Andre typar modellar og mønster

Vi har talrekkja  $$ 3+7+11+15 + ...$$

a) Kva mønster følgjer denne talrekkja? Kva blir dei to neste ledda?

b) Vis at ledd nummer $n$ i talrekkja er gitt ved formelen  $a_n=4n-1$.

Vi har talrekkja  $$ 2+4+8+16 + ...$$

a) Kva mønster følgjer denne talrekkja? Kva blir dei to neste ledda?

b) Vis at ledd nummer $n$ i talrekkja er gitt ved formelen  $a_n=2^n$.

Rektangeltala kan framstillast slik figuren viser.

Vi kallar det første rektangeltalet  $R_1=2$, det neste rektangeltalet kallar vi  $R_2=6$, det tredje rektangeltalet kallar vi  $R_3=12$  og så vidare.

a) Forklar kva vi gjer for å kome frå ein figur til den neste. Kva er mønsteret i det vi gjer?

b) Forklar at det fjerde rektangeltalet inneheld 20 prikkar.

c) Gitt tabellen nedanfor.

Plott punkta i eit koordinatsystem, og finn ein matematisk modell som beskriv talet på prikkar i rektangeltala. La $x$ vere nummeret på rektangeltalet, og la $P\left(x\right)$ vere talet på prikkar i talet.

Løysing

Vi skriv tala inn i reknearkdelen i GeoGebra og bruker regresjonsverktøyet. Ved å prøve med ulike regresjonstypar får vi at andregradsfunksjonen

$$ P\left(x\right)=x^2+x$$

passar heilt perfekt med verdiane i tabellen.

Vinkelsummen i ein trekant er 180°, i ein firkant er vinkelsummen 360°, og i ein femkant er vinkelsummen 540°.

a) Lag ein formel som viser vinkelsummen i ein mangekant med n sider.

I ein regulær mangekant er vinklane like store. Til dømes er vinklane i ein regulær trekant 60°, i ein regulær firkant er vinklane 90°, og i ein regulær femkant er vinklane 108°.

b) Finn eit uttrykk som viser vinkelen i ein regulær femkant og ein regulær sjukant. Kan du tenkje deg kva som kan vere ein formel for vinkelen i ein regulær $n$-kant?

Løysing

Vi kallar vinkelen i ein regulær femkant for $$ v$$. Ein regulær femkant består av 5 heilt like (kongruente) likebeinte trekantar. I kvar trekant er  $$ u+u+w=2u+w=180°$$. Er du einig i at  $$ v=2u$$? Då kan vi skrive

$$ \begin{array}{rcl}v+w & =& 180°\\ v & =& 180°-w\end{array}$$

Dersom vi ser på sentrum i femkanten, har vi òg at  $$ 5w=360°$$. Dette gir

$$ w=\frac{360°}{5}$$

Set vi dette inn i likninga over, får vi at

$$ v=180°-\frac{360°}{5}$$

Vi kan rekne ut svaret til 108°, men her er poenget å kome fram til ein formel.

Dersom vi gjer det same som over med ein regulær sjukant, får vi at

$$ v=180°-\frac{360°}{7}$$

Vi får derfor at vinkelen $$ v$$ i ein regulær $$ n$$-kant blir

$$ v=180°-\frac{360°}{n}$$

Samanhengen mellom temperatur målt i fahrenheit, $$ F$$, og celsius, $$ C$$, er gitt ved formelen

$F=1,8C+32$

a) Kor mange grader fahrenheit har vi når vi har 0 grader celsius?

b) Løys formelen med omsyn på $$ C$$.

c) Kor mange grader celsius har vi når temperaturen er 65 grader fahrenheit?

Skriv opp alle oddetala til og med 29. Det første talet er 1. Kva er summen av dei to neste oddetala? Kva er summen av dei tre neste? Hald fram etter det same mønsteret. Ser du noko mønster i summane du får?

$\underset{1}{\underbrace{1}} \underset{8}{\underbrace{3 5}} \underset{?}{\underbrace{7 9 11}} 13 ...$

Gatebiletet i sentrum av Kristiansand, kvadraturen, er regelmessig bygd opp med rette gater der gater som kryssar kvarandre dannar vinklar på omtrent 90 grader. "Kvartala", områda avgrensa av gater, har tilnærma form av rektangel.

Vi tenkjer oss no byen endå meir regelmessig slik at alle "kvartala" har ei kvadratisk grunnflate.

Tenk deg at du skal gå frå gatehjørne A til gatehjørne B.

a) Kor mange ulike "kortaste vegar" er det mellom A og B?

Løysing

Vi teiknar opp alle moglegheiter og finn av figuren nedanfor at det er 10 ulike "kortaste vegar".

Det er seks "kvartal" (grøne kvadrat) i rektangelet som blir danna av gatehjørna A og B, som er start- og sluttpunkta for turen.

b) Er det andre moglegheiter for forma til rektangelet som blir danna av gatehjørna A og B når det skal innehalde seks "kvartal"? Kor mange "kortaste vegar" får vi då? Lag teikningar som viser desse vegane.

Løysing

Vi kan setje saman kvadrata etter kvarandre. Det blir no 7 "kortaste vegar".

c) Prøv å finne talet på "kortaste vegar" når talet på "kvartal" som blir omgitte av gatehjørna A og B varierer frå 1 til 9. Skriv svara i ein tabell som den nedanfor, der vi har fylt ut svaret for 6 kvartal ut ifrå oppgåve a) til c). Finn du noko mønster i oppdagingane dine?

d) Kan du seie noko om samanhengen mellom talet på kvartal som blir omgitte og forma på dei omgivande kvartala?

e) Det viser seg at tala i Pascals taltrekant fortel kor mange "kortaste vegar" som leier frå toppen og fram til eit kryssingspunkt i taltrekanten. Studer taltrekanten nedanfor, og sjå at dette stemmer med resultata dine.

f) Utvid Pascals taltrekant (eller finn ein variant som er stor nok på internett), og finn ut kor mange former 12 kvartal kan danne, og kor mange ulike "kortaste vegar" dei enkelte har.

g) Utvid Pascals taltrekant, og finn ut kor mange former 24 kvartal kan danne, og kor mange ulike "kortaste vegar" dei enkelte har.

Nedanfor ser du fire figurar som består av prikkar. I figur 1 er det 1 prikk. I figur 2 er det 3 prikkar. I figur 3 er det 6 prikkar, og i figur 4 er det 10 prikkar.

a) Kva slags geometriske former har desse figurane?

b) Kan du halde fram og lage figur 5, 6, 7 og 8 etter det same mønsteret?

Talet på prikkar i figurane kallar vi for trekanttal. Vi skriv  $t_1=1, t_2=3, t_3=6$  og så vidare.

c) Kan du forklare kvifor vi kan skrive

$$ \begin{array}{rcl}{t}_1 & =& 1\\ t_2 & =& 1+2=3\\ t_3 & =& 1+2+3=6\\ t_4 & =& 1+2+3+4=10 \end{array}$$

og generelt

$$ t_n=1+2+3+ ... +n$$ ?

d) Fyll ut tabellen. Finn du igjen nokon av talkolonnane i Pascals taltrekant? Kva slags tal får du i kolonnen til høgre?

e) Kan du finne ein formel eller ein matematisk modell for talet på prikkar i figur nummer $$ n$$?

Løysing

Dersom vi set to like figurar oppå kvarandre slik som biletet viser, får vi eit rektangel der breidda er lik figurnummeret (her: 4), og høgda er éin større enn figurnummeret. Då har vi altså dobbelt så mange prikkar som figurtalet, så vi kan rekne ut talet på prikkar i figurtal nummer 4 (og dermed trekanttal nummer 4) som

$$ t_4=\frac{5·4}{2}\left(=10\right)$$

Mengda prikkar i figurtal nummer $$ n$$, og dermed formelen for trekanttal nummer $$ n$$, blir

$$ t_n=\frac{\left(n+1\right)·n}{2}$$

f) Set saman to nabofigurar. Kva slags figur får du? Ser du nokon samanheng med den høgre kolonnen du fekk i oppgåve d)?

Løysing

Til dømes dannar figurane 5 og 4 eit kvadrat. Summen av alle para av nabofigurar dannar alltid eit kvadrat. Derfor får vi òg kvadrattala i kolonnen til høgre i oppgåve d).

g) Bruk formelen for trekanttala, og vis at når du legg saman to nabotrekanttal, får du alltid eit kvadrattal. (Dette er ei 1T-oppgåve.)

Tenk deg at ein av forfedrane dine i år 1900 sette inn 100 kroner i banken. Han fekk ein avtale med banksjefen om ei garantert årleg rente på 10 prosent. Forfaren din døydde, og no viser det seg at du er den heldige arvingen til bankkontoen.

a) Lag ein matematisk modell for korleis pengane har vakse i banken når vi går ut frå at renta heile tida er 10 prosent. La $$ x$$ stå for talet på år etter 1900.

b) Vis eit grafisk bilete av modellen. Kva er beløpet på kontoen i år 2021?

Løysing

Vi skriv inn funksjonen i algebrafeltet i GeoGebra og skriv inn punktet (121, f(121)).

I 2021 står det litt over 10 millionar på kontoen.

c) Du lèt vere å bruke pengane i dag og vel i staden å la pengane stå på kontoen til du nærmar deg pensjonsalderen. Kva står på kontoen i år 2068?

Løysing

År 2068 vil seie at  $$ x=168$$. Vi skriv inn punktet (168, f(168)).

Dei 100 kronene sett inn i 1900 vil ha vakse til omtrent 900 millionar kroner i året 2068. Merk at tala på $$ y$$-aksen er så store at dei blir skrivne på standardform.

d) Albert Einstein sa ein gong "Renters rente-effekten er den sterkaste krafta vi kjenner". Kva meinte Einstein med det?

Flytt på 2 piler (fyrstikker) og få 4 like kvadrat. Alle pilene skal brukast. Kvar pil utgjer éi side i eit kvadrat.  

Formelen  $$ V=\frac{4}{3}\pi r^3$$  viser samanhengen mellom radius til ei kule og volumet av kula.

a) Lag ein plan for korleis du kan bruke denne modellen for å finne radius til ein fotball.

b) Få tak i ein fotball og utfør planen.

Ein modell for svingetida til ein pendel er  $T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$  der $$ T$$ er svingetida, $$ l$$ er snorlengda og $$ g$$ er akselerasjonen til tyngda, som har verdien $$ 9,81 \mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2$$.

a) Lag deg ein pendel av eit lodd eller liknande. Mål svingetida for pendelen for varierande snorlengder. Lag ein modell for svingetida $$ T$$ som funksjon av snorlengda $$ l$$.

b) Samanlikn modellen din med denne modellen. Kva finn du?

c) Kor lang må snorlengda vere for at du på ein enkel måte kan bruke pendelen til å telje sekund?

d) Kanskje har nokon i familien din eit pendelur heime. I så tilfelle, undersøk korleis du kan stille dette uret til å gå riktig.  

Ein kortkunst: Ta ut 21 kort frå ein kortstokk. Fordel desse korta i tre kolonnar med sju kort i kvar kolonne. La korta liggje med biletsida opp, og la dei ikkje overlappe meir enn at det er mogleg å sjå kva kort som ligg i kvar kolonne. Be ein venn om å velje ut og tenkje på eitt bestemt kort og fortelje deg i kva kolonne dette kortet ligg.

Så samlar du inn korta, kolonne for kolonne, men du passar på å leggje kolonnen med det valde kortet i midten.

Så legg du ut korta igjen i tre kolonnar, men slik at dei tre øvste korta blir dei første korta i kvar kolonne, dei tre neste korta blir kort nummer to i kvar kolonne og så vidare.

Du ber så vennen din fortelje i kva kolonne det valde kortet no ligg.

Du gjentek prosedyren beskriven ovanfor og ber vennen din for tredje gong fortelje i kva kolonne det valde kortet ligg.

Så samlar du inn korta, kolonne for kolonne, og du passar igjen på å leggje kolonnen med det valde kortet i midten.

No vil alltid det valde kortet liggje som nummer elleve i bunken!

Du kan no, på ein kreativ og mystisk måte, fortelje vennen din kva kort ho har valt.

Oppgåva di

Kvifor er det slik at det valde kortet alltid vil hamne på plass nummer elleve?

Klarer du å skrive inn kvart av tala 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9 i kvar si rute slik at når du summerer tala i tre ruter, anten vassrett, loddrett eller diagonalt, så blir summen alltid den same?

Eksamen 2P våren 2015 del 2: oppgåve 4
Eksamen 2P hausten 2014 del 2: oppgåve 4
Eksamen 2P våren 2014 del 2: oppgåve 6
Eksamen 2P hausten 2012 del 1: oppgåve 9
Eksamen 2P hausten 2012 del 2: oppgåve 7