Vi går no vidare ut frå at både og er positive storleikar. Vi skal bruke den generelle sinusfunksjonen til å definere storleikane periode, amplitude, likevektslinje og faseforskyving.
Periode
Den enklaste sinusfunksjonen,, har ein periode, som vi til dømes kan måle på grafen til funksjonen som avstanden mellom to nabotoppunkt. Det er fordi at etter at vinkelen har sprunge frå til , har endra verdi med . svarer til éin runde på einingssirkelen. Etter det byrjar funksjonsverdiane å gjenta seg. Dette er òg diskutert på teorisida om grafen til sinus- og cosinusfunksjonen.
I faga naturfag og fysikk, der vi ikkje koplar sinusfunksjonar til einingssirkelen på den same måten, kallar vi ofte perioden for bølgelengde fordi han beskriv avstanden mellom to bølgetoppar. I det elektromagnetiske spekteret er dei ulike typane stråling sorterte etter bølgelengde.
Vi ser på den generelle sinusfunksjonen . Vi går ut frå at vi ikkje kjenner formelen for perioden frå før.
Finn og . betyr at vi set , perioden, til funksjonen. (Perioden er ukjend førebels.)
Resultat
Når går ein periode frå 0 til , må vi krevje at argumentet til sinusfunksjonen har auka med , det vil seie frå til . Det betyr at
Kontroller at formelen gir rett svar når vi veit frå før at funksjonen har periode .
Resultat
I denne funksjonen har vi at .
Legg merke til at perioden til den generelle sinusfunksjonen berre er avhengig av talet . Eit konstant tillegg i argumentet til sinusfunksjonen påverkar ikkje perioden.
I mange samanhengar blir talet kalla for frekvensen til funksjonen. Dette kjem vi tilbake til i kapittelet om funksjonsanalyse og modellering.
Ein sinusfunksjon har periode . Kva blir talet i sinusfunksjonen då?
Resultat
Vi får
Likevektslinje
Frå tidlegare har vi at toppunkta til har -koordinat og botnpunkta har -koordinat . Det betyr at grafen til funksjonen er like mykje over som under -aksen, sjå biletet øvst på sida. Vi seier at grafen til svingar rundt -aksen. For denne funksjonen er det derfor -aksen som er likevektslinje.
Vi definerer likevektslinje slik: Ei likevektslinje er ei vassrett linje som er plassert slik at grafen svingar like mykje over og under denne linja. Likevektslinja ligg derfor midt mellom topp- og botnpunkta.
Den generelle sinusfunksjonen treng ikkje ha -aksen som likevektslinje. Nedanfor kan du dra i fire glidarar i det interaktive GeoGebra-arket og endre dei ulike storleikane i den generelle sinusfunksjonen.
Kva for ein av glidarane er det som gjer at likevektslinja flyttar seg?
Svar
Det er glidaren for som gjer at likevektslinja flyttar seg. Legg merke til at uansett kva verdi har, vil grafen svinge rundt likevektslinja.
Kva blir formelen for likevektslinja?
Svar
Vi ser at likevektslinja har same verdi som . Det betyr at likevektslinja har formelen
Likevektslinja ligg midt mellom ein maksimalverdi og ein minimalverdi for den generelle sinusfunksjonen. Skriv opp eit uttrykk for likevektslinja dersom vi kjenner maksimalverdien og minimalverdien til sinusfunksjonen.
Resultat
-verdien til likevektslinja blir gjennomsnittet av maksimal- og minimalverdien.
Likevektslinje og periode
Du kan finne perioden til ein sinusfunksjon ved å lese av langs likevektslinja. Då må du lese av avstanden mellom to etterfølgande skjeringspunkt med veksande graf og likevektslinja eller to etterfølgande skjeringspunkt med minkande graf og likevektslinja, sjå biletet.
Kva er perioden til den ukjende sinusfunksjonen på biletet? Vis utrekning både ut frå skjeringspunkt mellom likevektslinja og veksande graf, og mellom likevektslinja og minkande graf.
Resultat
Perioden funne med skjeringspunkt med veksande graf:
Perioden funne med skjeringspunkt med minkande graf:
Kva blir avstanden mellom to naboskjeringspunkt mellom grafen og likevektslinja?
Forklaring
Sidan grafen svingar rundt likevektslinja, vil avstanden mellom to naboskjeringspunkt vere ein halv periode. For denne grafen blir avstanden .
Vi seier at desse to punkta ikkje er i same svingetilstand sidan stigingstala til tangenten i punkta er ulike.
Amplitude
Avstanden frå likevektslinja til eit topp- eller botnpunkt på grafen kallar vi amplituden til funksjonen. Amplituden fortel kor stort utslaget til sinusfunksjonen er frå likevektslinja, sjå biletet nedanfor.
Kva er amplituden til funksjonen på biletet?
Svar
Amplituden til funksjonen på biletet er 1.
Bruk det interaktive GeoGebra-arket nedanfor til å finne kva for nokre av dei fire glidarane som påverkar amplituden til sinusfunksjonen.
Det er glidaren for som bestemmer amplituden til funksjonen. Ingen av dei andre glidarane påverkar amplituden.
Kva er samanhengen mellom amplituden og verdien til glidaren ?
Svar
Amplituden til sinusfunksjonen er lik verdien til glidaren . Amplituden til den generelle sinusfunksjonen er derfor talet .
Vi kan finne amplituden til ein ukjend sinusfunksjon ut frå grafen på fleire måtar.
Skriv opp ein formel for amplituden ut frå
maksimalverdien til sinusfunksjonen og verdien til likevektslinja
og
og
Resultat
Amplituden er differansen mellom maksimalverdien til funksjonen og verdien til likevektslinja. Vi får
Vi kan òg rekne ut amplituden ved hjelp av og , minimalverdien til funksjonen .
Dersom vi måler avstanden mellom og , får vi det dobbelte av amplituden. Det gir
Bevis den siste formelen i resultatboksen over ut frå dei to første.
Svar
I den siste formelen inngår ikkje . Vi kan eliminere ut frå dei to første formlane.
Kva funksjon har vi teikna grafen til på biletet?
Forklaring
Grafen har likevektslinje , så vi har at samanlikna med den generelle sinusfunksjonen. Amplituden er 1. Dersom vi ein augneblink lèt som om likevektslinja er -aksen, får vi grafen til . Det betyr at grafen på biletet er grafen til funksjonen
Kontroller at dette stemmer ved å bruke det interaktive GeoGebra-arket ovanfor.
Faseforskyving
På teorisida om grafen til sinusfunksjonen har vi at grafen til er lik grafen til , men forskyvd ei lengde til venstre. Vi seier at grafen til er faseforskyvd i forhold til grafen til ein tilsvarande sinusfunksjon utan eit tillegg i argumentet.
Det er vanleg å regne faseforskyving til høgre som positiv. I det interaktive GeoGebra-arket kan du dra i glidaren for og observere faseforskyvinga til den blå, heiltrekte grafen i forhold til den grå, stipla grafen der .
Den grå, stipla grafen er grafen til . For denne grafen er . Alle sinusfunksjonar der , skjer -aksen der likevektslinja skjer -aksen, for . I dette punktet vil funksjonen alltid vere veksande fordi leddet når , og når -verdiane aukar frå null, aukar òg sinusverdiane og dermed funksjonsverdiane. Vi får at . (Funksjonsverdien er òg lik når , men då er funksjonen minkande.)
Nullstill det interaktive GeoGebra-arket med knappen med det runde pilsymbolet øvst til høgre før du går vidare. Kvar har vi tilsvarande skjeringspunkt med likevektslinja for den andre grafen på biletet, den blå grafen til ?
Forklaring
Vi må finne tilsvarande stad der den blå grafen er veksande. Vi kan sjå av grafen at dette er oppfylt for .
Korleis kan vi vite at dette er rett stad?
Den rette staden har vi når argumentet til funksjonen er null, det vil seie når . Det vil seie når
Dersom du har nullstilt GeoGebra-arket, har vi at og . Dette gir
Merk at funksjonane og har elles lik form, dei har same likevektslinje, amplitude og periode.
Grafen til funksjonen er parallellforskyvd ein avstand langs -aksen i forhold til grafen til .
Vi seier at har faseforskyvinga. Faseforskyvinga er anten ein negativ -verdi til venstre for -aksen der grafen til skjer likevektslinja for veksande funksjonsverdiar, eller ein positiv -verdi til høgre for -aksen der grafen til skjer likevektslinja for veksande funksjonsverdiar.
Rekn ut faseforskyvinga når og . Kontroller svaret ved hjelp av det interaktive GeoGebra-arket.
Resultat
Faseforskyvinga blir
Faseforskyvinga er mot høgre sidan ho er positiv. Dette stemmer med det interaktive GeoGebra-arket når vi set og med glidarane.
Sinusfunksjonar i fase med kvarandre
To sinusfunksjonar med same periode (same og derfor same frekvens) og same faseforskyving (same ), seier vi er i fase sidan dei har toppunkt og botnpunkt for dei same -verdiane. Dette er tilfellet med dei to funksjonane og på biletet nedanfor.
Skissering av trigonometriske funksjonar
Det kan vere nyttig å kunne lage ei skisse av grafen til ein sinusfunksjon. Dersom vi skal lage ei skisse av grafen til funksjonen utan hjelpemiddel, vil vi ha god nytte av å finne dei fire storleikane periode, likevektslinje, amplitude og faseforskyving først.
Finn desse storleikane for funksjonen .
Løysing
Likevektslinje:
Amplitude:
Faseforskyving:
Periode:
Tenk gjennom korleis du vil bruke desse storleikane når du skal lage skissa. Skriv ein framgangsmåte for korleis du lagar skissa.
Forslag til framgangsmåte
Start med å teikne likevektslinja.
Teikn -aksen slik at likevektslinja kryssar midt på. Lengda og skalaen på aksen må vere slik at det er litt meir enn amplituden både opp frå likevektslinja og ned frå likevektslinja.
Teikn -aksen. Skalaen må vere slik at det er plass til omtrent to periodar.
Marker faseforskyvinga med pil langs likevektslinja.
Marker punktet på likevektslinja som ligg 1 periode til høgre for faseforskyvinga.
Marker òg punktet på likevektslinja som ligg periode til høgre for faseforskyvinga.
Vi kan teikne fleire skjeringspunkt mellom grafen og likevektslinja ut frå dei tre vi har.
Grafen vil ha eit toppunkt for -verdien midt mellom -verdiane til og og eit botnpunkt for -verdien mellom -verdiane til og . Punkta vil ligge i ein avstand lik amplituden frå likevektslinja.
Vi kan teikne fleire toppunkt ved å gå 1 periode til høgre eller venstre frå det første. Det same gjeld botnpunkta.
No kan sjølve grafen skisserast.
På biletet har vi følgt framgangsmåten i forslaget over bortsett frå at vi ikkje har gjort det som står i det siste punktet. Kva veit vi om grafen i punkta og ?
Forklaring
Punktet markerer faseforskyvinga og ligg derfor i ein avstand frå -aksen. Då veit vi at grafen går gjennom punktet og er stigande.
Punktet ligg 1 periode til høgre for . Då veit vi at grafen går gjennom dette punktet og er stigande sidan grafen må vere i same svingetilstand i som i .
Punktet ligg ein halv periode til høgre for . Då veit vi at grafen går gjennom dette punktet og er fallande.
Til slutt kan vi skissere sjølve grafen.
Oppsummering
Ein funksjon gitt ved har
periode
likevektslinje
amplitude
faseforskyving
Når er negativ, er faseforskyvinga positiv, og grafen er forskyvd mot høgre.
Når er positiv, er faseforskyvinga negativ, og grafen er forskyvd mot venstre.
I nokre samanhengar bruker vi nemninga bølgelengde i staden for periode.
Film om periode, amplitude, likevektslinje og faseforskyving