Skjeringspunkt og nullpunkt

I skjeringspunktet mellom grafane til to funksjonar har begge funksjonane den same verdien for x og den same verdien for y. Skal vi finne skjeringspunktet ved rekning, set vi derfor funksjonsuttrykka like kvarandre og løyser likninga vi då får.

Døme

Funksjonane f og g er gitt ved $f\left(x\right)=2x-1$ og $g\left(x\right)=-x+2$.

Finn skjeringspunktet mellom dei to linjene grafisk og ved rekning.

Grafisk løysing

Vi teiknar dei to linjene i eit koordinatsystem, les av og finn at linjene skjer kvarandre i punktet $\left(1, 1\right)$.

I GeoGebra kan du bruke kommandoen Skjering(f,g) (dersom funksjonane har namna f og g), eller verktøyet "Skjering mellom to objekt", som du finn under den andre verktøyknappen frå venstre på knapperada øvst.

Ved rekning

Vi set funksjonsuttrykka lik kvarandre og løyser likninga.

$$ \begin{array}{rcl} f\left(x\right)& = & g\left(x\right)\\ 2x-1& =& -x+2\\ 3x& =& 3\\ x& =& 1\end{array}$$

Vi kan så setje $x=1$ inn i eit av funksjonsuttrykka (same kva for eit), for å finne y.

Vi vel å rekne ut $f\left(1\right)=2·1-1=1$.

Skjeringspunktet er $\left(1, 1\right)$. Likninga kan òg løysast med CAS.

Eit nullpunkt til ein funksjon er ein x-verdi som gir funksjonsverdien null.

Definisjon

Døme

Gitt funksjonen $f\left(x\right)=2x-1$.

$$ \begin{array}{rcl}f\left(x\right)& =& 0\\ 2x-1& =& 0\\ x& =& \frac{1}{2}\end{array}$$

Nullpunktet til f er $x=\frac{1}{2}$.

Gitt funksjonen $g\left(x\right)=-x+2$.

$$ \begin{array}{rcl}g\left(x\right)& =& 0\\ -x+2& =& 0\\ -x& =& -2\\ x& =& 2\end{array} $$

Nullpunktet til g er $x=2$.

I GeoGebra finn du nullpunkt enklast med verktøyet "Nullpunkt", som ligg på same stad som verktøyet "Skjering mellom to objekt" på knapperada øvst. Du kan òg skrive kommandoen Nullpunkt(f) for å finne nullpunktet til f.

For nokre typer funksjonar verkar ikkje kommandoen eller verktøyet "Nullpunkt". Då kan du prøve kommandoen NullpunktIntervall(Funksjon, Start, Slutt). Her er "Start" og "Slutt" grensene for det intervallet der vi trur nullpunktet eller nullpunkta er.