Oppgave

Lineære ulikskapar

Oppgåvene nedanfor skal løysast utan bruk av hjelpemiddel. Du kan også prøve å løyse oppgåvene med CAS.

1.10.1

Løys ulikskapane

a) $x - 3 < 5$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} x - 3 & < & 5 \\ x & < & 5 + 3 \\ x & < & 8 \end{array}$

b) $2 x + 1 > 3$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} 2 x + 1 & > & 3 \\ 2 x & > & 2 \\ x & > & 1 \end{array}$

c) $2 x - 4 < x - 4$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} 2 x - 4 & < & x - 4 \\ 2 x - x & < & - 4 + 4 \\ x & < & 0 \end{array}$

1.10.2

Løys ulikskapane

a) $3 x - 5 < 5$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} 3 x - 5 & < & 5 \\ 3 x & < & 10 \\ x & < & \frac{10}{3} \end{array}$

b) $5 x - 3 < 2 x - 6$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} 5 x - 3 & < & 2 x - 6 \\ 5 x - 2 x & < & - 6 + 3 \\ 3 x & < & - 3 \\ x & < & - 1 \end{array}$

c) $6 - 5 x \geq 6 (1 - x)$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} 6 - 5 x & \geq & 6 (1 - x) \\ - 5 x + 6 x & \geq & 6 - 6 \\ x & \geq & 0 \end{array}$

d) $x - 3 \leq 2 (x + 6)$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} x - 3 & \leq & 2 (x + 6) \\ x - 2 x & \leq & 12 + 3 \\ - x & \leq & 15 Dividerer på (- 1) \\ og snur ulikskapsteiknet \\ x & \geq & - 15 \end{array}$

1.10.3

Løys ulikskapane

a) $3 (x - 5) < 5 (x - 2)$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} 3 (x - 5) & < & 5 (x - 2) \\ 3 x - 15 & < & 5 x - 10 \\ 3 x - 5 x & < & - 10 + 15 \\ - 2 x & < & 5 Dividerer på (- 2) \\ og snur ulikskapsteiknet \\ x & > & - \frac{5}{2} \end{array}$

b) $5 x - 3 < 2 x - 6$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} 5 x - 3 & < & 2 x - 6 \\ 5 x - 2 x & < & - 6 + 3 \\ 3 x & < & - 3 \\ x & < & - 1 \end{array}$

c) $1 - x \geq 1 + x$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} 1 - x & \geq & 1 + x \\ - x - x & \geq & 1 - 1 \\ - 2 x & \geq & 0 Dividerer på (- 2) \\ og snur ulikskapsteiknet \\ x & \leq & 0 \end{array}$

d) $3 (2 x - 3) < 6 x - 9$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} 3 (2 x - 3) & < & 6 x - 9 \\ 6 x - 9 & < & 6 x - 9 \\ 6 x - 6 x & < & - 9 + 9 \\ 0 x & < & 0 \end{array}$

$0 x$ kan aldri bli mindre enn $0$ . Det tyder at ulikskapen ikkje har løysing.

1.10.4

Løys ulikskapane

a) $\frac{2}{3} x - 2 \leq - 3$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} \frac{2}{3} x - 2 & \leq & - 3 \\ \frac{2 x \cdot 3}{3} - 2 \cdot 3 & \leq & - 3 \cdot 3 \\ 2 x - 6 & \leq & - 9 \\ 2 x & \leq & - 3 \\ x & \leq & - \frac{3}{2} \end{array}$

b) $\frac{x}{2} - \frac{x}{3} > \frac{1}{6}$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} \frac{x}{2} - \frac{x}{3} & > & \frac{1}{6} \\ \frac{x \cdot 6}{2} - \frac{x \cdot 6}{3} & > & \frac{1 \cdot 6}{6} \\ 3 x - 2 x & > & 1 \\ x & > & 1 \end{array}$

c) $\frac{5}{2} x + \frac{x}{3} - \frac{7}{4} \geq 3 - \frac{x}{6}$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} \frac{5}{2} x + \frac{x}{3} - \frac{7}{4} & \geq & 3 - \frac{x}{6} \\ \frac{5 x \cdot 12}{2} + \frac{x \cdot 12}{3} - \frac{7 \cdot 12}{4} & \geq & 3 \cdot 12 - \frac{x \cdot 12}{6} \\ 30 x + 4 x - 21 & \geq & 36 - 2 x \\ 36 x & \geq & 57 \\ x & \geq & \frac{57}{36} \\ x & \geq & \frac{19}{12} x \in [\frac{19}{12}, \to> \end{array}$

d) $\frac{3}{2} (2 x - 3) < 9 (\frac{x}{3} + \frac{1}{2})$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} \frac{3}{2} (2 x - 3) & < & 9 (\frac{x}{3} + \frac{1}{2}) \\ \frac{6 x}{2} - \frac{9}{2} & < & \frac{9 x}{3} + \frac{9}{2} \\ 3 x - 3 x & < & \frac{9}{2} + \frac{9}{2} \\ 0 x & < & 9 \end{array}$

$0 x$ er alltid mindre enn $9$ . Det tyder at ulikskapen er gyldig for alle moglege $x$ .

1.10.5

Per skal ha sommerjobb som jordbærplukkar. Han har valet mellom to ulike lønsavtalar.

1) Han kan få ei fast timeløn på 50 kroner per time og i tillegg 2 kroner for kvar korg han plukkar.

2) Han kan få 5 kroner for kvar kurv han plukkar, men då får han ikkje fast timeløn.

Still opp ei ulikskap og finn ut kor mange korger Per må plukke i timen for at avtale 2) skal løne seg.

vis fasit

Vi lar $x$ vere talet på korger Per plukkar og set opp uttrykk for kvar av dei to lønsavtalane.

1) $50 + 2 x$

2) $5 x$

Vi får ulikskapen

$\begin{array}{rcl} 5 x & > & 50 + 2 x \\ 3 x & > & 50 \\ x & > & 16, 7 \end{array}$

Per må plukke minst 17 korger i timen for at avtale 2) skal løne seg.

1.10.6

Kari og familien skal på tur. Dei vil leige bil i fem døgn. Kari har undersøkt ulike leigebiltilbod og funne fram til to aktuelle.

1) 700 kroner per døgn, fri køyrelengd opp til 500 km. Over det betaler ein 5 kroner per kilometer.

2) 1500 kroner per døgn. Fri kjørelengd.

Still opp ein ulikskap og finn ut kor mange kilometer dei må køyre for at avtale 2) skal løne seg.

vis fasit

Det er klart at dersom køyrelengda er mindre enn eller lik 500 kilometer så løner 1) seg (lavare døgnpris). Køyrelengda må altså vere høgare enn 500 kilometer for at 2) skal løne seg. Vi lar x vere talet på kilometer dei køyrer over 500 kilometer og set opp uttrykk for dei to tilbuda.

1) $700 \cdot 5 + 5 x$

2) $1500 \cdot 5$

Avtale 2) skal løne seg . (Det tyder her at 2) skal gi lågast kostnad.)

Vi får

$\begin{array}{rcl} 1500 \cdot 5 & < & 700 \cdot 5 + 5 x \\ - 5 x & < & 3500 - 7500 \\ - 5 x & < & - 4000 \\ x & > & 800 \end{array}$

Det viser at dei må køyre meir enn $800 km + 500 km = 1300 km$ for at tilbod 2) skal løne seg.

1.10.1

1.10.2

1.10.3

1.10.4

1.10.5

1.10.6

Reglar for bruk av teksten "Lineære ulikskapar"