Oppgåve

Avstand punkt–linje. Vektorfunksjonar

Her kan du øve på å finne avstandar mellom punkt og linjer og finne kvar linjer og kurver skjer dei tre koordinatplana. Nedst på sida kan du laste ned oppgåvene som Word- og pdf-dokument.

Oppgåve 1

Gå til teorisida om avstanden mellom eit punkt og ei linje og vis at linja i dømet i metode 2 er den same linja som i metode 1.

Løysing

Dei tre punkta i dømet i arealmetoden er $A (0, 7, 2)$ , $B (4, 0, 2)$ og $C (3, 5, 1)$ , og linja skal gå gjennom $B$ og $C$ . Vi lagar ei parameterframstilling for denne linja, som vi kallar $l_{B C}$ .

Ein retningsvektor for linja er

$\vec{B C} = [3 - 4, 5 - 0, 1 - 2] = [- 1, 5, - 1]$

Bruker vi $B$ som fast punkt til parameterframstillinga, får vi

$l_{B C} : \{\begin{cases} x = 4 - t \\ y = 5 t \\ z = 2 - t \end{cases}$

Dette er parameterframstillinga som er brukt i dømet i skalarproduktmetoden. Det er derfor den same linja som er brukt i dei to døma. Sidan det er det same punktet $A (0, 7, 2)$ vi skulle finne avstanden til, blir det den same avstanden vi kjem fram til i dei to døma.

Oppgåve 2

Vi har gitt punkta $A (- 3, 1, 0), B (1, 1, 3)$ og $C (1, - 1, 2)$ og skal finne avstanden frå $C$ til linja gjennom $A$ og $B$ .

a) Kva for ein av dei to metodane vi har kalla arealmetoden og skalarproduktmetoden, vil du velje å bruke?

Løysing

Sidan vi ikkje har gitt noka parameterframstilling for linja, kan det vere enklast å bruke arealmetoden.

b) Finn avstanden frå $C$ til linja gjennom $A$ og $B$ . Løys oppgåva utan hjelpemiddel først og så med hjelpemiddel.

Løysing

Utan hjelpemiddel:

Vi set

$\vec{a} = \vec{A B} = [1 - (- 3), 1 - 1, 3 - 0] = [4, 0, 3]$

$|\vec{a}| = \sqrt{4^{2} + 0^{2} + 3^{2}} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$

$\vec{b} = \vec{A C} = [1 - (- 3), 1 - 1, 3 - 0] = [4, - 2, 2]$

$\begin{array}{rcl} \begin{array}{l} \vec{a} \times \vec{b} \end{array} & = & [0 \cdot 2 - (- 2) \cdot 3, \\ 3 \cdot 4 - 2 \cdot 4, \\ 4 \cdot (- 2) - 4 \cdot 0] \\ = & \begin{array}{l} [6, 4, - 8] \end{array} \end{array}$

$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{6^{2} + 4^{2} + {(- 8)}^{2}} = \sqrt{36 + 16 + 64} = \sqrt{116} = 2 \sqrt{29}$

Vi får

$\begin{array}{rcl} h & = & \frac{|\vec{a} \times \vec{b}|}{|\vec{a}|} = \frac{2 \sqrt{29}}{5} = \frac{2}{5} \sqrt{29} \end{array}$

Avstanden frå $C$ til linja gjennom $A$ og $B$ er $\frac{2}{5} \sqrt{29}$ .

Med hjelpemiddel:

Skjermutklipp av CAS-feltet i GeoGebra. På linje 1 er A definert med koordinatane minus 3, 1 og 0. På linje 2 er B definert med koordinatane 1, 1 og 3. På linje 3 er C definert med koordinatane 1, minus 1 og 2. På linje 4 er det skrive h er lik Lengde parentes Vektorprodukt parentes Vektor parentes A komma B parentes slutt komma, Vektor parentes A komma C parentes slutt parentes slutt parentes slutt delt på Lengde parentes Vektor parentes A komma B parentes slutt parentes slutt. Svaret er h er lik 2 femdels rota av 29. Skjermutklipp.

Oppgåve 3

Løys alle deloppgåvene utan hjelpemiddel først og så med hjelpemiddel.

Vi har gitt punkta $A (2, 0, 0), B (0, 4, 0), C (0, 0, 6)$ og $D (1, - 2, 6)$ .

a) Finn avstanden frå $A$ til linja gjennom $C$ og $D$ .

Tips til oppgåva

Teikn hjelpefigur.

Løysing

Trekanten A C D. Høgda frå A ned til C D er markert. Linja C D er teikna som vektor med namnet a, og linja C A er teikna som vektor med namnet b. Illustrasjon.

Vi set

$\begin{array}{rcl} \vec{a} & = & \vec{C D} = [1 - 0, - 2 - 0, 6 - 6] = [1, - 2, 0] \\ |\vec{a}| & = & \sqrt{1^{2} + {(- 2)}^{2} + 0^{2}} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \\ \vec{b} & = & \vec{C A} = [2 - 0, 0 - 0, 0 - 6] = [2, 0, - 6] \\ \vec{a} \times \vec{b} & = & [- 2 \cdot (- 6) - 0 \cdot 0, 0 \cdot 2 - (- 6) \cdot 1, 1 \cdot 0 - 2 \cdot (- 2)] \\ = & [12, 6, 4] \\ |\vec{a} \times \vec{b}| & = & \sqrt{12^{2} + 6^{2} + 4^{2}} \\ = & \sqrt{144 + 36 + 16} \\ = & \sqrt{196} \\ = & 14 \end{array}$

Vi får

$\begin{array}{rcl} h & = & \frac{|\vec{a} \times \vec{b}|}{|\vec{a}|} = \frac{14}{\sqrt{5}} = \frac{14}{5} \sqrt{5} \end{array}$

Avstanden frå $A$ til linja gjennom $C$ og $D$ er $\frac{14}{5} \sqrt{5}$ .

Med hjelpemiddel:

Skjermutklipp frå CAS-vindauget i GeoGebra. På linje 1 er A definert med koordinatane 2, 0 og 0. På linje 2 er B definert med koordinatane 0, 4 og 0. På linje 3 er C definert med koordinatane 0, 0 og 6. På linje 4 er D definert med koordinatane 1, minus 2 og 6. På linje 5 er det skrive h kolon er lik Lengde parentes Vektorprodukt parentes Vektor parentes C komma D parentes slutt komma, Vektor parentes C komma A parentes slutt parentes slutt parentes slutt delt på Lengde parentes Vektor parentes C komma D parentes slutt parentes slutt. Svaret er h kolon er lik 14 delt på rota av 5. Skjermutklipp.

b) Finn avstanden frå $B$ til linja gjennom $C$ og $D$ . Kva kan du seie om firkanten $A B C D$ ut ifrå resultatet i a) og b)?

Løysing

Utan hjelpemiddel:

Vi set $\vec{a} = \vec{C D} = [1, - 2, 0]$ som i a).

$\vec{b} = \vec{C B} = [0 - 0, 4 - 0, 0 - 6] = [0, 4, - 6]$

$\begin{array}{rcl} \begin{array}{l} \vec{a} \times \vec{b} \end{array} & = & [- 2 \cdot (- 6) - 4 \cdot 0, \\ 0 \cdot 0 - (- 6) \cdot 1, \\ 1 \cdot 4 - 0 \cdot (- 2)] \\ = & \begin{array}{l} [12, 6, 4] \end{array} \end{array}$

Dette er det same resultatet for kryssproduktet som i oppgåve a). Avstanden frå $B$ til linja gjennom $C$ og $D$ er derfor den same som avstanden frå $A$ til linja gjennom $C$ og $D$ , det vil seie $\frac{14}{5} \sqrt{5}$ .

Linja gjennom $A$ og $B$ må derfor vere parallell med linja gjennom $C$ og $D$ . Firkanten $A B C D$ er derfor eit trapes.

Med hjelpemiddel:

Skjermutklipp frå CAS-vindauget i GeoGebra. På linje 6 er det skrive h er lik Lengde parentes Vektorprodukt parentes Vektor parentes C komma D parentes slutt komma, Vektor parentes C komma B parentes slutt parentes slutt parentes slutt delt på Lengde parentes Vektor parentes C komma D parentes slutt parentes slutt. Svaret er h er lik 14 delt på rota av 5. Skjermutklipp.

c) Vis ved å bruke vektorane $\vec{A B}$ og $\vec{C D}$ at $A B C D$ er eit trapes.

Løysing

Utan hjelpemiddel:

Dersom linja gjennom $A$ og $B$ er parallell med linja gjennom $C$ og $D$ , må vi ha at $\vec{A B} = k \cdot \vec{C D}$ .

$\begin{array}{rcl} \vec{A B} & = & [0 - 2, 4 - 0, 0 - 0] \\ = & [- 2, 4, 0] \\ = & - 2 [1, - 2, 0] \\ = & - 2 \vec{C D} \end{array}$

Dei to vektorane er dermed parallelle, og $A B C D$ er eit trapes.

Med hjelpemiddel:

Skjermutklipp frå CAS-vindauget i GeoGebra. På linje 7 er det skrive Vektor parentes A komma, B parentes slutt er lik k multiplisert med Vektor parentes C komma, D parentes slutt. Svaret med Løys er k er lik minus 2. Skjermutklipp.

Korleis veit vi eigentleg at vektorane er parallelle ut ifrå dette? Vi veit det sidan likninga har ei løysing. Dersom likninga ikkje har løysing, finst det ingen verdi for $k$ som gjer at $\vec{A B} = k \cdot \vec{C D}$ , og då kan ikkje vektorane vere parallelle.

Oppgåve 4

Løys oppgåvene utan hjelpemiddel først og så med hjelpemiddel.

Ei linje $m$ er gitt ved parameterframstillinga

$m : \{\begin{cases} x = - 4 + 2 t \\ y = 1 + t \\ z = - 2 - 2 t \end{cases}$

a) Finn avstanden frå punktet $A (- 3, 2, - 1)$ til $m$ .

Løysing

Utan hjelpemiddel:

Ein generell vektor mellom $A$ og eit vilkårleg punkt $P$ på $m$ er

$\begin{array}{rcl} \vec{A P} & = & [- 4 + 2 t - (- 3), 1 + t - 2, - 2 - 2 t - (- 1)] \\ = & [- 1 + 2 t, - 1 + t, - 1 - 2 t] \end{array}$

For at lengda av $\vec{A P}$ skal bli så kort som mogleg, skal $\vec{A P}$ stå vinkelrett på retningsvektoren til linja, som er ${\vec{v}}_{m} = [2, 1, - 2]$ .

$\begin{array}{rcl} \vec{A P} ⊥ {\vec{v}}_{l} \Leftrightarrow \vec{A P} \cdot {\vec{v}}_{l} & = & 0 \end{array}$

Dette gir vidare

$\begin{array}{rcl} [- 1 + 2 t, - 1 + t, - 1 - 2 t] \cdot [2, 1, - 2] & = & 0 \\ (- 1 + 2 t) \cdot 2 + (- 1 + t) \cdot 1 + (- 1 - 2 t) \cdot (- 2) & = & 0 \\ - 2 + 4 t - 1 + t + 2 + 4 t & = & 0 \\ 9 t & = & 1 \\ t & = & \frac{1}{9} \end{array}$

Vi set denne $t$ -verdien inn i uttrykket for $\vec{A P}$ .

$\begin{array}{rcl} \vec{A P} & = & [- 1 + 2 \cdot \frac{1}{9}, - 1 + \frac{1}{9}, - 1 - 2 \cdot \frac{1}{9}] = [- \frac{7}{9}, - \frac{8}{9}, - \frac{11}{9}] \\ |\vec{A P}| & = & \sqrt{{(- \frac{7}{9})}^{2} + {(- \frac{8}{9})}^{2} + {(- \frac{11}{9})}^{2}} \\ = & \sqrt{\frac{49}{81} + \frac{64}{81} + \frac{121}{81}} \\ = & \sqrt{\frac{234}{81}} \\ = & \sqrt{\frac{26}{9}} \\ = & \frac{\sqrt{26}}{3} \end{array}$

Avstanden frå punktet $A$ til linja $m$ er $\frac{\sqrt{26}}{3}$ .

Med hjelpemiddel:

Skjermutklipp frå CAS-vindauget i GeoGebra. På linje 1 er r av t definert med koordinatane minus 4 pluss 2 t, 1 pluss t og minus 2 minus 2 t. På linje 2 er A definert med koordinatane minus 3, 2 og minus 1. På linje 3 er A P av t definert som Vektor parentes A komma r parentes slutt. Svaret er A P av t kolon er lik parentes 2 t minus 1 komma, t minus 1 komma, minus 2 t minus 1 parentes slutt. På linje 4 er A P multiplisert med r derivert av t og sett lik 0. Svaret med Løys er t er lik 1 nidel. På linje 5 er det skrive Lengde parentes A P parentes HøgreSide parentes dollarteikn 4 komma, 1 parentes slutt parentes slutt parentes slutt. Svaret er 1 tredjedels rota av 26. Skjermutklipp.

I linje 4 set vi opp skalarproduktet mellom $\vec{A P}$ og retningsvektoren for $m$ , som vi finn ved å derivere r(t), og set det lik 0.

I linje 5 har vi brukt kommandoen "HøgreSide" for å hente inn $t$ -verdien. På denne måten får vi eit mest mogleg automatisk oppsett som er enkelt å bruke på nytt.

b) Finn avstanden frå origo til $m$ .

Løysing

Utan hjelpemiddel:

Ein generell vektor mellom origo og eit vilkårleg punkt $P$ på $m$ er det same som posisjonsvektoren til $P$ , og vi får

$\begin{array}{rcl} \vec{O P} & = & [- 4 + 2 t, 1 + t, - 2 - 2 t] \end{array}$

Vi krev at $\vec{O P} \cdot {\vec{v}}_{m} = 0$ er ${\vec{v}}_{m}$ er ein retningsvektor for $m$ . Dette gir

$\begin{array}{rcl} [- 4 + 2 t, 1 + t, - 2 - 2 t] \cdot [2, 1, - 2] & = & 0 \\ (- 4 + 2 t) \cdot 2 + (1 + t) \cdot 1 + (- 2 - 2 t) \cdot (- 2) & = & 0 \\ - 8 + 4 t + 1 + t + 4 + 4 t & = & 0 \\ 9 t & = & 3 \\ t & = & \frac{1}{3} \end{array}$

Då får vi

$\begin{array}{rcl} \vec{A P} & = & [- 4 + 2 \cdot \frac{1}{3}, 1 + \frac{1}{3}, - 2 - 2 \cdot \frac{1}{3}] = [- \frac{10}{3}, \frac{4}{3}, - \frac{8}{3}] \\ |\vec{A P}| & = & \sqrt{{(- \frac{10}{3})}^{2} + {(\frac{4}{3})}^{2} + {(- \frac{8}{3})}^{2}} \\ = & \sqrt{\frac{100}{9} + \frac{16}{9} + \frac{64}{9}} \\ = & \sqrt{\frac{180}{9}} \\ = & \sqrt{20} \\ = & 2 \sqrt{5} \end{array}$

Avstanden frå origo til linja $m$ er $2 \sqrt{5}$ .

Med hjelpemiddel:

Skjermutklipp frå CAS-vindauget i GeoGebra. På linje 1 er r av t definert med koordinatane minus 4 pluss 2 t, 1 pluss t og minus 2 minus 2 t. På linje 2 er O definert med koordinatane 0, 0 og 0. På linje 3 er O P av t definert som Vektor parentes O komma r parentes slutt. Svaret er O P av t kolon er lik parentes 2 t minus 4 komma, t pluss 1 komma, minus 2 t minus 2 parentes slutt. På linje 4 er O P multiplisert med r derivert av t og sett lik 0. Svaret med Løys er t er lik 1 tredjedel. På linje 5 er det skrive Lengde parentes O P parentes HøgreSide parentes dollarteikn 4 komma, 1 parentes slutt parentes slutt parentes slutt. Svaret er 2 rota av 5. Skjermutklipp.

Her har vi brukt CAS-oppsettet frå oppgåve a) på nytt. Sidan punktet er origo, treng vi strengt teke ikkje lage oss ein $\vec{O P}$ , men kan bruke $r (t)$ direkte i berekningane i linje 4 og 5.

c) Finn avstanden frå punktet $B (- 2, 2, - 4)$ til $m$ . Kva betyr resultatet?

Løysing

Utan hjelpemiddel:

$\begin{array}{rcl} \vec{B P} & = & [- 4 + 2 t - (- 2), 1 + t - 2, - 2 - 2 t - (- 4)] \\ = & [- 2 + 2 t, - 1 + t, 2 - 2 t] \end{array}$

Vi krev at $\vec{B P} \cdot {\vec{v}}_{m} = 0$ der ${\vec{v}}_{m}$ er ein retningsvektor for $m$ . Dette gir

$\begin{array}{rcl} [- 2 + 2 t, - 9 + t, - 2 - 2 t] \cdot [2, 1, - 2] & = & 0 \\ (- 2 + 2 t) \cdot 2 + (- 1 + t) \cdot 1 + (2 - 2 t) \cdot (- 2) & = & 0 \\ - 4 + 4 t - 1 + t - 4 + 4 t & = & 0 \\ 9 t & = & 9 \\ t & = & 1 \end{array}$

Då får vi

$\begin{array}{rcl} \vec{B P} & = & [- 2 + 2 \cdot 1, - 1 + 1, 2 - 2 \cdot 1] = [0, 0, 0] \end{array}$

Lengda av $\vec{0}$ er 0. Avstanden mellom $B$ og $m$ er 0, som må bety at $B$ ligg på linja $m$ .

Med hjelpemiddel:

Skjermutklipp frå CAS-vindauget i GeoGebra. På linje 1 er r av t definert med koordinatane minus 4 pluss 2 t, 1 pluss t og minus 2 minus 2 t. På linje 2 er B definert med koordinatane minus 2, 2 og minus 4. På linje 3 er B P av t definert som Vektor parentes B komma r parentes slutt. Svaret er B P av t kolon er lik parentes 2 t minus 2 komma, t minus 1 komma, minus 2 t pluss 2 parentes slutt. På linje 4 er B P multiplisert med r derivert av t og sett lik 0. Svaret med Løys er t er lik 1. På linje 5 er det skrive Lengde parentes B P parentes HøgreSide parentes dollarteikn 4 komma, 1 parentes slutt parentes slutt parentes slutt. Svaret er 0. Skjermutklipp.

d) Finn skjeringspunktet mellom linja $m$ og $x y$ -planet.

Løysing

Utan hjelpemiddel:

I $x y$ -planet er $z$ -koordinaten lik 0. Det betyr at

$\begin{array}{rcl} z & = & 0 \\ - 2 - 2 t & = & 0 \\ 2 t & = & - 2 \\ t & = & - 1 \end{array}$

Skjeringspunktet mellom linja $m$ og $x y$ -planet blir

$(- 4 + 2 \cdot (- 1), 1 + (- 1), 0) = (- 6, 0, 0)$

Det betyr at dette punktet òg er skjeringspunkt mellom linja og $x z$ -planet sidan $y$ -koordinaten òg er 0. Det betyr vidare at linja har skjeringspunktet $(- 6, 0, 0)$ med $x$ -aksen.

Med hjelpemiddel:

Skjermutklipp frå CAS-vindauget i GeoGebra. På linje 6 er det skrive z av r av t er lik 0. Svaret med Løys er t er lik minus 1. På linje 7 er det skrive r av minus 1. Svaret er koordinatane minus 6, 0 og 0. Skjermutklipp.

I linje 6 bruker vi kommandoen "z" for å plukke ut $z$ -koordinaten til r(t) og set han lik 0.

e) Finn skjeringspunktet mellom linja $m$ og $y z$ -planet.

Løysing

Utan hjelpemiddel:

I $y z$ -planet er $x$ -koordinaten lik 0. Det betyr at

$\begin{array}{rcl} x & = & 0 \\ - 4 + 2 t & = & 0 \\ 2 t & = & 4 \\ t & = & 2 \end{array}$

Skjeringspunktet mellom linja $m$ og $y z$ -planet blir

$(0, 1 + 2, - 2 - 2 \cdot 2) = (0, 3, - 6)$

Med hjelpemiddel:

Skjermutklipp frå CAS-vindauget i GeoGebra. På linje 8 er det skrive x av r av t er lik 0. Svaret med Løys er t er lik 2. På linje 9 er det skrive r av 2. Svaret er koordinatane 0, 3 og minus 6. Skjermutklipp.

Oppgåve 5

Løys oppgåva utan hjelpemiddel.

Vi har gitt den rette linja

$l : \{\begin{cases} x = 1 - 2 t \\ y = 4 + t \\ z = 2 \end{cases}$

a) Finn avstanden mellom linja og punktet $A (3, 3, 0)$ .

Løysing

Ein generell vektor mellom $A$ og eit vilkårleg punkt $P$ på $l$ er

$\begin{array}{rcl} \vec{A P} & = & [1 - 2 t - 3, 4 + t - 3, 2 - 0] \\ = & [- 2 - 2 t, t + 1, 2] \end{array}$

For at lengda av $\vec{A P}$ skal bli så kort som mogleg, skal $\vec{A P}$ stå vinkelrett på retningsvektoren til linja, som er ${\vec{v}}_{l} = [- 2, 1, 0]$ .

Vi krev at $\vec{A P} \cdot {\vec{v}}_{l} = 0$ . Dette gir

$\begin{array}{rcl} [- 2 - 2 t, t + 1, 2] \cdot [- 2, 1, 0] & = & 0 \\ (- 2 - 2 t) \cdot (- 2) + (t + 1) \cdot 1 + 2 \cdot 0 & = & 0 \\ 4 + 4 t + t + 1 & = & 0 \\ 5 t & = & - 5 \\ t & = & - 1 \end{array}$

Vi set denne $t$ -verdien inn i uttrykket for $\vec{A P}$ .

$\begin{array}{rcl} \vec{A P} & = & [- 2 - 2 t, t + 1, 2] \\ = & [- 2 - 2 \cdot (- 1), - 1 + 1, 2] \\ = & [0, 0, 2] \end{array}$

Sidan $\vec{A P}$ berre har éin koordinat som er forskjellig frå 0, får vi at $|\vec{A P}| = 2$ .

Avstanden frå punktet $A$ til linja $l$ er 2.

b) Finn skjeringspunktet mellom $l$ og $x z$ -planet dersom det eksisterer.

Løysing

I $x z$ -planet er $y = 0$ . Skjeringspunktet mellom linja og $x z$ -planet må derfor ha $y$ -koordinaten 0.

$\begin{array}{rcl} y & = & 0 \\ 4 + t & = & 0 \\ t & = & - 4 \end{array}$

Skjeringspunktet er

$(1 - 2 \cdot (- 4), 0, 2) = (9, 0, 2)$

c) Finn skjeringspunktet mellom $l$ og $x y$ -planet dersom det eksisterer.

Løysing

I $x y$ -planet er $z = 0$ . Sidan $z$ -koordinaten i parameterframstillinga til linja $l$ er konstant lik 2, har ikkje linja noko skjeringspunkt med $x y$ -planet.

d) Kva betyr det at $z$ -koordinaten i parameterframstillinga til $l$ ikkje inneheld parameteren $t$ ?

Forklaring

Når $z$ -koordinaten ikkje inneheld parameteren, vil avstanden frå $x y$ -planet vere konstant lik $z$ -koordinaten. Det betyr at linja er parallell med $x y$ -planet.

e) Vis ved å setje $t = - 1$ i parameterframstillinga for $l$ at avstanden frå punktet $A$ til linja $l$ er 2.

Løysing

Ved å setje $t = - 1$ får vi punktet

$(1 - 2 \cdot (- 1), 4 + (- 1), 2) = (3, 3, 2)$

$A$ har dei same koordinatane bortsett frå $z$ -koordinaten. Det betyr at avstanden mellom $A$ og punktet er lik forskjellen i $z$ -koordinat, det vil seie 2. Litt upresist kan vi seie at punktet $A$ ligg rett under punktet $(3, 2, 2)$ på linja.

Oppgåve 6

Vi har gitt den rette linja $l$ ved

$l : \{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 3 - t \\ z = s + 2 t \end{cases}$

Bestem $s$ slik at avstanden mellom punktet $A (1, 2, 0)$ og linja er 3. Løys oppgåva utan hjelpemiddel først, deretter med hjelpemiddel.

Løysing

Ein generell vektor mellom $A$ og eit vilkårleg punkt $P$ på $l$ er

$\begin{array}{rcl} \vec{A P} & = & [2 + t - 1, 3 - t - 2, s + 2 t - 0] \\ = & [t + 1, - t + 1, s + 2 t] \end{array}$

For at lengda av $\vec{A P}$ skal bli så kort som mogleg, skal $\vec{A P}$ stå vinkelrett på retningsvektoren til linja, som er ${\vec{v}}_{l} = [1, - 1, 2]$ .

Vi krev at $\vec{A P} \cdot {\vec{v}}_{l} = 0$ . Dette gir

$\begin{array}{rcl} \begin{array}{l} [t + 1, - t + 1, s + 2 t] \end{array} \cdot [1, - 1, 2] & = & 0 \\ (t + 1) \cdot 1 + (- t + 1) \cdot (- 1) + (s + 2 t) \cdot 2 & = & 0 \\ t + 1 + t - 1 + 2 s + 4 t & = & 0 \\ 6 t & = & - 2 s \\ s & = & - 3 t \end{array}$

Vi set denne $s$ -verdien inn i uttrykket for $\vec{A P}$ .

$\begin{array}{rcl} \vec{A P} & = & [t + 1, - t + 1, - 3 t + 2 t] \\ = & [t + 1, - t + 1, - t] \end{array}$

Lengda av denne vektoren skal vere lik 3. Det gir

$\begin{array}{rcl} |\vec{A P}| & = & 3 \\ |[t + 1, - t + 1, - t]| & = & 3 \\ \sqrt{{(t + 1)}^{2} + {(- t + 1)}^{2} + {(- t)}^{2}} & = & 3 \\ \sqrt{t^{2} + 2 t + 1 + t^{2} - 2 t + 1 + t^{2}} & = & 3 \\ \sqrt{3 t^{2} + 2} & = & 3 \\ 3 t^{2} + 2 & = & 9 \\ 3 t^{2} & = & 7 \\ t^{2} & = & \frac{7}{3} \\ t & = & \sqrt{\frac{7}{3}} \lor t = - \sqrt{\frac{7}{3}} \\ t & = & \sqrt{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3}} \lor t = - \sqrt{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3}} \\ t & = & \frac{1}{3} \sqrt{21} \lor t = - \frac{1}{3} \sqrt{21} \end{array}$

Vi får då

$\begin{array}{rcl} s & = & - 3 t \\ s & = & - 3 \cdot (- \frac{1}{3} \sqrt{21}) \lor s = - 3 \cdot \frac{1}{3} \sqrt{21} \\ s & = & \sqrt{21} \lor s = - \sqrt{21} \end{array}$

Løysing med CAS:

Skjermutklipp frå CAS-feltet i GeoGebra. På linje 1 er r av t definert med koordinatane 2 pluss t, 3 minus t og s pluss 2 t. På linje 2 er A definert med koordinatane 1, 2 og 0. På linje 3 er A P av t definert som Vektor parentes A komma r parentes slutt. Svaret er A P av t kolon er lik ein vektor med koordinatane t pluss 1, minus t pluss 1 og s pluss 2 t. På linje 4 er A P multiplisert med r derivert av t og sett lik 0. Svaret er 2 s pluss 6 t er lik 0. På linje 5 er absoluttverdien av A P sett lik 3. Svaret er rota av parentes s i andre pluss 6 t i andre pluss 4 s t pluss 2 parentes slutt er lik 3. På linje 6 er det skrive sløyfeparentes dollarteikn 4 komma, dollarteikn 5 sløyfeparentes slutt. Svaret med Løys er s er lik rota av 21 og t er lik minus ein tredjedels rota av 21 eller s er lik minus rota av 21 og t er lik ein tredjedels rota av 21. Skjermutklipp.

Nedlastbare filer

Her kan du laste ned oppgåvene som Word- og pdf-dokument.

Kurver og flater i rommet

Oppgåve 1

Oppgåve 2

Oppgåve 3

Oppgåve 4

Oppgåve 5

Oppgåve 6

Nedlastbare filer