Vinkelsummen i ein n-kant

Tenk deg at du spaserer éin runde langs linjestykka på yttersida av ein trekant. Når du går frå eitt linjestykke til eit anna, endrar du retning slik som vinklane a, b og c på figuren viser. Til saman endrar du retning 360°. Det vil seie at

$a+b+c=360°$

Summen av vinklane i trekanten er $d+e+f$.

$\begin{array}{rcl}d+e+f& = & (180°-a)+(180°-b)+(180°-c)\\ & & \\ & =& 3·180°-(a+b+c)\\ & & \\ & =& 3·180°-(360°)\\ & & \\ & =& 3·180°-2·180°\\ & & \\ & =& (3-2)·180°=180°\end{array}$

No gjer vi det same med ein femkant. Tenk deg at du spaserer éin runde langs linjestykka på yttersida av ein femkant. Når du går frå eitt linjestykke til eit anna, endrar du retning slik som vinklane a, b, c, d og e på figuren viser. Til saman endrar du retning 360°. Det vil seie at

$a+b+c+d+e=360°$

Då kan vi rekne ut summen av vinklane i femkanten

$\begin{array}{rcl}\mathrm{Vinkelsummen}& = & \left(180°-a\right)+\left(180°-b\right)+\left(180°-c\right)+\left(180°-d\right)+\left(180°-e\right)\\ & & \\ & = & 5·180°-\left(a+b+c+d+e\right)\\ & & \\ & =& 5·180°-\left(360°\right)\\ & & \\ & =& 3·180°+2·180°-360°\\ & & \\ & =& 3·180°\\ & & \\ & =& \left(5-2\right)·180°=540°\end{array}$

Prøv sjølv, bruk figuren, før tilsvarande bevis som for vinkelsummen i ein trekant og ein femkant, og overbevis deg sjølv om at setninga nedanfor må vere riktig.

Vi fekk også eit anna resultat av utrekningane.

• Vinkelsummen i ein 3-kant er $\left(3-2\right)·180°=1·180°=180°$
  
• Vinkelsummen i ein 4-kant er $\left(4-2\right)·180°=2·180°=360°$
  
• Vinkelsummen i ein 5-kant er $\left(5-2\right)·180°=3·180°=540°$
  

Vi kan gjere tilsvarande resonnement for alle mangekantar.