Brøkrekning

Vi deler ein pizza i åtte like store delar. Kvart pizzastykke er då lik éin åttedel av heile pizzaen. Éin åttedel kan skrivast som $1:8$.

Vi vel ein annan skrivemåte som vi kallar brøk.

$1:8$ skriv vi som $\frac{1}{8}$. Divisjonsteiknet (deleteiknet) har blitt til brøkstrek, men det betyr framleis divisjonsteikn.

Talet på topp, talet over brøkstreken, kallar vi teljar fordi det «tel opp» talet på pizzastykke.

Talet under brøkstreken fortel storleiken, verdien, på pizzastykka, og det blir kalla for nemnar, på tilsvarande måte som kroner eller euro er nemningar på pengebeløp.

Dersom vi har $\frac{4}{5}$ av ein pizza, betyr det at vi har delt ein pizza i fem like store stykke og telt opp fire av desse.

Kva med $\frac{7}{3}$, då? Det må jo bety at vi har delt pizzaen i tre like store stykke og tatt sju av desse. Er det mogleg?

Ja, det er mogleg, men då må vi ha meir enn éin pizza! Nedanfor ser du at vi må ha to heile pizzaer og eit stykke utanom:

$\frac{7}{3}=2\frac{1}{3}$

Dei tre gule pizzastykka på figuren, som utgjer $\frac{3}{8}$ av pizzaen, og det lyseblå stykket, som utgjer $\frac{1}{8}$ av pizzaen, må til saman utgjere fire åttedelar av heile pizzaen.

Det må bety at $\frac{3}{8}+\frac{1}{8}=\frac{4}{8}$.

Motsett, når vi frå fire åttedelar trekkjer frå éin åttedel, så må vi sitje igjen med tre åttedelar. Det tyder at $\frac{4}{8}-\frac{3}{8}=\frac{1}{8}$.

Dette betyr at regelen nedanfor må vere rett.

Av figuren ser vi vidare at det lyseblå og dei gule pizzastykka utgjer halve pizzaen.

Det må bety at $\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$. Det blir altså rett om vi i brøken $\frac{4}{8}$ delar på 4 i teljar og nemnar. Vi får

$\frac{4:4}{8:4}=\frac{1}{2}$

Motsett blir det også rett når vi i brøken $\frac{1}{2}$ multipliserer (gongar) med 4 i teljar og nemnar. Dette gir

$\frac{1·4}{2·4}=\frac{4}{8}$

Vi kan no leggje saman (addere) og trekkje frå (subtrahere) alle slags brøkar.

Vi skal trekkje saman brøkane

$\frac{1}{2}+3-\frac{2}{3}$

Først skriv vi talet 3 som ein brøk. Talet 3 endrar ikkje verdi om vi deler på 1.

$\frac{1}{2}+\frac{3}{1}-\frac{2}{3}$

Så utvidar vi alle brøkane slik at dei får like nemnarar.

$\frac{1·3}{2·3}+\frac{3·6}{1·6}-\frac{2·2}{3·2}$

Vi multipliserer så ut i teljar og nemnar i alle brøkane og får

$\frac{3}{6}+\frac{18}{6}-\frac{4}{6}$

No har brøkane same nemnar, og vi kan trekkje saman teljarane og behalde nemnaren.

$\frac{3+18-4}{6}=\frac{17}{6}$

Til slutt må vi undersøkje om svaret kan skrivast på ein enklare måte ved å forkorte bøken $\frac{17}{6}$. Det er her ikkje mogleg sidan ingen tal kan dele både 6 og 17. 17 er eit primtal.

Fire pizzastykke som kvar utgjer $\frac{1}{8}$ av heile pizzaen, utgjer til saman $\frac{4}{8}$ av heile pizzaen fordi

$\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1+1+1+1}{8}=\frac{4}{8}$

Det må bety at $4·\frac{1}{8}=\frac{4}{8}$. Når vi gongar eit heilt tal med ein brøk, så må vi altså gonge det heile talet med teljaren for at det skal bli rett.

$4·\frac{1}{8}=\frac{4·1}{8}=\frac{4}{8}$

Sidan det heile talet også kan skrivast som ein brøk, får vi at

$\frac{4}{1}·\frac{1}{8}=\frac{4·1}{1·8}=\frac{4}{8}$

Vi får rett svar når vi multipliserer teljar med teljar og nemnar med nemnar.

Vi ser også at dersom vi tar halvparten av eit pizzastykke som utgjer éin tredel av ein heil pizza, så må vi få éin seksdel av heile pizzaen. Det må bety at reknestykket nedanfor må vere rett.

$\frac{1}{2}·\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$

Det betyr at det også her blir rett når vi gongar teljar med teljar og nemnar med nemnar.

Regelen blir som følgjer:

Eksempel 1

$\frac{6}{8}·\frac{5}{7}=\frac{6·5}{8·7}=\frac{30}{56}=\frac{30:2}{56:2}=\frac{15}{28}$ Hugs å forkorte svaret!

Eksempel 2

$7·\frac{2}{3}=\frac{7}{1}·\frac{2}{3}=\frac{7·2}{1·3}=\frac{14}{3}$ Her kan vi ikkje forkorte svaret.

Kari har 6 liter raudbrus i ein svær behaldar og skal fordele brusen i tolitersflasker. Kor mange flasker treng ho?

Reknestykket blir $6:2=3$. Ho treng 3 flasker.

Men dersom ho skal fordele brusen i halvlitersflasker, kor mange flasker treng ho då?

Vi skjønar at svaret må bli 12 flasker.

Dersom vi skal rekne på same måte som ovanfor, er altså $6:\frac{1}{2}=12$.

Å dividere med $\frac{1}{2}$ er altså det same som å multiplisere med 2.

Vi kan skrive reknestykket slik:

$6:\frac{1}{2}=\frac{6}{1}:\frac{1}{2}=\frac{6}{1}·\frac{2}{1}=\frac{12}{1}=12$

Vi ser altså at når vi skal dividere med ein brøk, må vi multiplisere med den omvende brøken for å få rett resultat.

Eksempel

$\frac{\frac{7}{2}}{\frac{3}{5}}=\frac{7}{2}:\frac{3}{5}=\frac{7}{2}·\frac{5}{3}=\frac{35}{6}$

Som dømet over viser, kan vi oppfatte divisjonsteiknet som ein brøkstrek.

Då kan vi skrive divisjonen $\frac{4}{5}:\frac{6}{15}$ slik:

$\frac{4}{5}:\frac{6}{15}=\frac{\frac{4}{5}}{\frac{6}{15}}$

Ein slik brøk, som består av brøkar i teljar og nemnar, kallar vi ein broten brøk. Vi skil mellom hovudbrøken og småbrøkane.

Småbrøkane $\frac{4}{5}$ og $\frac{6}{15}$ er brøkane i teljar og nemnar i hovudbrøken. La oss rekne ut stykket ved å bruke reknereglane for divisjon av brøkar.

$\frac{4}{5}:\frac{6}{15}=\frac{4}{5}·\frac{15}{6}=\frac{4·{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{15}}}}{\cancel{5}·6}=\frac{4·3}{6}=\frac{12}{6}=2$

Vi kan forenkle ein broten brøk ved å utvide hovudbrøken med samnemnaren for småbrøkane.

$\frac{\frac{4}{5}}{\frac{6}{15}}=\frac{\frac{4}{5}·15}{\frac{6}{15}·15}=\frac{\frac{4}{\cancel{5}}·\stackrel{3}{\cancel{15}}}{\frac{6}{\cancel{15}}·\cancel{15}}=\frac{12}{6}=2$

Vi ser at vi får same resultatet som ovanfor.