Tangens til ein vinkel

Gitt $△ABC$ og $△DBE$ som vist på figuren ovanfor. Trekantane er formlike fordi $\angle B$ er felles i begge trekantane og $\angle A=\angle D=90°$.

Vi har derfor at $\frac{AC}{DE}=\frac{AB}{DB}$.

Vi multipliserer med DE og dividerer med AB på begge sider av likskapsteiknet.

$\begin{array}{rcl}\frac{AC}{DE}& = & \frac{AB}{DB}\\ & & \\ \frac{AC· DE}{DE·AB}& =& \frac{AB·DE}{DB·AB}\\ & & \\ \frac{AC· \cancel{DE}}{\cancel{DE}·AB}& =& \frac{\cancel{AB}·DE}{DB·\cancel{AB}}\\ & & \\ \mathrm{Stor} \mathrm{trekant} \to \overline{)\frac{AC}{AB}}& =& \overline{)\frac{DE}{DB}}\leftarrow \mathrm{Liten} \mathrm{trekant}\end{array}$

Forholdet mellom motståande katet til $\angle B$ og hosliggjande katet til $\angle B$ er det same uansett kva for trekant vi bruker.

Vi kan lage fleire trekantar ved å teikne inn parallelle linjer til AC og DE. På grunn av formlikskap vil då alltid forholdet mellom motståande katet og hosliggjande katet vere det same. Dette forholdet er altså konstant.

Prøv sjølv!

I det interaktive GeoGebra-arket nedanfor kan du utforske forholdet mellom sidene i to formlike trekantar av typen over. Dra i glidebrytaren for å endre lengda på sida BD og sjå kva som skjer.

Vi får at forholdet mellom motståande katet DE og hosliggjande katet BD til $\angle B$ er konstant, uansett kva lengd vi vel på den hosliggjande kateten BD. Dette konstante forholdet gjeld så lenge $\angle B$ blir halde fast, og derfor har dette forholdstallet eit namn. Vi kallar det tangensverdien til $\angle B$, eller berre tangens til $\angle B$. I trekantane ABC og DBE er tangens til $\angle B$ lik 0,6. Vi skriv at

$\tan B=0.6$

Tangens til ein vinkel

I ein rettvinkla trekant med ein spiss vinkel $v$ er

$\tan v=\frac{\mathrm{motstående} \mathrm{katet}}{\mathrm{hosliggende} \mathrm{katet}}=\frac{b}{c}$

I det interaktive GeoGebra-arket over hadde vi at$\tan B=0.6$. Kor stor er $\angle B$ då? Dersom vi endrar på $\angle B$, vil også $\tan B$ endre verdi. Korleis kan vi finne slike tangensverdiar?

Oppgåve

• Bruk papir, blyant og gradskive, eller bruk GeoGebra, og teikn ein vinkel $v=15°$. Dette skal bli $\angle B$ i den rettvinkla trekanten ABC slik som på figurane over.
• Opprett ein normal på det venstre vinkelbeinet til vinkel v. Fotpunktet til normalen svarar til punktet A i den rettvinkla trekanten ABC.
• Forleng om nødvendig linjene slik at du finn punktet C i trekanten.
• Mål og rekn ut forholdet $\frac{BC}{AB}$.
• Lag gjerne fleire trekantar der du varierer plasseringa av punktet A.

Får du at dette forholdet er 0,27? Du har i så fall funne at$\tan 15°\approx 0,27$.

Vi kan finne tangensverdiane til alle vinklar på denne måten. Men vi treng ikkje gjere det, for andre har gjort det før oss. I gamle dagar brukte ein å slå opp tangensverdiar i tabellar. I dag bruker vi kalkulator eller GeoGebra.

Prøv sjølv!

Nedanfor kan du endre på $\angle B$ og få rekna ut tangensverdien til vinkelen.

Oppgåver

Bruk den interaktive figuren over og finn$\tan 15°, \tan 30°$og $\tan 45°$.

Bruk den interaktive figuren over og finn ut kva vinkel som har tangensverdi lik 0,6, som vi hadde i den første interaktive figuren lenger opp på sida.

GeoGebra

Med CAS i GeoGebra finn vi tangens til 15 grader ved å skrive "$\tan (15°)$". Vi må bruke parentesar og gradeteikn. (Gradeteiknet får vi med hurtigtast "Alt + O".)

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & \tan \left(15°\right)\\ \overline{)1}& & \\ & & \approx 0.268\end{array}}$

For å gå motsett veg, må vi skrive "$\text{atand}(0.268)$". Alternativt kan vi løyse likninga$\tan B=0.268$.

$$\begin{gathered} \boxed{\begin{array}{rcl}& & \mathrm{atand}\left(0.268\right)\\ \overline{)2}& & \\ & & \approx 15.003\end{array}} \\ \boxed{\begin{array}{rcl}& & \tan \left(\mathrm{B}°\right)=0.268\\ \overline{)2}& & \\ & & \mathrm{NLøys}: \{\mathrm{B}=15.003\}\end{array}} \end{gathered}$$

Vi må hugse å skrive inn gradsymbolet saman med B viss vi skal bruke varianten med likningsløysing.

Kva kan vi så bruke tangens til? Vi skal gi nokre eksempel.

Thales frå Milet (600 f. Kr) fann høgda til Keopspyramiden ved å bruke «skuggematematikk» (formlike trekantar).

På figuren ovanfor er pyramiden teikna som ein trekant. AB er skuggen av pyramiden målt frå midt under han. DE er skuggen av ein 2 meter høg stokk DF. BC og EF er parallelle sidan solstrålene er parallelle.

Thales fann høgda slik

$\begin{array}{rcl}\frac{AC}{2,0}& =& \frac{190}{2,6}\\ & & \\ AC& = & 73,08·2,0\\ & & \\ AC& \approx & 146\end{array}$

Pyramiden er omlag 146 meter høg.

Ved å bruke det vi no har lært om tangens, kan vi finne høgda til pyramiden utan å bruke trekanten DEF. Vi kan med ein vinkelmålar, gradskive eller litt meir avansert utstyr måle at $\angle B$ = 37,6°.

Høgda AC til pyramiden blir motståande katet til vinkel B. Avstanden AB langs bakken blir hosliggjande katet.

Vi kan då setje opp ei likning med tangens og løyse ho med GeoGebra.

$\tan B=\frac{AC}{AB}$

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & \tan \left(37.6°\right)=\frac{\mathrm{AC}}{190}\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøys}: \{\mathrm{AC}=146.32\}\end{array}}$

Vi ønsker å berekne avstanden frå badestranda Sjøsanden i Mandal og ut til Hatholmen.

Løysing

Vi lagar ei 100 meter lang linje langs strandkanten. Dette er sida AC på figuren. Linja står vinkelrett på siktelinja til Hatholmen frå punktet A. (Korleis gjer vi det?) Ved hjelp av ein vinkelmålar måler vi at $\angle C=87°$.

Motståande katet til vinkel C er avstanden AB ut til Hatholmen. Hosliggjande katet er AC. Vi bruker definisjonen på tangens til vinkel C og kan då setje opp og løyse likninga

$\tan C=\frac{AB}{AC}$

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & \tan \left(87°\right)=\frac{\mathrm{x}}{100}\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøys}: \{\mathrm{x}=1908\}\end{array}}$

Det er omlag 1 900 m ut til Hatholmen.

Ved hjelp av betre instrument til å måle vinklar kan vi få større nøyaktigheit. Sjekk kva for utslag det gir om vinkelen hadde vore ein halv grad større.

Vi har no ein generell metode for å finne avstandar ut til ut til øyer, over elver og så vidare ved å måle vinklar og avstandar langs bakken der vi er.

Du sit i ein båt utanfor Lindesnes fyr og lurer på kor langt det er inn til land. Du veit at toppen av fyrlykta er 40 meter over havflata. Du tar fram gradskiva og måler at siktevinkelen til toppen av fyrlykta er 5 grader, som vist på teikninga. Finn ut kor langt det er inn til land.

Løysing

Motståande katet til den målte vinkelen blir høgda til toppen av fyrlykta. Hosliggjande katet blir omtrent lik avstanden inn til fyrlykta, dvs. inn til land. Vi har kalla denne avstanden for x.

Vi bruker definisjonen på tangens og set opp og løyser likninga

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & \tan \left(5°\right)=\frac{40}{\mathrm{x}}\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøys}: \{\mathrm{x}=457\}\end{array}}$

Det er omlag 460 m inn til land.

Vi har då ein generell metode for å finne avstandar til stader der vi har objekt vi kjenner høgda eller breidda til. Dette kan for eksempel vere nyttig i orientering i skog og mark.

Her ser vi på ein metode for å finne ukjende vinklar.

Ein snikkar treng å vite takvinkelen v. Sjå figur.

Motståande katet til takvinkelen v blir høgda på 3,3 m oppunder mønet. Hosliggjande katet blir avstanden på 5,0 m frå ytterkanten på loftet inn til midten.

Vi bruker definisjonen på tangens og set opp og løyser likninga (hugs gradeteiknet ved løysing i GeoGebra)

$\tan v=\frac{3,3}{5,0}$

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & \tan \left(\mathrm{v}°\right)=\frac{3.3}{5.0}\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøys}: \{\mathrm{v}=33.4\}\end{array}}$

Takvinkelen er 33,4°.