Faktorisering av andregradsuttrykk ved hjelp av nullpunktmetoden

Vi set uttrykket lik 0 og får ei andregradslikning. Vi løyser likninga ved å bruke abc-formelen.

$\begin{array}{rcl}{x}^2-3x+2& =& 0\\ & & \\ x& = & \frac{-\left(-3\right)\pm \sqrt{{\left(-3\right)}^2-4·1·2}}{2·1}\\ & & \\ x& =& \frac{3\pm \sqrt{1}}{2}\\ & & \\ x_1& =& \frac{3+1}{2}=\frac{4}{2}=2 \vee x_2=\frac{3-1}{2}=1\end{array}$

Minner om teiknet "$\vee$", som tyder "eller".

Då er

$x^2-3x+2=1\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$

Vi set uttrykket lik 0 og får ei andregradslikning. Vi løyser likninga ved å bruke abc-formelen.

$\begin{array}{rcl}{x}^2-3x-4& = & 0\\ & & \\ x& =& \frac{-\left(-3\right)\pm \sqrt{{\left(-3\right)}^2-4·1·\left(-4\right)}}{2·1}\\ & & \\ x& =& \frac{3\pm \sqrt{25}}{2}\\ & & \\ x_1& =& \frac{3+5}{2}=4 \vee x_2=\frac{3-5}{2}=-1\end{array}$

Då er

$x^2-3x-4=1\left(x-4\right)\left(x-\left(-1\right)\right)=\left(x-4\right)\left(x+1\right)$

Vi set uttrykket lik 0 og får ei andregradslikning. Vi finn løysingane til likningen ved å bruke abc-formelen.

$\begin{array}{rcl}-x^2-3x+4& = & 0\\ & & \\ x& =& \frac{-\left(-3\right)\pm \sqrt{{\left(-3\right)}^2-4·\left(-1\right)·4}}{2·\left(-1\right)}\\ & & \\ x& =& \frac{3\pm \sqrt{25}}{-2}\\ & & \\ x_1& =& \frac{3+5}{-2}=-4 \vee x_2=\frac{3-5}{-2}=1\end{array}$

Då er

$-x^2-3x+4=-1\left(x-\left(-4\right)\right)\left(x-1\right)=-\left(x+4\right)\left(x-1\right)$

Vi set uttrykket lik 0 og får ei andregradslikning. Vi finn løysingane til likningen ved å bruke abc-formelen.

$-3x^2+9x-6=0$

Her er det lurt å dividere alle ledd med -3 for å få lettare tal å setje inn i abc-formelen.

Vi får da

$\begin{array}{rcl}{x}^2-3x+2& = & 0\\ & & \\ x& =& \frac{-\left(-3\right)\pm \sqrt{{\left(-3\right)}^2-4·1·2}}{2·1}\\ & & \\ x& =& \frac{3\pm \sqrt{1}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{3+1}{2}=2 \vee x_2=\frac{3-1}{2}=1\end{array}$

Då er

$-3x^2+9x-6=-3\left(x-1\right)\left(x-2\right)$

Vi set uttrykket lik 0 og får ei andregradslikning. Vi finn løysingane til likningen ved å bruke abc-formelen.

$-4a^2-6a+4=0$

Her er det lurt å dividere alle ledd med -2 for å få lettare tal å setje inn i abc-formelen.

Vi får da

$\begin{array}{rcl}2a^2+3a-2& = & 0\\ & & \\ a& =& \frac{-3\pm \sqrt{3^2-4·2·\left(-2\right)}}{2·2}\\ & & \\ a& =& \frac{-3\pm \sqrt{25}}{4}\\ & & \\ a_1& =& \frac{-3+5}{4}=\frac{1}{2} \vee a_2=\frac{-3-5}{4}=-2\end{array}$

Då er

$-4a^2-6a+4=-4\left(a-\left(-2\right)\right)\left(a-\frac{1}{2}\right)=-4\left(a+2\right)\left(a-\frac{1}{2}\right)$

Dette er eit fullstendig kvadrat. Bruker andre kvadratsetning.

Dermed er

$x^2-6x+9=\left(x-3\right)\left(x-3\right)$

Vi finn løysinga ved å bruke konjugatsetninga.

$x^2-16=x^2-4^2=\left(x+4\right)\left(x-4\right)$

Vi finn løysinga ved å bruke konjugatsetninga.

$2x^2-18=2\left(x^2-9\right)=2\left(x+3\right)\left(x-3\right)$

Vi set uttrykket lik 0 og får ei andregradslikning. Vi finn løysingane til likninga ved å bruke abc-formelen.

$\begin{array}{rcl}x& = & \frac{-\left(-4\right)\pm \sqrt{{\left(-4\right)}^2-4·1·8}}{2·1}\\ & & \\ x& =& \frac{4\pm \sqrt{-16}}{2}\end{array}$

Likninga har inga løysing.

Uttrykket kan ikkje faktoriserast.

Vi set uttrykket i parentesen lik 0 og får ei andregradslikning. Vi finn løysingene til likningen ved å bruke abc-formelen.

$\begin{array}{rcl}{x}^2-3x+2& = & 0\\ & & \\ x& =& \frac{-\left(-3\right)\pm \sqrt{{\left(-3\right)}^2-4·1·2}}{2·1}\\ & & \\ x& =& \frac{3\pm \sqrt{1}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{3+1}{2}=\frac{4}{2}=2 \vee x_2=\frac{3-1}{2}=1\end{array}$

Faktoriseringsformelen gir $x^2-3x+2=\left(x-1\right)\left(x-2\right)$

Dette gjev videre at $x\left(x^2-3x+2\right)=x\left(x-1\right)\left(x-2\right)$

Vi løyser oppgåva med CAS i GeoGebra og bruker verktøyknappen Faktoriser eller kommandoen med det same namnet.

Om vi vil, kan vi skrive svaret slik det er gjort nedanfor.

$\frac{1}{25}(5x+9)(5x-6)$

Vi løyser oppgåva med CAS i Geogebra.

Om vi vil, kan vi skrive svaret slik det er gjort nedanfor.

$\frac{1}{50}(-3)(5x-14)(5x-21)$

Vi løyser oppgåva med CAS i Geogebra.

Svaret blir $(x-3{)}^2$.

Vi løyser oppgåva med CAS i Geogebra.

Svaret blir $(t-1)(t+7)$.

Vi løyser oppgåva med CAS i Geogebra.

Svaret blir $x(x-2)(x-1)$.