Skjering og vinkel mellom to plan

$xy$-planet og $yz$-planet skjer kvarandre i $y$-aksen. Plana står normalt på kvarandre sidan alle koordinatplana gjer det.

Likninga for $xy$-planet er $z=0$, og planet har normalvektoren ${\overrightarrow{n}}_{xy}={\overrightarrow{e}}_z=\left[0,0,1\right]$. Likninga for $yz$-planet er $x=0$, og planet har normalvektoren ${\overrightarrow{n}}_{yz}={\overrightarrow{e}}_x=\left[1,0,0\right]$. Ein retningsvektor for skjeringslinja blir

$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{v} & =& {\overrightarrow{n}}_{xy}\times {\overrightarrow{n}}_{yz}\\ & =& \left[0,0,1\right]\times \left[1,0,0\right]\\ & =& \left[0·0-0·1,1·1-0·0,0·0-1·0\right]\\ & =& \left[0,1,0\right]\\ (& =& {\overrightarrow{e}}_y)\end{array}$

For å finne eit punkt på linja vel vi $y=0$. Dei to planlikningane krev at $x=z=0$. Origo er derfor eit punkt på skjeringslinja. Ei parameterframstilling for linja er derfor

$l:\left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=t\\ z=0\end{array}\right.$

Vi finn vinkelen $w$ mellom plana ved å finne skalarproduktet mellom ${\overrightarrow{n}}_{xy}$ og ${\overrightarrow{n}}_{yz}$.

$\begin{array}{rcl}\cos w & =& \frac{{\overrightarrow{n}}_{xy}·{\overrightarrow{n}}_{yz}}{\left|{\overrightarrow{n}}_{\alpha }\right|·\left|{\overrightarrow{n}}_{\beta }\right|}\\ & =& \frac{\left[0,0,1\right]·\left[1,0,0\right]}{\left|\left[0,0,1\right]\right|·\left|\left[1,0,0\right]\right|}\\ & =& \frac{0·1+0+0·0+1·0}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}·\sqrt{1^2+0^2+0^2}}\\ & =& \frac{0}{1}\\ & =& 0\\ w & =& \frac{\pi }{2} \vee \cancel{w=2\pi -\frac{\pi }{2}}\end{array}$

Vinkelen mellom plana er $\frac{\pi }{2}$.

Det kan vere lurt å starte med å finne vinkelen mellom plana i tilfelle plana er parallelle.

Normalvektorane til plana er

${\overrightarrow{n}}_{\alpha }=\left[1,1,0\right], {\overrightarrow{n}}_{\beta }=\left[1,0,1\right]$

Vinkelen $w$ mellom plana er det same som vinkelen mellom normalvektorane. Frå formelen for skalarproduktet får vi

$\begin{array}{rcl}\cos w & =& \frac{{\overrightarrow{n}}_{\alpha }·{\overrightarrow{n}}_{\beta }}{\left|{\overrightarrow{n}}_{\alpha }\right|·\left|{\overrightarrow{n}}_{\beta }\right|}\\ & =& \frac{\left[1,1,0\right]·\left[1,0,1\right]}{\left|\left[1,1,0\right]\right|·\left|\left[1,0,1\right]\right|}\\ & =& \frac{1·1+1·0+0·1}{\sqrt{1^2+1^2+0^2}·\sqrt{1^2+0^2+1^2}}\\ & =& \frac{1}{\sqrt{2}·\sqrt{2}}\\ & =& \frac{1}{2}\\ w & =& \frac{\pi }{3} \vee \cancel{w=2\pi -\frac{\pi }{3}}\end{array}$

Ein retningsvektor $\overrightarrow{v}$ for skjeringslinja $l$ er

$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{v} & =& {\overrightarrow{n}}_{\alpha }\times {\overrightarrow{n}}_{\beta }\\ & =& \left[1,1,0\right]\times \left[1,0,1\right]\\ & =& \left[1·1-0·0,0·1-1·1,1·0-1·1\right]\\ & =& \left[1,-1,-1\right]\end{array}$

For å finne eit punkt på linja startar vi med å velje $x=0$. Den første planlikninga gir då

$\begin{array}{rcl}0+y-3 & =& 0\\ y & =& 3\end{array}$

Den andre planlikninga gir

$\begin{array}{rcl}0+z-1 & =& 0\\ z & =& 1\end{array}$

Eit punkt på linja er derfor $\left(0,3,1\right)$. Ei parameterframstilling for skjeringslinja $l$ mellom plana blir

$l:\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=3-t\\ z=1-t\end{array}\right.$

Normalvektorane til plana er

${\overrightarrow{n}}_{\alpha }=\left[3,2,2\right], {\overrightarrow{n}}_{\beta }=\left[-6,-4,-4\right]=-2\left[3,2,2\right]=-2{\overrightarrow{n}}_{\alpha }$

Normalvektorane til plana er parallelle, så vinkelen mellom plana er 0. Dersom vi multipliserer planlikninga til $\alpha$ med $-2$, får vi

$\begin{array}{rcl}-2\left(3x+2y+2z-1\right) & =& -2·0\\ -6x-4y-4z+2 & =& 0\end{array}$

Planlikningane er like med unntak av dei konstante ledda. Det betyr at plana er parallelle, men ikkje samanfallande. Dei har derfor inga skjeringslinje.

Normalvektorane til plana er

${\overrightarrow{n}}_{\alpha }=\left[1,2,2\right], {\overrightarrow{n}}_{\beta }=\left[1,0,1\right]$

Vinkelen $w$ mellom plana blir

$\begin{array}{rcl}\cos w & =& \frac{{\overrightarrow{n}}_{\alpha }·{\overrightarrow{n}}_{\beta }}{\left|{\overrightarrow{n}}_{\alpha }\right|·\left|{\overrightarrow{n}}_{\beta }\right|}\\ & =& \frac{\left[1,2,2\right]·\left[1,0,1\right]}{\left|\left[1,2,2\right]\right|·\left|\left[1,0,1\right]\right|}\\ & =& \frac{1·1+2·0+2·1}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}·\sqrt{1^2+0^2+1^2}}\\ & =& \frac{3}{\sqrt{9}·\sqrt{2}}\\ & =& \frac{1}{\sqrt{2}}\\ & =& \frac{1}{2}\sqrt{2}\\ w & =& \frac{\pi }{4} \vee \cancel{w=2\pi -\frac{\pi }{4}}\end{array}$

Ein retningsvektor $\overrightarrow{v}$ for skjeringslinja $l$ er

$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{v} & =& {\overrightarrow{n}}_{\alpha }\times {\overrightarrow{n}}_{\beta }\\ & =& \left[1,2,2\right]\times \left[1,0,1\right]\\ & =& \left[2·1-0·2,2·1-1·1,1·0-1·2\right]\\ & =& \left[2-0,2-1,0-2\right]\\ & =& \left[2,1,-2\right]\end{array}$

For å finne eit punkt på linja startar vi med å velje $x=0$. Den første planlikninga gir då

$\begin{array}{rcl}0+2y+2z-5 & =& 0\\ 2y & =& 5-2z\\ y & =& \frac{5}{2}-z\end{array}$

Den andre planlikninga gir

$\begin{array}{rcl}0+z-3 & =& 0\\ z & =& 3\end{array}$

Då kan vi rekne ut $y$:

$y=\frac{5}{2}-z=\frac{5}{2}-3=\frac{5}{2}-\frac{6}{2}=-\frac{1}{2}$

Eit punkt på linja er derfor $\left(0,-\frac{1}{2},3\right)$. Ei parameterframstilling for skjeringslinja $l$ mellom plana blir

$l:\left\{\begin{array}{l}x=2t\\ y=-\frac{1}{2}+t\\ z=3-2t\end{array}\right.$

Som i oppgåve a) observerer vi at normalvektorane til plana er parallelle. Dersom vi multipliserer planlikninga til $\alpha$ med $-3$, får vi

$\begin{array}{rcl}-3\left(-x+3y-4z-4\right) & =& -3·0\\ 3x-9y+12z+12 & =& 0\end{array}$

Planlikningane er like. Det betyr at $\alpha$ og $\beta$ er same plan. Dei har derfor inga skjeringslinje, og vinkelen mellom plana er 0.

Vi får at ei parameterframstilling for skjeringslinja er

$l:\left\{\begin{array}{l}x=-3t\\ y=\frac{5}{3}+t\\ z=-\frac{3}{2}\end{array}\right.$

Vinkelen mellom plana er 1,13.

Her får vi inga løysing i linje 9 dersom vi lagar likningssettet ved å setje $x=0$ i linje 7 og 8. Vi har derfor valt å setje $y=0$.

Vi får at ei parameterframstilling for skjeringslinja er

$l:\left\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=-3t\\ z=-2+5t\end{array}\right.$

Vinkelen mellom plana er 0,24.

Vi får at ei parameterframstilling for skjeringslinja er

$l:\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{3}{7}-11t\\ y=-7t\\ z=-\frac{5}{7}+5t\end{array}\right.$

Vinkelen mellom plana er 1,5.

Skjeringa mellom tre plan må vere punkt som ligg i alle tre plana. Dei tre planlikningane utgjer eit likningssett av tre likningar med tre ukjende der løysinga er desse punkta. Løysinga vil vere eitt punkt dersom ingen av plana er parallelle med kvarandre.

Dei tre planlikningane utgjer eit likningssett med tre ukjende. Vi løyser likningssettet med CAS.

Dei tre plana skjer kvarandre i punktet $\left(\frac{7}{24},\frac{11}{24},-\frac{25}{24}\right)$.

Vi startar med å skrive inn dei to plana. Så definerer vi vektorproduktet av normalvektorane som ein funksjon av $\overrightarrow{v}\left(a\right)$ i linje 3. I linje 4 krev vi at $\overrightarrow{v}\left(a\right)$ er parallell med retningsvektoren $\left[1,0,1\right]$, som vi les ut av parameterframstillinga til $l$. Då får vi løysinga $a=2$. Vi må sjekke at punktet $\left(0,-2,-1\right)$, som vi les ut av parameterframstillinga på linja, ligg i begge plana. Det gjer vi på linje 5 og 6, og punktet ligg i begge plana.