over er diskontinuerleg i $$ x=2$$?

Vi kan òg seie at ein funksjon er kontinuerleg i eit gitt intervall. Dette vil vi sjå nærare på når vi kjem til funksjonar med delt forskrift. Vi ser at funksjonen f er kontinuerleg i eit intervall dersom f er kontinuerleg i alle punkt i intervallet.