Oppgave

Rekker

Her kan du jobbe med oppgåver om rekker.

1.1.20

På teorisida om rekker har vi laga eit program som reknar ut summen av dei 20 første ledda i rekka $a_{n} = 2^{n - 1}$ ved hjelp av den eksplisitte formelen for $a_{n}$ .

a) Lag eit program som reknar ut det same ved hjelp av ein rekursiv formel.

Løysing

Rekka vil vere gitt ved den rekursive formelen $a_{n} = 2 \cdot a_{n - 1}$ og $a_{1} = 1$ .

Vi lagar ein variabel for dagslønna og ein variabel for den samla lønna. Her må vi køyre lykkja 19 gonger, sidan vi startar med lønna på dag 1.

python

1dagslonn = 1     #lønn per dag
2samlalonn = 1    #variabel for samla lønn
3dagar = 20       #tal på dagar
4
5
6for n in range(dager-1):   
7    dagslonn = dagslonn*2   
8    samlalonn = samlalonn + dagslonn  
9    
10print(f"Samla lønn blir {samlalonn} kr.")

b) Finn $S_{20}$ i CAS i GeoGebra.

Løysing

Her må vi bruke den eksplisitte formelen.

Skjermutklipp frå CAS. Det står Sum parentes 2 opphøgd i parentes n minus 1 parentes slutt komma n komma 1 komma 20 parentes slutt. Svaret er gitt som 1048575. — Bilete: Olav Kristensen, Stein Aanensen / CC BY-SA 4.0

1.1.21

Ledda i ei uendeleg rekke er gitt ved formelen $a_{n} = \frac{1}{(1 + n)^{2}}$ .

a) Finn dei tre første ledda for hand.

Løysing

$\begin{array}{rcl} a_{n} & = & \frac{1}{(1 + n)^{2}} \\ a_{1} & = & \frac{1}{(1 + 1)^{2}} = \frac{1}{2^{2}} = \frac{1}{4} \\ a_{2} & = & \frac{1}{(1 + 2)^{2}} = \frac{1}{3^{2}} = \frac{1}{9} \\ a_{3} & = & \frac{1}{(1 + 3)^{2}} = \frac{1}{4^{2}} = \frac{1}{16} \end{array}$

b) Lag eit program som skriv ut dei 20 første ledda.

Løysing

python

1a_n = 0
2antal = 1
3Ledda = []
4
5for n in range(1,21):
6    a_n = 1/(1+n)**2
7    Ledda.append(a_n)
8    antal = antal+1
9    
10print(Ledda)

c) Utvid programmet slik at det òg skriv ut dei 20 første summane, det vil seie $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ og så vidare.

Løysing

python

1a_n = 0
2Sum = 0
3antal = 1
4Ledda = []
5Summane = []
6
7for n in range(1,21):
8    a_n = 1/(1+n)**2
9    Sum = Sum + a_n
10    Ledda.append(a_n)
11    Summane.append(Sum)
12    antal = antal+1
13
14print(Ledda)
15print(Summane)

Legg merke til at desse programma berre er heilt grunnleggjande, og at utskriftene ikkje er lette å tyde.

Her kjem ein versjon med overskrifter og litt færre desimalar. Kanskje kan du nokre andre triks for å få det til å sjå betre ut?

Python

1a_n = 0
2Sum = 0
3antal = 1
4Ledda = ["a_n"]
5Summane = ["S_n"]
6
7for n in range(1,21):
8    a_n = 1/(1+n)**2
9    Sum = Sum + a_n
10    Ledda.append(a_n)
11    Summane.append(Sum)
12    antal = antal+1
13
14
15
16for i in range(0,21):
17    if i == 0:
18        print(f"{Ledda[i]:<6} {Summane[i]:<6}")
19    else:
20        print(f"{Ledda[i]:.4f} {Summane[i]:.4f}")
21

I linje 18 har vi lagt inn ei formatering for å få rada med overskrifter til å bli like brei som radene med ledd og summar.

d) Finn summen, både eksakt og avrunda til 10 desimalar, når $n \to \infty$ ved hjelp av CAS i GeoGebra.

Løysing

Skjermutklipp frå CAS i GeoGebra. Linje 1 finn summen av rekka 1 delt på parentes 1 pluss n parentes slutt opphøgd i 2 frå n er lik 1 til uendeleg. Svaret er gitt ved 1 delt på 6 gongar med pi opphøgd i 2 minus 1. Linje 2 runder av svaret til 0,6449340668. — Bilete: Tove Annette Holter / CC BY-SA 4.0

e) Utvid programmet ditt frå c) slik at du får skrive ut ledda frå $a_{290}$ til $a_{300}$ og tilsvarande summar og ledda frå $a_{990}$ til $a_{1000}$ og tilsvarande summar. Beskriv samanhengen mellom desse og svaret du fekk i d).

Løysing

python

1a_n = 0
2Sum = 0
3antal = 1
4Ledda = ["a_n"]
5Summane = ["S_n"]
6
7for n in range(1,1001):
8    a_n = 1/(1+n)**2
9    Sum = Sum + a_n
10    Ledda.append(a_n)
11    Summane.append(Sum)
12    antal = antal+1
13
14print("a_290 - a_300")
15
16for i in range(291,301):
17    print(f"{Ledda[i]:.5f} {Summane[i]:.5f}")
18
19print("a_990 - a_1000")
20
21for i in range(991,1001):
22    print(f"{Ledda[i]:.6f} {Summane[i]:.5f}")

Resultatet av utskrifta blir slik (med 5 og 6 desimalar):

$\begin{matrix} a_{290} - a_{300} \\ 0.00001 & 0.64152 \\ 0.00001 & 0.64153 \\ 0.00001 & 0.64154 \\ 0.00001 & 0.64155 \\ 0.00001 & 0.64156 \\ 0.00001 & 0.64157 \\ 0.00001 & 0.64158 \\ 0.00001 & 0.64160 \\ 0.00001 & 0.64161 \\ 0.00001 & 0.64162 \end{matrix}$

$\begin{matrix} a_{990} - a_{1000} \\ 0.000001 & 0.64393 \\ 0.000001 & 0.64393 \\ 0.000001 & 0.64393 \\ 0.000001 & 0.64393 \\ 0.000001 & 0.64393 \\ 0.000001 & 0.64393 \\ 0.000001 & 0.64393 \\ 0.000001 & 0.64393 \\ 0.000001 & 0.64393 \\ 0.000001 & 0.64394 \end{matrix}$

Vi ser at ledda blir mindre og mindre, og at summen nærmar seg sakte, men sikkert den summen vi fann i oppgåve d).

f) Utfordring: Kan du lage eit program som finn ut kor mange ledd du må ha for at summen skal vere lik den summen du fekk i oppgåve d) med ei nøyaktigheit på 7 desimalar?

Løysing

Dersom vi skal ha ei nøyaktigheit på 7 desimalar, altså ein sum på 0,6449340, må vi finne ut når summen passerer 0,64493405 (fordi vi då måtte ha runda opp til 0,6449341).

Programmet kan sjå slik ut:

python

1a_n = 0
2Sum = 0
3antal = 1
4
5
6while Sum < 0.64493405:
7    a_n = 1/(1+antal)**2
8    Sum = Sum + a_n
9    antal = antal+1
10
11print(f"Vi treng {antal-1} ledd for å få summen med ei nøyaktigheit på 7 desimalar.")

Tok programmet langt tid å køyre? Ikkje så rart, kanskje, sidan vi treng heile 59 128 516 ledd i rekka for å komme til denne summen.

Kanskje du klarer å finne eit meir effektivt program?

1.1.22

Ledda i ei uendeleg rekke er gitt ved formelen $a_{n} = \frac{1}{n^{2}}$ .

a) Skriv opp dei fem første ledda i rekka.

Løysing

$\begin{array}{rcl} a_{n} & = & \frac{1}{n^{2}} \\ a_{1} & = & \frac{1}{1^{2}} = 1 \\ a_{2} & = & \frac{1}{2^{2}} = \frac{1}{4} \\ a_{3} & = & \frac{1}{3^{2}} = \frac{1}{9} \\ a_{4} & = & \frac{1}{4^{2}} = \frac{1}{16} \\ a_{5} & = & \frac{1}{5^{2}} = \frac{1}{25} \end{array}$

b) Finn $S_{5}$ og $S_{50}$ .

Løysing

Vi bruker GeoGebra og rundar av:

Skjermutklipp frå CAS i GeoGebra. Linje 1 finn summen av rekka 1 delt på n opphøgd i 2 frå 1 til 5, svaret er 1,4636111111. Linje 2 finn summen av den same rekka frå 1 til 50. Svaret er 1,6251327336. — Bilete: Tove Annette Holter / CC BY-SA 4.0

c) Finn den eksakte summen av rekka når $n \to \infty$ .

Løysing

Vi bruker GeoGebra:

Skjermutklipp frå CAS i GeoGebra, ei linje. Linje 3 finn summen av rekka 1 delt på n opphøgd i 2 frå 1 til uendeleg. Svaret er gitt som ein seksdel pi opphøgd i 2. — Bilete: Tove Annette Holter / CC BY-SA 4.0

1.1.23

Ledda i ei uendeleg rekke er gitt ved formelen $a_{n} = \frac{1}{n}$ .

a) Skriv opp dei fem første ledda i rekka.

Løysing

$\begin{array}{rcl} a_{n} & = & \frac{1}{n} \\ a_{1} & = & \frac{1}{1} = 1 \\ a_{2} & = & \frac{1}{2} \\ a_{3} & = & \frac{1}{3} \\ a_{4} & = & \frac{1}{4} \\ a_{5} & = & \frac{1}{5} \end{array}$

b) Finn $S_{50}$ og $S_{100}$ .

Løysing

Vi bruker GeoGebra:

Skjermutklipp frå CAS i GeoGebra. Linje 1 finn summen av rekka 1 delt på n frå 1 til 50, svaret er 4,4992053383. Linje 2 finn summen av den same rekka frå 1 til 100, svaret er 5,1873775176. — Bilete: Tove Annette Holter / CC BY-SA 4.0

c) Finn summen av rekka når $n \to \infty$ .

Løysing

Vi bruker GeoGebra:

Skjermutklipp frå CAS i GeoGebra, ei linje. Linje 3 finn summen av rekka 1 delt på n frå 1 til uendeleg. Svaret er uendeleg. — Bilete: Tove Annette Holter / CC BY-SA 4.0

d) Samanlikn resultatet i c) med resultatet i 1.1.22 c). Beskriv kva som er forskjellen mellom desse to.

Løysing

I 1.1.22 c) var svaret eit tal, mens i denne oppgåva er svaret uendeleg. Det betyr at summen av rekka som er gitt ved $a_{n} = \frac{1}{n}$ , vil halde fram med å vekse, mens summen av rekka som er gitt ved $a_{n} = \frac{1}{n^{2}}$ , vil gå mot ein bestemd sum.

Dette betyr at rekka i 1.1.22 konvergerer, mens rekka i 1.1.23 ikkje gjer det. Dette vil du lære meir om når du kjem til artikkelen "Konvergens og divergens i uendelege geometriske rekker".

1.1.20

1.1.21

1.1.22

1.1.23

Reglar for bruk av teksten "Rekker"