Likninga til ei rett linje - Matematikk 1T - NDLA

Fagartikkel

Likninga til ei rett linje

Vi kan bestemme likninga til ei rett linje, eller funksjonsuttrykket til ein lineær funksjon, på fleire måtar.

Ved å lese av grafen

I eit koordinatsystem der x-aksen går frå minus 2 til 4 og y-aksen går frå minus 3 til 6 er det teikna ei rett linje. Linja går gjennom punktet med koordinatane 0 og minus 1, punktet med koordinatane 1 og 1, punktet med koordinatane 2 og 3 og punktet med koordinatane 3 og 5. Det er teikna ei pil frå det første punktet med koordinatane 0 og minus 1 til punktet med koordinatane minus 1 og minus 1. Pila har tilhøyrande tekst 1 til høgre. Frå punktet med koordinatane minus 1 og minus 1 er det teikna ei pil til punktet med koordinatane 1 og 1 på linja. Pila har tilhøyrande tekst 2 opp. Det er teikna ei pil frå punktet med koordinatane 2 og 3 til punktet med koordinatane 3 og 3. Pila har tilhøyrande tekst 1 til høgre. Frå punktet med koordinatane 3 og 3 er det teikna ei pil til punktet med koordinatane 3 og 5 på linja. Pila har tilhøyrande tekst 2 opp. Illustrasjon.

I koordinatsystemet har vi teikna grafen til ein lineær funksjon. Grafen skjer y-aksen i punktet $(0, - 1)$ . Det betyr at konstantleddet $b = - 1$ . (Hugs at du alltid finn konstantleddet ved å sjå kvar grafen skjer y-aksen.) Når vi går ei eining til høgre frå $(0, - 1)$ , må vi gå to einingar opp på y-aksen for å treffe grafen. Det betyr at stigningstalet $a = 2$ . Funksjonsuttrykket blir derfor $f (x) = 2 x - 1$ .

Legg merke til at vi like gjerne kan ta utgangspunkt i eit anna punkt på grafen for å finne stigningstalet. Vi ser av grafen at vi får det same resultatet om vi tek utgangspunkt i punktet (2, 3).

Ved rekning med det generelle uttrykket for ei rett linje

Vi ser på eit døme der vi skal finne funksjonsuttrykket til ei linje som går gjennom punktet (2, 3) og har stigningstal lik 3. Vi har at det generelle uttrykket for ei rett linje er $y = a x + b$ . Vi set inn stigningstalet og veit at likninga skal sjå slik ut:

$y = 3 x + b$

Vi kan no setje punktet (2, 3) inn for x og y:

$\begin{array}{rcl} 3 & = & 3 \cdot 2 + b \\ 3 & = & 6 + b \\ b & = & - 3 \end{array}$

Vi har no funne konstantleddet og har fått dette funksjonsuttrykket:

$f (x) = 3 x - 3$

Ved hjelp av eittpunktsformelen

I eit koordinatsystem utan einingar på aksane er det teikna ei rett linje. Linja går gjennom punktet med koordinatane x 1 og y 1 og punktet med koordinatane x og y. Det er teikna ei vassrett pil mot høgre frå det første punktet med koordinatane x 1 og y 1 til punktet med koordinatane x og y 1. Pila har tilhøyrande tekst delta x er lik x minus x 1. Frå punktet med koordinatane x og y 1 er det teikna ei loddrett pil til punktet med koordinatane x og y på linja. Pila har tilhøyrande tekst delta y er lik y minus y 1. Illustrasjon.

Vi kan gå rett på å finne likninga for ei rett linje ved hjelp av det vi kallar eittpunktsformelen.

Vi går ut frå at vi kjenner eitt punkt på ei rett linje, og i tillegg kjenner vi stigningstalet til linja. Vi kallar det kjente punktet for $(x_{1}, y_{1})$ og det kjente stigningstalet a.

Vi ønsker å finne likninga for linja.

La $(x, y)$ vere eit vilkårleg punkt på linja. Då er stigningstalet

$\begin{array}{rcl} a & = & \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{y - y_{1}}{x - x_{1}} \end{array}$

Vi multipliserer med nemnaren $(x - x_{1})$ på begge sider av likskapsteiknet og får

$a (x - x_{1}) = y - y_{1}$

Dette kan vi snu på og får då

$y - y_{1} = a (x - x_{1})$

Denne formelen kallar vi eittpunktsformelen for den rette linja.

Døme

Vi kan bruke denne formelen til å finne funksjonsuttrykket til ei linje som går gjennom punkta (2, 4) og (4, 8).

Vi treng å kjenne stigningstalet til linja for å bruke eittpunktsformelen, så vi reknar ut det først:

$\begin{array}{rcl} a & = & \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{8 - 4}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2 \end{array}$

No vel vi eitt av punkta vi har fått gitt. Vi vel (2, 4) og set det inn i eittpunktsformelen saman med stigningstalet:

$\begin{array}{rcl} y - y_{1} & = & a (x - x_{1}) \\ y - 4 & = & 2 (x - 2) \\ y & = & 2 x - 4 + 4 \\ y & = & 2 x \end{array}$

Funksjonsuttrykket for linja som går gjennom punkta (2, 4) og (4, 8), er altså $f (x) = 2 x$ .

Videoar om å finne funksjonsuttrykket til ein lineær funksjon

Ut frå grafen

Video: Olav Kristensen / CC BY-NC-SA 4.0

Ved hjelp av generell formel for linja

Video: Olav Kristensen / CC BY-SA 4.0

Ved eittpunktsformelen

Video: Olav Kristensen / CC BY-NC-SA 4.0