Modellering og analyse av trigonometriske funksjonar

Funksjonen vil ha den største verdien sin når $\sin x=1$. Det betyr at den største verdien er $\frac{1}{2}·1=\frac{1}{2}$.

Funksjonen vil ha den minste verdien sin når $\sin x=-1$. Det betyr at den minste verdien er $\frac{1}{2}·\left(-1\right)=-\frac{1}{2}$.

Funksjonen vil ha den største verdien sin når $\cos 2x=1$. Det betyr at den største verdien er $3·1=3$.

Funksjonen vil ha den minste verdien sin når $\cos 2x=-1$. Det betyr at den største verdien er $3·\left(-1\right)=-3$.

Vi veit at verdimengda til ein tangensfunksjon er alle reelle verdiar. Funksjonen vil derfor ikkje ha ein største eller minste verdi.

Funksjonen vil ha den største verdien sin når $\sin 2x=1$. Det betyr at den største verdien er $3·1+2=5$.

Funksjonen vil ha den minste verdien sin når $\sin 2x=-1$. Det betyr at den minste verdien er $3·\left(-1\right)+2=-1$.

Her kan vi bruke det vi veit om å slå saman to slike trigonometriske uttrykk til eit generelt sinusuttrykk. Vi set

$\begin{array}{rcl}3\sin 3x-\sqrt{3}\cos 3x & =& a\sin 3x+b\cos 3x\\ & =& A\sin \left(3x+𝜑\right)\end{array}$

der

$A=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3^2+{\left(-\sqrt{3}\right)}^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$

Sidan vi berre skal finne største og minste verdi til funksjonen, treng vi ikkje bry oss om kva $𝜑$ er.

Amplituden til funksjonen er $2\sqrt{3}$, og det er ingen konstantledd i funksjonen. Funksjonen vil derfor ha $2\sqrt{3}$som største verdi og $-2\sqrt{3}$ som minste verdi.

Det er ikkje gitt noka definisjonsmengde, så då må vi gå ut frå at $D_f=\mathrm{ℝ}$.

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& 0\\ 2\sin \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{3}\right)+1 & =& 0\\ \sin \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{3}\right) & =& -\frac{1}{2}\\ \frac{x}{2}+\frac{\pi }{3} & =& \frac{7\pi }{6}+n·2\pi \vee \frac{x}{2}+\frac{\pi }{3}= \frac{11\pi }{6}+n·2\pi \\ \frac{x}{2} & =& \frac{5\pi }{6}+n·2\pi \vee \frac{x}{2}=\frac{9\pi }{6}+n·2\pi \\ x & =& \frac{5\pi }{3}+n·4\pi \vee x=3\pi +n·4\pi \\ n & \in & \mathrm{\mathbb{Z}}\end{array}$

Nullpunkta er $x=\frac{5\pi }{3}+n·4\pi \vee x=3\pi +n·4\pi$.

Funksjonen er ein variant av den generelle sinusfunksjonen. Vi bruker derfor at ein sinusfunksjon er periodisk slik at toppunkta kjem med mellomrom på éin periode. Det same gjeld botnpunkta.

Ein generell sinusfunksjon har den største verdien sin når argumentet er $\frac{\pi }{2}+n·2\pi$ der $n\in \mathrm{\mathbb{Z}}$. Dette gir oss

$\begin{array}{rcl}\frac{x}{2}+\frac{\pi }{3} & =& \frac{\pi }{2}+n·2\pi \\ \frac{x}{2} & =& \frac{\pi }{6}+n·2\pi \\ x & =& \frac{\pi }{3}+n·4\pi \end{array}$

Vi vil få nye toppunkt med eit mellomrom på $4\pi$ mellom kvart toppunkt. Det betyr at perioden $p=4\pi$. $y$-koordinatane blir

$d+A=1+2=3$

Toppunkta til $f$ er derfor $\left(\frac{\pi }{3}+n·4\pi , 3\right)$.

Botnpunkta ligg midt mellom toppunkta, det vil seie når

$x=\frac{\pi }{3}+\frac{4\pi }{2}+n·4\pi =\frac{7\pi }{3}+n·4\pi$

$y$-koordinatane blir

$d-A=1-2=-1$

Botnpunkta til $f$ er derfor $\left(\frac{7\pi }{3}+n·4\pi , -1\right)$.

Ein generell sinusfunksjon har ingen terrassepunkt.

Vendepunkta til ein sinusfunksjon ligg der grafen kryssar likevektslinja. Derfor vil dei ligge med mellomrom på ein halv periode midt mellom eit topp- og eit botnpunkt. Til dømes er $x$-koordinaten til nokre av vendepunkta ein kvart periode større enn $x$-koordinaten til toppunkta. Dette gir oss at vi får vendepunkt når

$x=\frac{\pi }{3}+\frac{4\pi }{4}+n·\frac{4\pi }{2}=\frac{4\pi }{3}+n·2\pi$

$y$-koordinaten til vendepunktet er $d=1$. Koordinatane til vendepunkta blir

$\left(\frac{4\pi }{3}+n·2\pi , 1\right)$

Sidan det første ekstremalpunktet etter vendepunktet i $x=\frac{4\pi }{3}$ er botnpunktet i $\frac{7\pi }{3}$, vil grafen vende den hole sida opp i intervallet mellom $\frac{4\pi }{3}$ og det "neste" vendepunktet, det vil seie i intervallet $\left[\frac{4\pi }{3},\frac{4\pi }{3}+2\pi \right]=\left[\frac{4\pi }{3},\frac{10\pi }{3}\right]$. I intervallet mellom $\frac{10\pi }{3}$ og det neste vendepunktet vil grafen vende den hole sida ned. Slik vil det halde fram.

Gjennomsnittsverdien til $f$ er $d$, som er 1.

Vi må først finne $f^{\text{'}}\left(x\right)$. Vi set $u=\frac{x}{2}+\frac{\pi }{3}$, som gir $g\left(u\right)=2\sin u+1$ og $u^{\text{'}}=\frac{1}{2}$ og bruker kjerneregelen når vi deriverer.

$\begin{array}{rcl}{f}^{\text{'}}\left(x\right) & =& g^{\text{'}}\left(u\right)·u^{\text{'}}\\ & =& 2\cos \left(u\right)·\frac{1}{2}\\ & =& 2\cos \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{3}\right)·\frac{1}{2}\\ & =& \cos \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{3}\right)\end{array}$

Vi finn nullpunkta til den deriverte.

$\begin{array}{rcl}{f}^{\text{'}}\left(x\right) & =& 0\\ \cos \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{3}\right) & =& 0\\ \frac{x}{2}+\frac{\pi }{3} & =& \frac{\pi }{2}+n·\pi \\ \frac{x}{2} & =& \frac{\pi }{6}+n·\pi \\ x & =& \frac{\pi }{3}+n·2\pi , n\in \mathrm{\mathbb{Z}}\end{array}$

No må vi finne ut kva for nokre av desse $x$-verdiane som gir eit toppunkt, og kva som gir eit botnpunkt. Når $n=0$, får vi at $x=\frac{\pi }{3}$. Argumentet til sinusfunksjonen blir då

$\frac{{\displaystyle \frac{\pi }{3}}}{2}+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+\frac{2\pi }{6}=\frac{3\pi }{6}=\frac{\pi }{2}$

Dette må vere eit toppunkt sidan $\sin \frac{\pi }{2}=1$ er den største verdien sinus kan ha. Det neste nullpunktet til den deriverte, som vi får når $n=1$, må vere eit botnpunkt til funksjonen. $n=2$ må gi eit toppunkt igjen.

Vi får derfor at $x$-koordinaten til toppunkta er

$\frac{\pi }{3}+2n·2\pi =\frac{\pi }{3}+n·4\pi$

og botnpunkta

$\frac{\pi }{3}+\left(2n+1\right)·2\pi =\frac{\pi }{3}+2\pi +n·4\pi =\frac{7\pi }{3}+n·4\pi$

Alternativt kan vi ta dobbeltderiverttesten for å sjekke kva slags type stasjonære punkt vi får.

$f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)=-\sin \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{3}\right)·\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}\sin \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{3}\right)$

Vi set inn nullpunkta til den deriverte.

$\begin{array}{rcl}{f}^{\text{'}\text{'}}\left(\frac{\pi }{3}+n·2\pi \right) & =& -\frac{1}{2}\sin \left(\frac{{\displaystyle \frac{\pi }{3}}+n·2\pi }{2}+\frac{\pi }{3}\right)\\ & =& -\frac{1}{2}\sin \left(\frac{\pi }{6}+n·\pi +\frac{\pi }{3}\right)\\ & =& -\frac{1}{2}\sin \left(\frac{3\pi }{6}+n·\pi \right)\\ & =& -\frac{1}{2}\sin \left(\frac{\pi }{2}+n·\pi \right)\\ & =& \pm \frac{1}{2}\end{array}$

Svaret skiftar mellom å vere positivt og negativt. Svaret er negativt når $n$ er 0 eller eit partal, og positivt når $n$ er eit oddetal. Dette gir same resultat som over.

Vi bruker at $y$-koordinaten til toppunkta får vi når sinus til uttrykket i parentes er 1. Då treng vi ikkje setje inn $x$-koordinaten til toppunkta for å rekne ut $y$-verdien. Dette gir

$\begin{array}{rcl}f\left(\frac{\pi }{3}+n·4\pi \right) & =& 2·1+1=3\end{array}$

$y$-koordinaten til botnpunkta får vi tilsvarande når sinus til uttrykket i parentes er lik $-1$. Dette gir

$\begin{array}{rcl}f\left(\frac{7\pi }{3}+n·4\pi \right)& =& 2·\left(-1\right)+1=-1\end{array}$

Oppsummert får vi dette:

Toppunkt: $\left(\frac{\pi }{3}+n·4\pi , 3\right)$

Botnpunkt: $\left(\frac{7\pi }{3}+n·4\pi , -1\right)$

$n\in \mathrm{\mathbb{Z}}$

Stemmer dette med resultatet i den førre oppgåva?

Vi finn vendepunkta ved å setje den dobbeltderiverte lik 0.

$\begin{array}{rcl}{f}^{\text{'}\text{'}}\left(x\right) & =& 0\\ -\frac{1}{2}\sin \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{3}\right) & =& 0\\ \frac{x}{2}+\frac{\pi }{3} & =& n·\pi \\ \frac{x}{2} & =& -\frac{\pi }{3}+n·\pi \\ x & =& -\frac{2\pi }{3}+n·2\pi \\ & =& -\frac{2\pi }{3}+2\pi +n·2\pi \\ & =& \frac{4\pi }{3}+n·2\pi \\ n & \in & \mathrm{\mathbb{Z}}\end{array}$

Nedst har vi skrive om uttrykket for å skrive det første leddet som ein vinkel i første omløp, men vi må ikkje gjere det.

Vi prøver å setje denne løysinga inn i $f$.

$\begin{array}{rcl}f\left(\frac{4\pi }{3}+n·2\pi \right) & =& 2\sin \left(\frac{{\displaystyle \frac{4\pi }{3}}+n·2\pi }{2}+\frac{\pi }{3}\right)+1\\ & =& 2\sin \left(\frac{2\pi }{3}+n·\pi +\frac{\pi }{3}\right)+1\\ & =& 2\sin \left(\pi +n·\pi \right)+1\\ & =& 2\sin \left(n·\pi \right)+1\\ & =& 2·0+1\\ & =& 1\end{array}$

Vendepunkta til $f$ er $\left(\frac{4\pi }{3}+n·2\pi , 1\right)$.

Svaret er nei. Her har vi ein kombinasjon av ein sinusfunksjon og ein polynomfunksjon som er avhengig av $x$. Då må vi derivere.

Vi deriver $f\left(x\right)$. Vi bruker kjerneregelen igjen, her i kortform:

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)& = & 2\sin 2x+2x\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(x\right)& =& 2\cos \left(2x\right)·2+2\\ & & \\ & =& 4\cos 2x+2\end{array}$

Vi finn eventuelle ekstremalpunkt ved å setje $f^{\text{'}}\left(x\right)=0$.

$\begin{array}{rclcccrclll}4\cos 2x+2& =& 0& & & & & & & & \\ & & & & & & & & & & \\ \cos 2x& =& -\frac{1}{2}& & & & & & & & \\ & & & & & & & & & & \\ 2x& =& \frac{2\pi }{3}+k·2\pi & & \vee & & 2x& =& \frac{4\pi }{3}+k·2\pi & ,& k \mathrm{heltall}\\ & & & & & & & & & & \\ x& =& \frac{\pi }{3}+k·\pi & & \vee & & x& =& \frac{2\pi }{3}+k·\pi & ,& x\in ⟨0, 2\pi ⟩\end{array}$

For begge løysingane kan vi berre bruke $k$-verdiar på 0 og 1 for at løysingane skal vere innanfor definisjonsmengda. Vi får desse moglege ekstremalpunkta:

$x=\frac{\pi }{3} \vee x=\frac{\pi }{3}+\pi =\frac{4\pi }{3}$

$\vee$

$x=\frac{2\pi }{3} \vee x=\frac{2\pi }{3}+\pi =\frac{5\pi }{3}$

Så tek vi ein stikkprøve for å avgjere monotonieigenskapane i staden for dobbeltderiverttesten:

$\begin{array}{rcl}{f}^{\text{'}}\left(\frac{\pi }{6}\right)& = & 4\cos \left(2·\frac{\pi }{6}\right)+2=4\end{array}·\frac{1}{2}+2=4$

Sidan den deriverte er ein rein cosinusfunksjon, veit vi at han skifter forteikn i nullpunkta. Vi treng derfor ikkje å ta fleire stikkprøvar.

Vi kan no setje opp forteiknslinja for $f^{\text{'}}\left(x\right)$.

Forteiknslinja viser at grafen til $f$ stig i intervalla $\langle 0, \frac{\pi }{3}\rangle$, $⟨\frac{2\pi }{3}, \frac{4\pi }{3}⟩$ og $⟨\frac{5\pi }{3}, 2\pi ⟩$ og søkk i intervalla $⟨\frac{\pi }{3}, \frac{2\pi }{3}⟩$ og $⟨\frac{4\pi }{3}, \frac{5\pi }{3}⟩$.

$x$-koordinatane til toppunkta blir $x=\frac{\pi }{3}$ og $x=\frac{4\pi }{3}$, og botnpunkta har $x$-koordinatane $x=\frac{2\pi }{3}$ og $x=\frac{5\pi }{3}$.

$y$-verdien til toppunkta blir

$\begin{array}{l}\begin{array}{rcl}f\left(\frac{\pi }{3}\right)& =& 2\sin \left(\frac{2\pi }{3}\right)+\frac{2\pi }{3}=2\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{2\pi }{3}=\sqrt{3}+\frac{2\pi }{3}\\ & & \\ f\left(\frac{4\pi }{3}\right)& =& 2\sin \left(\frac{8\pi }{3}\right)+\frac{2·4\pi }{3}=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\frac{4\pi }{3}=\sqrt{3}+\frac{8\pi }{3}\end{array}\end{array}$

$y$-verdien til botnpunkta blir

$\begin{array}{rcl}f\left(\frac{2\pi }{3}\right)& =& 2\sin \left(\frac{4\pi }{3}\right)+\frac{2·2\pi }{3}=2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\frac{4\pi }{3}=-\sqrt{3}+\frac{4\pi }{3}\\ & & \\ f\left(\frac{5\pi }{3}\right)& =& 2\sin \left(\frac{10\pi }{3}\right)+\frac{2·5\pi }{3}=2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\frac{10\pi }{3}=-\sqrt{3}+\frac{10\pi }{3}\end{array}$

Toppunkt: $\left(\frac{\pi }{3}, \sqrt{3}+\frac{4\pi }{3}\right)$ og $\left(\frac{4\pi }{3}, \sqrt{3}+\frac{8\pi }{3}\right)$

Botnpunkt: $\left(\frac{2\pi }{3}, -\sqrt{3}+\frac{4\pi }{3}\right)$ og $\left(\frac{5\pi }{3}, -\sqrt{3}+\frac{10\pi }{3}\right)$

Ekstremalpunkta kjem med periodiske mellomrom, men sidan ekstremalverdiene varierer, vil ikkje funksjonen vere periodisk.

Vi finn infleksjonspunkt ved å setje $f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)=0$. Først finn vi $f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right).$

$\begin{array}{rcl}{f}^{\text{'}}\left(x\right)& =& 4\cos 2x+2\\ & & \\ f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)& =& 4\left(-\sin 2x\right)·2\\ & & \\ & =& -8\sin 2x\end{array}$

Så set vi den andrederiverte lik null.

$\begin{array}{rcl}{f}^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)& =& 0\\ & & \\ -8\sin 2x& =& 0\\ & & \\ \sin 2x& =& 0\\ & & \\ 2x& =& 0+k·\pi \\ & & \\ x& =& k·\frac{\pi }{2} , k\in \mathrm{\mathbb{Z}}\end{array}$

Vi får løysing når $k\in \left\{1,2,3\right\}$. I stigande rekkefølge får vi desse infleksjonspunkta:

$\begin{array}{rcl}x& =& \frac{\pi }{2} \vee x=\pi \vee x=\frac{3\pi }{2}\\ & & \\ f\left(\frac{\pi }{2}\right)& =& 2\sin \left(\frac{2·\pi }{2}\right)+\frac{2·\pi }{2}=\pi \\ & & \\ f\left(\pi \right)& =& 2\sin \left(2\pi \right)+2\pi =2\pi \\ & & \\ f\left(\frac{3\pi }{2}\right)& =& 2\sin \left(\frac{2·3\pi }{2}\right)+\frac{2·3\pi }{2}=3\pi \end{array}$

Vendepunkt:

$\left(\frac{\pi }{2}, \pi \right), \left(\pi , 2\pi \right)$ og $\left(\frac{3\pi }{2}, 3\pi \right)$

Funksjonen må stige raskast i eit av vendepunkta. Vi må sjå etter eit vendepunkt som kjem etter eit botnpunkt. Det første botnpunktet er $\left(\frac{2\pi }{3}, -\sqrt{3}+\frac{4\pi }{3}\right)$. Det næraste vendepunktet etter dette er $\left(\pi , 2\pi \right)$. Det andre botnpunktet har ikkje noko vendepunkt etter seg. Vi reknar ut

$f^{\text{'}}\left(\pi \right)=4·\cos 2\pi +2=4·1+2=6$

Funksjonen stig raskast når $x=\pi$, og då er den momentane vekstfarten 6.

Vendepunktet med minst $x$-verdi er punktet $\left(\frac{\pi }{2}, \pi \right)$. Stigingstalet til tangenten er

$f^{\text{'}}\left(\frac{\pi }{2}\right)=4\cos \left(2·\frac{\pi }{2}\right)+2=4·\left(-1\right)+2=-2$

Vi bruker eittpunktsformelen for å finne vendetangenten:

$\begin{array}{rcl}y-y_1& =& a(x-x_1)\\ & & \\ y-\pi & = & -2\left(x-\frac{\pi }{2}\right)\\ & & \\ y& =& -2x+2\pi \end{array}$

Vi bruker funksjonen $f$ som alt er skriven inn i algebrafeltet i GeoGebra.

I linje 1 finn vi ekstremalpunkta.

I linje 2 bruker vi dobbeltderiverttesten for å finne ut om ekstremalpunkta er minimal- eller maksimalpunkt.

I linje 3 reknar vi ut ekstremalverdiane.

I linje 4 finn vi nullpunkta til den dobbeltderiverte. Ut frå verdiane vi fekk rekna ut i linje 2, ser vi at den dobbeltderiverte skiftar forteikn i desse nullpunkta, som då er infleksjonspunkt.

I linje 5 finn vi $y$-koordinatane til vendepunkta.

I linje 6 reknar vi ut den deriverte i vendepunkta sidan det må vere i eit av desse funksjonen stig raskast.

I linje 7 finn vi tangenten for $x=\frac{\pi }{2}$.

Vi kan erstatte $2v$ med $x$ i formelen. Det betyr at $v=\frac{x}{2}$. Dette gir

$\cos x= {\cos }^2\left(\frac{x}{2}\right)-{\sin }^2\left(\frac{x}{2}\right)$

Så bruker vi einingsformelen med vinkelen $\frac{x}{2}$:

${\cos }^2\left(\frac{x}{2}\right)+{\sin }^2\left(\frac{x}{2}\right)=1 \iff {\cos }^2\left(\frac{x}{2}\right)=1-{\sin }^2\left(\frac{x}{2}\right)$

Resultatet blir

$\begin{array}{rcl}\cos x & =& {\cos }^2\left(\frac{x}{2}\right)-{\sin }^2\left(\frac{x}{2}\right)\\ & =& 1-{\sin }^2\left(\frac{x}{2}\right)-{\sin }^2\left(\frac{x}{2}\right)\\ & =& 1-2{\sin }^2\left(\frac{x}{2}\right)\end{array}$

Ved å snu på resultatet i oppgåve a) får vi at

$2{\sin }^2\frac{x}{2}=1-\cos x$

Dette gir vidare

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& 2{\sin }^2\left(\frac{x}{2}\right)-1\\ & =& 1-\cos x-1\\ & =& -\cos x\end{array}$

Grafen vil ha toppunkt der $\cos x$ har botnpunkt og motsett. Det betyr at

• botnpunkta til $f$ er $\left(n·2\pi ,-1\right)$, $n\in \mathrm{\mathbb{Z}}$

• toppunkta til $f$ er $\left(\pi +n·2\pi ,1\right)$

Vi veit at ${\sin }^{2}x$ vil ha toppunkt både når $\sin x=1$ og $\sin x=-1$. Botnpunkta vil vere der $\sin x=0$.

Toppunkta kjem derfor når

$\begin{array}{rcl}\sin \frac{x}{2} & =& \pm 1\\ \frac{x}{2} & =& \frac{\pi }{2}+n·\pi , n\in \mathrm{\mathbb{Z}}\\ x & =& \pi +n·2\pi \end{array}$

Botnpunkta kjem tilsvarande når

$\begin{array}{rcl}\sin \frac{x}{2} & =& 0\\ \frac{x}{2} & =& n·\pi \\ x & =& n·2\pi \end{array}$

Dette stemmer med det vi fann i oppgåve d) over.

Vi veit at ${\sin }^{2}x$ vil ha toppunkt både når $\sin x=1$ og $\sin x=-1$. Botnpunkta vil vere der $\sin x=0$.

Toppunkta kjem derfor når

$\begin{array}{rcl}\sin x & =& \pm 1\\ x & =& \frac{\pi }{2}+n·\pi \end{array}$

der $n\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

$y$-koordinaten til toppunkta blir $2·1+1=3$.

Botnpunkta kjem tilsvarande når

$\begin{array}{rcl}\sin x & =& 0\\ x & =& n·\pi \end{array}$

$y$-koordinaten til botnpunkta blir $2·0+1=1$.

Vi får

• toppunkt: $\left(\frac{\pi }{2}+n·\pi ,3\right)$

• botnpunkt: $\left(n·\pi ,1\right)$

der $n\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Vi veit at ${\cos }^{2}3x$ vil ha toppunkt både når $\cos 3x=1$ og $\cos 3x=-1$. Botnpunkta vil vere der $\cos 3x=0$.

Toppunkta kjem derfor når

$\begin{array}{rcl}\cos 3x & =& \pm 1\\ 3x & =& n·\pi \\ x & =& n·\frac{\pi }{3}\end{array}$

der $n\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

$y$-koordinaten til toppunkta blir $3·1-4=-1$.

Botnpunkta kjem tilsvarande når

$\begin{array}{rcl}\cos 3x & =& 0\\ 3x & =& \frac{\pi }{2}+n·\pi \\ x & =& \frac{\pi }{6}+n·\frac{\pi }{3}\end{array}$

$y$-koordinaten til botnpunkta blir $3·0-4=-4$.

Vi får

• toppunkt: $\left(n·\frac{\pi }{3},-1\right)$

• botnpunkt: $\left(\frac{\pi }{6}+n·\frac{\pi }{3},-4\right)$

der $n\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Her lønner det seg å fjerne ein av dei trigonometriske funksjonane ved hjelp av einingsformelen. Vi vel å fjerne ${\cos }^{2}2x$.

$\begin{array}{rcl}{\cos }^2\left(2x-\frac{\pi }{3}\right)+{\sin }^2\left(2x-\frac{\pi }{3}\right) & =& 1\\ {\cos }^2\left(2x-\frac{\pi }{3}\right) & =& 1-{\sin }^2\left(2x-\frac{\pi }{3}\right)\end{array}$

Dette gir

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& 5{\sin }^2\left(2x-\frac{\pi }{3}\right)+{\cos }^2\left(2x-\frac{\pi }{3}\right)-1\\ & =& 5{\sin }^2\left(2x-\frac{\pi }{3}\right)+1-{\sin }^2\left(2x-\frac{\pi }{3}\right)-1\\ & =& 4{\sin }^2\left(2x-\frac{\pi }{3}\right)\end{array}$

Vi veit at ${\sin }^{2}x$ vil ha toppunkt både når $\sin x=1$ og $\sin x=-1$. Botnpunkta vil vere der $\sin x=0$.

Toppunkta kjem derfor når

$\begin{array}{rcl}\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right) & =& \pm 1\\ 2x-\frac{\pi }{3} & =& \frac{\pi }{2}+n·\pi \\ 2x & =& \frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{3}+n·\pi \\ & =& \frac{5\pi }{6}+n·\pi \\ x & =& \frac{5\pi }{12}+n·\frac{\pi }{2}\end{array}$

der $n\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

$y$-koordinaten til toppunkta blir $4·1=4$.

Botnpunkta kjem tilsvarande når

$\begin{array}{rcl}\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right) & =& 0\\ 2x-\frac{\pi }{3} & =& n·\pi \\ 2x & =& \frac{\pi }{3}+n·\pi \\ x & =& \frac{\pi }{6}+n·\frac{\pi }{2}\end{array}$

$y$-koordinaten til botnpunkta blir $4·0=0$.

Vi får

• toppunkt: $\left(\frac{5\pi }{12}+n·\frac{\pi }{2},4\right)$

• botnpunkt: $\left(\frac{\pi }{6}+n·\frac{\pi }{2},0\right)$

der $n\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Den generelle sinusfunksjonen skriv vi som

$f\left(x\right)=A\left(\sin kx+𝜑\right)+d$

Sidan det er tida som er den frie variabelen, kan vi byte ut $x$ med $t$ dersom vi vil.

Den første opplysninga betyr at

$2A=80 \iff A=40$

Når pendelen bruker 4 s frå ytterpunkt til ytterpunkt, betyr det at perioden $p=2·4=8$. Det betyr at

$k=\frac{2\pi }{p}=\frac{2\pi }{8}=\frac{\pi }{4}$

Sidan vi ikkje har fleire opplysningar om svinginga, kan vi ikkje rekne oss fram til kva $𝜑$ og $d$ er. Vi kan derfor setje $𝜑=d=0$. Funksjonen blir

$f\left(x\right)=40\sin \frac{\pi }{4}t$

Likevektslinja må ligge midt mellom lågaste og høgaste verdi. Vi får derfor at

$d=\frac{30 000+15 000}{2}=22 500$

$A=30 000-d=30 000-22 500=7 500$

Dersom vi lar $x$ stå for dagar, betyr det at perioden til funksjonen er ei veke, eller $p=7$. Då får vi at

$k=\frac{2\pi }{p}=\frac{2\pi }{7}$

Dersom vi lar $x=1$ bety ein måndag, betyr det at funksjonen skal ha toppunkt når $x=4$. Dette gir

$\begin{array}{rcl}\sin \left(k·4+𝜑\right) & =& 1\\ k·4+𝜑 & =& \frac{\pi }{2}+n·2\pi \\ \frac{2\pi }{7}·4+𝜑 & =& \frac{7\pi }{14}+ n·2\pi \\ 𝜑 & =& \frac{7\pi }{14}-\frac{16\pi }{14}+ n·2\pi \\ & =& -\frac{9\pi }{14}+n·2\pi \\ & =& \frac{19\pi }{14}+n·2\pi \end{array}$

der $n\in \mathrm{\mathbb{Z}}$. Det enklaste er då å velje $n=0$. Funksjonen $f$ som passar best til å beskrive besøksmønsteret blir

$f\left(x\right)=2 500\sin \left(\frac{2\pi }{7}x+\frac{19\pi }{14}\right)+22 500$

Vi kan finne $d$ og $A$ på tilsvarande måte som i den førre oppgåva.

$d=\frac{50 000+4 000}{2}=27 000$

$A=50 000-d=50 000-27 000=23 000$

Dersom vi lar $x$ stå for talet på år, betyr det at perioden $p=4$. Det betyr at

$k=\frac{2\pi }{p}=\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$

Vi kan seie at det skal vere lemenår når $x=0$. Det betyr at det skal vere eit toppunkt der. Dette gir

$k·0+𝜑=\frac{\pi }{2} \iff 𝜑=\frac{\pi }{2}$

Vi treng ikkje ta med "$+n·2\pi$" sidan vi er fornøgde med ein enkelt verdi for $𝜑$. Funksjonen for talet på lemen blir

$f\left(x\right)=23 000\sin \left(\frac{\pi }{2}x+\frac{\pi }{2}\right)+27 000$

Du kan bruke verktøyet "Tegne og måle", som ligg under hovudmenyen på Norgeskart, til å måle avstandar. Du kan finne høgder over havet ved å klikke direkte i kartet (gå ut av "Tegne og måle" først) og sjå øvst til venstre.

Vi vel å lage eit tverrsnitt frå Gol i Hallingdal til Koppang i Østerdalen. Dette måler vi til cirka 148 km. Denne avstanden skal svare til 3 periodar i sinusfunksjonen sidan Østerdalen er den tredje dalen etter Hallingdal (vi reknar ikkje med nokre mindre dalføre som òg blir passerte, slik som Gausdal og Imsdalen).

Dalbotnane i dei 4 dalane ligg mellom cirka 200 og 300 meter over havet. Då seier vi at den lågaste verdien til sinusfunksjonen skal vere 250. Tilsvarande måler vi at dei høgaste toppane langs linja ligg rundt 1 250 meter over havet.

Vi får derfor at

$d=\frac{1 250+250}{2}=750$

$A=1 250-d=1 250-750=500$

Vi lar $x$ stå for avstand frå Gol målt i km. Sidan det skal vere 3 periodar mellom Gol og Koppang, betyr det at

$3p=147 \iff p=49$

Dette gir vidare at

$k=\frac{2\pi }{p}=\frac{2\pi }{49}=0,128$

Til slutt må vi bestemme $𝜑$. Vi skal ha eit botnpunkt i Gol, det vil seie for $x=0$. Dette gir

$0,128·0+𝜑=\frac{3\pi }{2} \iff 𝜑=\frac{3\pi }{2}$

Funksjonen blir derfor

$f\left(x\right)=500\sin \left(0,128x+\frac{3\pi }{2}\right)+750$

Ein sinusfunksjon passar eigenleg ikkje så veldig godt. Til dømes er det nesten dobbelt så langt mellom Valdres og Gudbrandsdalen som mellom Valdres og Hallingdal.

Sidan temperaturen går opp og ned mellom sommar og vinter, kan vi gå ut frå at ein periodisk funksjon som ein sinusfunksjon passar godt.

La $x=1$ bety januar 2022.

Vi utvidar tabellen med ein kolonne for $x$.

Vi skriv tala inn i reknearkdelen i GeoGebra, markerer dei og vel regresjonsanalyseverktøyet. Vi vel vidare regresjonsmodellen "sin".

Resultatet blir

$f\left(x\right)=8,113\sin \left(0,52x-2,129\right)+5,061$

Funksjonen passar sånn nokolunde. Det kan sjå ut som at desember 2021 var veldig kald i Trondheim.

Perioden er

$p=\frac{2\pi }{k}=\frac{2\pi }{0,521}=12,1$

Perioden er 12,1 månader, altså omtrent eit år, som vi kunne forvente. Grunnen til at vi ikkje får nøyaktig 12 månader, kan komme av at temperaturane varierer ganske mykje innanfor ein månad. Dersom vi hadde hatt tal for ein tiårsperiode, ville nok perioden på den funksjonen vi hadde komme fram til, vore endå nærare 12.

Amplituden $A$ til sinusfunksjonen er 8,1 og sinusfunksjonen svingar rundt $d=5,1$.

Høgaste temperatur blir

$d+A=5,1°+8,1°=13,2°$

Lågaste temperatur blir

$d-A=5,1°-8,1°=-3,0°$

Sidan sinusfunksjonen svingar rundt likevektslinja, blir gjennomsnittstemperaturen igjennom året 5,1° etter modellen.

For å finne den årlege gjennomsnittstemperaturen direkte frå målingane lagar vi ei liste av målingane frå og med januar 2022 til og med desember 2022. Så bruker vi kommandoen gsnitt for å få gjennomsnittet av tala i lista.

Målingane gir årleg gjennomsnittstemperatur i Trondheim lik 5,2°, altså svært liten forskjell i forhold til kva modellen gir.

Vi bruker verktøyet eller kommandoen "Ekstremalpunkt" og får eit botnpunkt med koordinatane $\left(1.1,-3.1\right)$ og eit toppunkt med koordinatane $\left(7.1,13.2\right)$, sjå figuren.

$x=1,1$ betyr januar, mens $x=7,1$ betyr juli. Temperaturen er etter modellen lågast i januar og høgast i juli.

Vi ser at målingane tyder på at det er kaldast i desember og varmast i august, så det stemmer ikkje heilt med modellen. Det vil variere frå år til år kva månad som er kaldast, og kva som er varmast.

Vi skriv tala inn i reknearkdelen i GeoGebra, markerer tala, vel regresjonsanalyseverktøyet og regresjonsmodellen "Sin".

Modellen passar godt med målingane. Sinusfunksjonen som passar best med tala, er

$T\left(x\right)=21,3+6,0\sin \left(0.265x-2,67\right)$

1        # importerer nødvendige bibliotek
2from scipy.optimize import curve_fit
3import numpy as np
4import matplotlib.pyplot as plt
5        # lagar funksjonen som beskriv modellen
6def modell(x,A,k,fi,d):
7  return A*np.sin(k*x + fi) + d
8        # legg inn måledataa i lister
9x_verdiar = [0,1,4,7,9,10,12,13,15,17,20,22,24]
10y_verdiar = [19,17,15,17,19,21,25,26,27,26,24,22,18]
11        # bruker metoden curve_fit og legg resultata i to lister
12konstantar,kovarians = curve_fit(modell,x_verdiar,y_verdiar)
13        # hentar ut konstantane frå lista konstantar
14A, k, fi, d = konstantar
15
16        # lagar utskrift av funksjonen
17print(f"Funksjonen blir T(x) = {A:.2f}sin({k:.3f}x{fi:+.2f}){d:+.2f}")
18        # plottar data og modell som ein kontroll
19        # plottar data
20plt.plot(x_verdiar,y_verdiar,'.', label="Målingar") 
21        # plottar modell
22x_array = np.linspace(min(x_verdiar),max(x_verdiar),300)
23y_array = modell(x_array,A, k, fi, d)
24plt.plot(x_array,y_array,"brown", label="Modell")
25plt.grid(True)
26plt.xlabel("Tid (timar)")
27plt.ylabel("Temperatur (°C)")
28plt.legend(bbox_to_anchor=(0.9,0.2))
29        # endrar på skalaen på x-aksen til å passe betre med klokka
30plt.xticks(np.arange(min(x_verdiar), max(x_verdiar)+1, 3.0))
31plt.show()

Programmet gir funksjonen $T\left(x\right)=21,40+1,61\sin \left(0,815x+3,57\right)$. Dette er ikkje den same funksjonen som vi fekk med regresjon i GeoGebra. Biletet nedanfor viser den grafiske framstillinga som programmet lagar.

Modellen passar ikkje med målingane. Regresjonen feilar, rett og slett. Heldigvis finst eit triks eller hjelpemiddel vi kan bruke. Det ser vi på i neste oppgåve.

Temperaturen varierer mellom cirka 15 og 25 gradar. Det betyr at amplituden $A\approx 5$. Perioden $p$ er omtrent 24 timar. Då veit vi at $k\approx \frac{2\pi }{24}\approx \frac{6}{24}=0,25$. Vi prøver om det går bra å behalde startverdien $𝜑=1$. Likevektslinja må ligge i nærleiken av 20, så vi får $d\approx 20$.

Vi legg inn følgande kode i parameterslista til "curve_fit":

p0 = [5,0.25,1,20]

Då blir resultatet

$T\left(x\right)=21,3-6,0\sin \left(0,265x+0,47\right)$

Plottet programmet gir oss, viser at funksjonen passar godt.

Er dette den same funksjonen som vi fekk med GeoGebra? Med GeoGebra fekk vi

$T\left(x\right)=21,3+6,0\sin \left(0.265x-2,67\right)$

Vis at dei to funksjonane er like ved å bruke at

$A·\sin \left(ax+𝜑\right)=-A·\sin \left(ax+𝜑-\pi \right)$

Høgaste temperatur var

$d+A=21,3°+6,0°=27,3°$

Lågaste temperatur var

$d-A=21,3°-6,0°=15,3°$

Oppgåva spør etter perioden $p$. Tidsrommet i timar mellom høgaste temperatur denne dagen og dagen etter er

$p=\frac{2\pi }{k}=\frac{2\pi }{0,265}=23,7$

Vi veit ikkje noko om vêret dagen før eller dagen etter. Dersom vêret blir annleis med til dømes regn, vil modellen mest sannsynleg ikkje passe særleg godt lenger.

Ein annan ting er at perioden ikkje vart nøyaktig 24 timar. Det betyr at tidspunkta for den høgaste temperaturen kjem tidlegare og tidlegare for kvar dag som går. Slik kan det ikkje halde fram særleg lenge.

Gjennomsnittstemperaturen blir det same som verdien for $d$, altså 21,3°, sidan tidsrommet er éin periode.

Her må vi rekne ut eit integral. Vi vel å bruke CAS i GeoGebra.

Gjennomsnittstemperaturen i dette tidsrommet var 23,1°.

Du kan også prøve å finne dataa sjølv på Kartverkets side for tidvatn ved Mandal. Vel datoar frå 3. november 2022 til 4. november 2022, vel "Tabell" og "Hvert 10. minutt". Du må laste ned som ei tekstfil, importere tekstfila i Excel, passe på at tala kjem i kvar sin kolonne og eksportere reknearket som ei semikolonseparert csv-fil.

De øvste 15 linjene er informasjon om målingane. Tidspunkta står i første kolonne inkludert dato. I andre kolonne er måledataa vi er på jakt etter. Tredje kolonne inneheld det som var forventa nivå (desse tala skal vi ikkje bruke).

Først blir biblioteket "pandas" importert. Det blir brukt til innlesinga av datafila.

I linje 3 blir datafila lesen inn og lagra i dataramma data. Vi såg i oppgåve a) at det ikkje var overskrifter i csv-fila. Derfor skriv vi header = None. Vi ønsker ikkje å importere dei 15 første radene, så vi spesifiserer det med kodeordet skiprows og funksjonen range. Med kodeordet sep skriv vi at csv-fila er semikolonseparert. Kommandoen encoding = latin-1 gjer at vi kan ha til dømes skandinaviske bokstavar i datafila.

I linje 5 blir det laga nye kolonneoverskrifter til dataramma data.

I linje 6 blir dataramma skriven ut til skjermen.

Resultatet blir omtrent som nedanfor, der dei tre første målingane blir viste:

Det er vanskeleg å bruke måledataa for tid direkte slik dei er presenterte i datafila. Vi kan lage $x$-verdiane vi treng, ved å generere ein array med funksjonen "arange" eller "linspace". Sjå utskrifta av dataa for å finne ut kva $x$-verdiane er.

Det kan hende modellen passar svært dårleg med måledataa, at regresjonen rett og slett feilar. Årsaka til det kan vere at startverdiane regresjonsverktøyet bruker som utgangspunkt for dei fire konstantane, ligg eit stykke frå dei riktige verdiane. Dette er tilfelle i førre oppgåve om temperaturen på Lindesnes. Løys i tilfelle problemet på same måte ved å gi startverdiar for konstantane i funksjonen ved hjelp av kodeordet p0.

Regresjonen feilar her òg utan å spesifisere startverdiar for regresjonskonstantane med kodeordet p0. Det held å setje nye startverdiar for A og for k. Nedanfor finn du fullstendig kode.

1import pandas as pd
2import numpy as np
3from scipy.optimize import curve_fit
4import matplotlib.pyplot as plt
5
6        # lagar funksjonen som beskriv modellen
7def modell(x,A,k,fi,d):
8    return A*np.sin(k*x + fi) + d
9
10data = pd.read_csv("tidvatn.csv", header = None, skiprows = (range(0, 15)), \
11    sep =";", encoding = "latin-1")
12        # lagar overskrifter til kolonnane
13data.columns = ["Tid","Vasstand","Ikkje i bruk"]
14        # lagar liste med måleverdiane, som står i kolonnen med overskrift "Vasstand"
15vasstand = list(data.Vasstand)
16        # lagar array med x-verdiane (tidspunkta for målingane)
17tid = np.arange(0,48+1/6,1/6)
18
19        # bruker metoden curve_fit og legg resultata i to lister
20konstantar,kovarians = curve_fit(modell, tid, vasstand, p0 = [15,2*np.pi/12,1,1])
21        # hentar ut konstantane frå lista konstantar
22A, k, fi, d = konstantar
23
24        # lagar utskrift av funksjonsuttrykket til modellen
25print(f"Funksjonen blir f(x) = {A:.2f}sin({k:.3f}x{fi:+.2f}){d:+.2f}")
26        # lagar y-verdiar for modellen til plottinga av han
27modellverdiar = modell(tid,A,k,fi,d)    
28plt.plot(tid,vasstand,'.', label = "Målingar")       # plottar måledataa
29plt.plot(tid,modellverdiar, "brown", label = "Modell")       # plottar modellen
30plt.grid(True)
31plt.xlabel("Tid (timar)")
32plt.ylabel("Vasstand (cm)")
33plt.legend(bbox_to_anchor=(0.9,0.2))
34        # endrar på skalaen på x-aksen til å passe betre med klokka
35plt.xticks(np.arange(min(tid), max(tid)+1, 3.0))
36plt.show()

Programmet gir oss funksjonen

$f\left(x\right)=11,33\sin \left(0,546x+0,89\right)+76,5$

og plottet nedanfor.

Det finst ikkje ein sinusfunksjon som passar godt til målingane av tidvatnet sidan vasstanden berre delvis følger ei sinuskurve. Vi reknar ut perioden til modellen.

$p=\frac{2\pi }{k}=\frac{2\pi }{0,546}=11,5$

På teorisida har vi at tidsrommet mellom to høgvatn, altså perioden, er 12,4 h. Vi får derfor litt for liten periode. Elles kan vi seie at amplituden og faseforskyvinga passar nokolunde med tala for den 4. november, det vil seie det andre døgnet. Likevektslinja er det vanskeleg å seie noko om, men det ser ut som ho ligg på ein slags gjennomsnittsverdi.

Ein amplitude på 11,3 cm gir ein forskjell mellom høgvatn og lågvatn på 22,6 cm. Det er lite, sidan vi har frå teorisida at forskjellen for Mandal skal vere 35 cm.

Vi reknar ut $k$ først.

$k=\frac{2\pi }{p}=\frac{2\pi }{12,4}=0,507$

Koden kan sjå slik ut:

1import pandas as pd
2import numpy as np
3from scipy.optimize import curve_fit
4import matplotlib.pyplot as plt
5
6        # lagar funksjonen som beskriv modellen
7def modell(x,A,fi,d):
8    return A*np.sin(0.507*x + fi) + d
9
10data = pd.read_csv("tidvatn.csv", header = None, skiprows = (range(0, 15)), \
11    sep =";", encoding = "latin-1")
12        # lagar overskrifter til kolonnane
13data.columns = ["Tid","Vasstand","Ikkje i bruk"]
14        # lagar liste med måleverdiane, som står i kolonnen med overskrift "Vasstand"
15vasstand = list(data.Vasstand)
16        # lagar array med x-verdiane (tidspunkta for målingane)
17tid = np.arange(0,48+1/6,1/6)
18
19        # bruker metoden curve_fit og legg resultata i to lister
20konstantar,kovarians = curve_fit(modell, tid, vasstand, p0 = [15,1,1])
21        # hentar ut konstantane frå lista konstantar
22A, fi, d = konstantar
23
24        # lagar utskrift av funksjonsuttrykket til modellen
25print(f"Funksjonen blir f(x) = {A:.2f}sin(0.507x{fi:+.2f}){d:+.2f}")
26        # lagar y-verdiar for modellen til plottinga av han
27modellverdiar = modell(tid,A,fi,d)    
28plt.plot(tid,vasstand,'.', label = "Målingar")       # plottar måledataa
29plt.plot(tid,modellverdiar, "brown", label = "Modell 2")       # plottar modellen
30plt.grid(True)
31plt.xlabel("Tid (timar)")
32plt.ylabel("Vasstand (cm)")
33plt.legend(bbox_to_anchor=(0.9,0.2))
34        # endrar på skalaen på x-aksen til å passe betre med klokka
35plt.xticks(np.arange(min(tid), max(tid)+1, 3.0))
36plt.show()

Vi får funksjonen

$f\left(x\right)=9,82\sin \left(0,507x+1,88\right)+77,3$

Grafen til funksjonen har vi kalla "Modell 2" på figuren nedanfor.

Det vart ikkje veldig stor endring. Det kan sjå ut som ein periode på 12,4 timar er litt større enn tida mellom to høgvatn, iallfall for den andre dagen. Perioden til den første modellen passar litt betre enn denne. Den nye modellen fekk elles litt mindre amplitude enn den førre, noko som passar endå dårlegare med opplysningane om nivåforskjellen på tidvatn for Mandal.

Då får vi $e^{0·t}=e^0=1$, og funksjonen blir ein rein sinusfunksjon utan demping.

Vi må gjere ein regresjon med dataa for å bestemme konstanten $b$. Funksjonen for svingerørsla blir

$f\left(t\right)=A·e^{-bt}·\sin \left(kt+𝜑\right)+d$

Det er derfor 5 konstantar som må finnast:

$A, b, k, 𝜑$ og $d$

Vi vel å bruke Python og metoden curve_fit. For å rekne ut $e^x$ kan vi bruke numpyfunksjonen exp(x).

Forslag til programkode:

1import pandas as pd
2import numpy as np
3from scipy.optimize import curve_fit
4import matplotlib.pyplot as plt
5
6        # lagar funksjonen som beskriv modellen
7def modell(t,A,b,k,fi,d):
8    return A*np.exp(b*t)*np.sin(k*t + fi) + d
9
10data = pd.read_csv("sving.csv", skiprows = (0,1), sep =";", encoding = "latin-1")
11
12        # lagar liste med måleverdiane, som står i kolonnen med overskrift "Utslag"
13utslag = list(data.Utslag)
14        # lagar liste med t-verdiane, som står i kolonnen med overskrift "Tid"
15tid = np.array(list(data.Tid))
16
17        # bruker metoden curve_fit og legg resultata i to lister
18konstantar,kovarians = curve_fit(modell, tid, utslag)
19        # hentar ut konstantane frå lista konstantar
20A, b, k, fi, d = konstantar
21        # lagar y-verdiar for modellen til plottinga av han
22modellverdiar = modell(tid,A,b,k,fi,d) 
23
24        # lagar plott av modell og målingar
25plt.plot(tid,utslag,'.', label = "Målingar")       # plottar måledataa
26plt.plot(tid,modellverdiar, "brown", label = "Modell")       # plottar modellen
27plt.grid(True)
28plt.xlabel("Tid (s)")
29plt.ylabel("Utslag (cm)")
30        # skriv ut funksjonen med matematisk teiknsetting
31plt.suptitle(f"Modell: $f(x)={A:.2f}e^{{{b:.3f}t}}\sin({{{k:.3f}t{fi:+.2f}}}){d:+.2f}$") 
32plt.legend(bbox_to_anchor=(0.9,0.2))
33
34plt.show()

Koden gir utskrifta nedanfor.

Vi får at dempingskonstanten $b=-0,044$.

Kommentarar til koden:

• I dette tilfellet var det ikkje behov for å setje nye startverdiar for regresjonskonstantane med kodeordet p0.

• For å få finare utskrift av funksjonsuttrykket har vi lagt det inn som ein undertittel i plottet. Der kan vi få matematisk formatering med LaTeX ved å setje funksjonsuttrykket mellom dollarteikn ($). Sidan sløyfeparentesar blir brukte både av LaTeX for å gruppere ting og av Python til å markere at noko i ein tekststreng er ein variabel, må vi bruke doble sløyfeparentesar der LaTeX vil ha sløyfeparentes. Vi bruker som før enkel sløyfeparentes rundt variablar. Nokre stader blir det derfor tre sløyfeparentesar etter kvarandre.

• Koden \sin er Latex-kommandoen som gir "sin" som ikkje står i kursiv.

Vi prøvde å løyse likninga $f^{\text{'}}\left(x\right)=0$ med CAS, men det gjekk ikkje bra.

Vi studerer funksjonen. Det er faktoren $e^{-0.044t}$ i funksjonen som gir dempinga av utslaget. Vi kan bruke at utslaget blir halvert når denne faktoren er 0,5. Dette gir oss likninga

$e^{-0.044t}=0,5$

Vi får at svingingane er halverte etter cirka 16 sekund.

Vi kan sjå på sinusdelen av funksjonen for å svare på dette. Talet på heile svingingar blir kor mange heile periodar sinusdelen har i løpet av dei 16 sekunda.

Vi fekk at $k=1$. Det betyr at

$p=\frac{2\pi }{k}=\frac{2\pi }{1}=2\pi$

I løpet av 16 s blir talet på periodar 2,55, så det går berre 2–3 heile svingingar før utslaget er halvert.