Kvadratrøter

Veit du at kvadratrota til 4 er 2?

Eksempel

$\sqrt{9}=3 \mathrm{fordi} 3·3=9$ og fordi $3$ ikkje er negativt.

Merk at også $\left(-3\right)·\left(-3\right)=9$, men $-3$ er eit negativt tal og er difor ikkje definert som kvadratrota av $9$.

Ved å bruke definisjonen på kvadratrøter får vi at

$\sqrt{4}·\sqrt{9}=2·3=6$

Vi får same svar dersom vi først multipliserer og så trekkjer ut rota

$\sqrt{4}·\sqrt{9}=\sqrt{4·9}=\sqrt{36}=6$

Dette gjeld også ved divisjon av kvadratrøter.

Ved å bruke definisjonen på kvadratrøter blir

$\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{9}}=\frac{6}{3}=2$

Dersom vi først dividerer og så trekkjer ut rota, får vi

$\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{9}}=\sqrt{\frac{36}{9}}=\sqrt{4}=2$

Vi kan vise at dette gjeld generelt.

Prov for multiplikasjonsregelen

$\begin{array}{rcl}{\left(\sqrt{a}·\sqrt{b}\right)}^2& = & \left(\sqrt{a}·\sqrt{b}\right)·\left(\sqrt{a}·\sqrt{b}\right)\\ & & \\ & =& \sqrt{a}·\sqrt{b}·\sqrt{a}·\sqrt{b}={\left(\sqrt{a}\right)}^2·{\left(\sqrt{b}\right)}^2\\ & & \\ & =& a·b\end{array}$

Vi har altså at

$a·b={\left(\sqrt{a}·\sqrt{b}\right)}^2$

Per definisjon er då

$\sqrt{a·b}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$

Prøv å prove divisjonsregelen på same måte!

Ofte må du bruke reglane motsett veg. Du bør da dersom mogleg skilje ut kvadrattala, dei tala som gir heiltalleg svar når du tar kvadratrota av dei.

Eksempel

$\begin{array}{rcl}\frac{\sqrt{18}}{3}& = & \frac{\sqrt{9·2}}{3}=\frac{\sqrt{9}·\sqrt{2}}{3}\\ & & \\ & =& \frac{3·\sqrt{2}}{3}=\sqrt{2}\end{array}$

Eksempel

$\begin{array}{rcl}& & 3\sqrt{50}-2\sqrt{32}\\ & & \\ & = & 3\sqrt{25·2}-2\sqrt{16·2}\\ & & \\ & =& 3·\sqrt{25}·\sqrt{2}-2·\sqrt{16}·\sqrt{2}\\ & & \\ & =& 3·5·\sqrt{2}-2·4·\sqrt{2}\\ & & \\ & =& 15\sqrt{2}-8\sqrt{2}\\ & & \\ & =& 7\sqrt{2}\end{array}$