Å løyse andregradslikningar utan bruk av abc-formelen

Ei likning som kan skrivast på forma  $a{x}^2+bx+c=0 \mathrm{der} a\ne 0$, kallar vi ei andregradslikning.

Eit eksempel på ei andregradslikning er $x^2+4x-5=0$.

$x^2$ kallar vi andregradsleddet og $a=1$.
$4x$ kallar vi førstegradsleddet og $b=4$.
$-5$ kallar vi konstantleddet og $c=-5$.

Nokre gonger må andregradslikninga ordnast for å sjå kva tala $a, b$ og $c$ er.

Andregradslikninga

$3-x=\frac{-7x^2}{2}$

kan ordnast til likninga

$\begin{array}{rcl} 6-2x& = & -7x^2\\ 7x^2 -2x+6& =& 0\end{array}$

og her ser vi at $a=7, b=-2 \mathrm{og} c=6$.

Ei andregradslikning inneheld alltid andregradsleddet, men førstegradsleddet og konstantleddet kan mangle, det vil seie at $b$ og/eller $c$ kan vere lik $0$.

Når konstantleddet $$ c$$ manglar, kan vi samle dei to ledda som står att på venstre side av likskapsteiknet og faktorisere. Faktoren $x$ finst nemleg i begge ledda. Vi nyttar oss av at når eit produkt er lik null, må minst ein av faktorane vere lik null.

Eksempel

$$ \begin{array}{rclll}{x}^2-2x& = & 0& & \\ & & & & \\ x\left(x-2\right)& =& 0& & \\ & & & & \\ x& =& 0 \vee x-2=0& & (\vee =\mathrm{eller})\\ & & & & \\ x& =& 0 \vee x=2& & \\ & & & & \end{array}$$

Når eit produkt er lik null, må minst ein av faktorane vere lik null.

Vi ordnar likninga slik at $x^2$ blir isolert på venstre side av likskapsteiknet. Så trekkjer vi ut kvadratrota.

Døme

$\begin{array}{rcl}-2x^2+18& = & 0\\ & & \\ -2x^2& =& -18\\ & & \\ x^2& =& 9\\ & & \\ x& =& \sqrt{9} \vee x=-\sqrt{9}\\ & & \\ x& =& 3 \vee x=-3\end{array}$

Dersom høgresida blir null etter at likninga er ordna, så får vi berre éi løysing, nemleg $x=0$. Dersom høgresida blir negativ etter at likninga er ordna, så har likninga ikkje nokon løysingar.

Nokon andregradslikninger kan ordnast slik at venstresida i likninga blir såkalla fullstendige kvadrat.

La oss først sjå på likninga ${\left(x-3\right)}^2=4$. Denne likninga må kunne løysast etter tilsvarande prinsipp som likningar utan førstegradsleddet:

$\begin{array}{rcl}{\left(x-3\right)}^2& = & 4\\ & & \\ x-3& =& 2 \vee x-3=-2\\ & & \\ x& =& 5 \vee x=1\end{array}$

I likninga $x^2-6x+9=4$ er venstresida eit fullstendig kvadrat. Etter den andre kvadratsetninga er venstresida lik ${\left(x-3\right)}^2$, og likninga har då løysing som vist ovanfor.

Dette betyr at dersom vi omformar ei andregradslikning slik at det til venstre for likskapsteiknet står eit fullstendig kvadrat, så kan vi løyse likninga.

Hugsar du korleis vi laga fullstendige kvadrat då vi faktoriserte andregradsuttrykk? Vi bruker same metode no, med ein liten forskjell. Vi treng ikkje subtrahere uttrykket vi adderer. Sidan vi har likningar, kan vi addere det same uttrykket på begge sider av likskapsteiknet.

Eksempel 1

Vi vil løyse likninga

$\begin{array}{rcl}{x}^2+2x-15& = & 0\end{array}$


Venstre side er ikkje eit fullstendig kvadrat. Vi ordnar likninga slik at første- og andregradsleddet dannar venstre side:

$x^2+2x=15$
Vi ønskjer venstresida på forma $a^2+2ab+b^2$ slik at vi seinare kan erstatte ho med ${\left(a+b\right)}^2$.

Vi legg til $b^2$ på begge sider av likskapsteiknet:

$\begin{array}{rcl}& & x\end{array}\begin{array}{rcl}& & {}^2\end{array}\begin{array}{rcl}& & +\end{array}\begin{array}{rcl}& & 2\end{array}\begin{array}{rcl}& & x\end{array}\begin{array}{rcl}& & +\end{array}\begin{array}{rcl}& & b\end{array}\begin{array}{rcl}& & {}^2\end{array}\begin{array}{rcl}& =& \end{array}\begin{array}{rcl}& & 15+b^2 \end{array}$

No ser vi at venstresida blir på forma $a^2+2ab+b^2$ viss $a=x$ og$2ab=2x\Rightarrow 2xb=2x\Rightarrow b=1$

Vi kan då erstatte venstresida med ${\left(a+b\right)}^2={\left(x+1\right)}^2$ og kan løyse likninga.

$\begin{array}{rcl}{x}^2+2x+1^2& =& 15+1\\ & & \\ {\left(x+1\right)}^2& =& 4^2\\ & & \\ x+1& =& 4 \vee x+1=-4\\ & & \\ x& =& 3 \vee x=-5\end{array}$$\begin{array}{}\end{array}$

Eksempel 2

$\begin{array}{rcl} -42-8x& = & -2x^2\\ & & \\ 2x^2-8x& =& 42 \mathrm{Dividerer} \mathrm{alle} \mathrm{ledd} \mathrm{med} 2\\ & & \\ x^2-4x& =& 21 a=x\\ & & \\ x^2 -4x+b^2& =& 21+b^2 \mathrm{Må} \mathrm{ha} 2ab=4x\Rightarrow 2xb=4x\Rightarrow b=2\\ & & \\ x^2-4x+2^2& =& 21+4\\ & & \\ {\left(x-2\right)}^2& =& 25\\ & & \\ x-2& =& 5 \vee x-2=-5\\ & & \\ x& =& 7 \vee x=-3\end{array}$

Vi kan òg løyse likninga $x^2+2x-15=0$ ved stiremetoden som beskrive under faktorisering. Då må vi finne to tal med produkt som er lik $$ -15$$ og sum som er lik 2. Tala 5 og $$ -3$$ oppfyller desse krava. Då kan venstresida faktoriserast og likninga blir løyst

$\begin{array}{rcl}{x}^2+2x-15 & =& 0\\ \left(x+5\right)\left(x-3\right) & =& 0\\ x+5 & =& 0 \vee x-3 = 0\\ x & =& -5 \vee x = 3\end{array}$