Tredjegradsfunksjonar

Vi finn grafisk botnpunktet $\left(0.6, 2.2\right)$ og toppunktet $\left(3.4, 7.8\right)$ med kommandoen $$ \mathrm{Ekstremalpunkt}\left(\text{f}\right)$$ i GeoGebra.

Vi finn grafisk, med kommandoen $$ \mathrm{Nullpunkt}\left(\text{f}\right)$$ i GeoGebra, at det er eit nullpunkt i $\left(5, 0\right)$.

Skjering med andreaksen i $\left(0, 3\right)$ finn vi ved å skrive $$ (0,\mathrm{f(0))}$$.

Toppunktet er i $\left(0, 4\right)$.

Botnpunktet er i $\left(2, 3.2\right)$.

Grafen skjer førsteaksen i $\left(-2, 0\right)$.

Grafen skjer andreaksen i $\left(0, 4\right)$.

Vi bruker den same metoden som i oppgåve a) over.

Dersom $$ a$$ er negativ, kjem grafen frå pluss uendeleg og går mot minus uendeleg. Dersom $$ a$$ er positiv, blir det omvendt: Grafen kjem frå minus uendeleg og går mot pluss uendeleg.

$$ d $$er konstantleddet og flyttar heile grafen oppover og nedover i koordinatsystemet.

Her er det litt avhengig av $$ b$$, så her er det berre å teste ut!

Test ut!

Ekstremalpunkta finn vi i toppunktet $$ A\left(1.8, 0.3\right)$$ og i botnpunktet $$ B\left(7.6, -0.7\right)$$.

Den høgaste temperaturen har vi kl. 12. Vi les av grafen at temperaturen då er nesten $$ 2°\mathrm{C}$$ .

Vi har nullpunkt for $x=0$, $x=4$ og $x=10$.

$$ \begin{array}{rcl}d+h& = & 2,2\\ 2r\left(h\right)+h& =& 2,2\\ 2r\left(h\right)& =& 2,2-h\\ r\left(h\right)& =& \frac{2,2-h}{2}\end{array}$$

Volumet til ein sylinder er gitt ved $$ V=\pi r^2·h$$. Vi bruker uttrykket frå a) og får $$ V\left(h\right)=\mathrm{\pi }{\left(\frac{2,2-h}{2}\right)}^2·h=\frac{\mathrm{\pi }}{4}{\left(2,2-h\right)}^2·h$$.

Dette er ein tredjegradsfunksjon.

Dersom vi multipliserer ut parentesen, får vi eit andregradsuttrykk som multiplisert med $h$ gir eit tredjegradsuttrykk.

Vi teiknar grafen til $V\left(h\right)$ i GeoGebra ved å skrive

$$ \text{V}\left(\text{h}\right)=\mathrm{Funksjon}(\mathrm{pi}/4·(2.2-\text{h}{)}^2·\text{h}, 0, 2.2)$$

Vi les av punktet $\left(1, V\left(1\right)\right)$ på grafen ved å skrive inn $$ \left(1, \text{V}\left(1\right)\right)$$. Sjå punktet A på figuren nedanfor.

Volumet er 1,1 liter når høgda er 1,0 dm.

Vi teiknar linja $$ y=1 $$ og finn skjeringspunkta mellom linja og grafen med verktøyet "Skjering mellom to objekt". Sjå punkta B og C på figuren nedanfor.

Høgda kan vere 0,39 dm eller 1,15 dm for at volumet skal bli 1,0 liter.

Samanhengen mellom radius og høgd har vi frå oppgåve a):

$r\left(h\right)=\frac{2,2-h}{2}$

I løysinga med CAS i GeoGebra nedanfor har vi gått ut frå at funksjonen $$ V\left(h\right)$$ er skrive inn frå før slik som i oppgåve d).

$$ \boxed{\begin{array}{rcl}& & \text{r}\left(\text{h}\right):=\frac{2.2-\text{h}}{2}\\ \overline{)1}& & \\ & & \to \text{r}\left(\text{h}\right):=-\frac{1}{2}\text{h}+\frac{11}{10}\end{array}}$$

$$ \boxed{\begin{array}{rcl}& & \text{V}\left(\text{h}\right)=1\\ \overline{)2}& & \\ & & \text{NLøys: {h}=0.39, \text{h=1.15}}\end{array}}$$

$$ \boxed{\begin{array}{rcl}& & \text{r}\left(\mathrm{HøgreSide}\left(\$2, 1\right)\right)\\ \overline{)3}& & \\ & & \approx 0.91\end{array}}$$

$$ \boxed{\begin{array}{rcl}& & \text{r}\left(\mathrm{HøgreSide}\left(\$2, 2\right)\right)\\ \overline{)4}& & \\ & & \approx 0.53\end{array}}$$

I kommandoen "HøgreSide" betyr "$2" linje 2, og talet 1 betyr det første elementet, det vil seie det første svaret på linja. Alternativt kan vi på linje 3 skrive og få rekna ut $$ \text{r}(0.39)$$, og vi kan gjere tilsvarande i linje 4. Då kan svaret rett nok bli litt unøyaktig.

Radius i sylindrane er 0,91 dm eller 0,53 dm.