Fagartikkel

Vekstfaktor og prosentvis endring

Vekstfaktoren kan spare oss for mykje arbeid når vi reknar med prosentvis endring.

Prosentvis vekst. Vekstfaktor

Eit typisk døme på prosentvis vekst er ei vare som stig eller søkk i pris med ein viss prosent.

Dongerijakke. Foto. — Bilete: Werner Juvik / CC BY-NC-SA 4.0

Prosentvis auke

Ei jakke kostar 800 kroner. Prisen skal stige med 15 %. Kva blir den nye prisen på jakka?

Vi kan løyse denne oppgåva ved å først å bruke prosentfaktoren til 15 %, rekne ut kor mykje 15 % av 800 kroner er, og til slutt legge svaret til 800 kroner.

$\begin{array}{rcl} 800 kr + 800 kr \cdot 0, 15 & = & 800 kr + 120 kr \\ = & 920 kr \end{array}$

Vi reknar prosenten av 800 kroner, så det er det talet som er 100 %, eller det vi kallar grunnlaget. Pristillegget på 120 kroner svarer til 15 %. Sidan den nye prisen skal vere den gamle prisen pluss 15 %, blir den nye prisen 115 %:

$\begin{array}{rcl} 800 kr + 120 kr & = & 920 kr \\ 100 % + 15 % & = & 115 % \end{array}$

Det betyr at vi kan finne den nye prisen ved å finne 115 % av 800 kroner. Prosentfaktoren til 115 % kallar vi her vekstfaktoren til ein auke på 15 %. Vekstfaktoren er

$115 % = 1, 15$

Den nye prisen blir

$800 kr \cdot 1, 15 = 920 kr$

Prosentvis nedgang

Ei jakke kostar 800 kroner. Jakka skal no seljast på tilbod med 15 % rabatt. Kva blir den nye prisen på jakka?

Vi gjer tilsvarande som i det førre dømet. Den opphavlege prisen på 800 kroner er framleis 100 %. For å komme fram til den nye prisen skal det trekkast frå 15 %, så den nye prisen svarer til

$100 % - 15 % = 85 %$

Prosentfaktoren til 85 % er 0,85. Det betyr at vekstfaktoren til ein nedgang på 15 % er 0,85. Den nye prisen blir

$800 kr \cdot 0, 85 = 680 kr$

Finne endringa i prosent ut frå ny pris og gammal pris

Vi tek utgangspunkt i det andre dømet. Jakka, som tidlegare kosta 800 kroner, blir no seld til 680 kroner. Kor stort er avslaget i prosent?

Vi løyser dette ved å finne ut kor mange prosent den nye prisen er av den gamle. Det gjer vi ved å dele den nye prisen på den gamle, sidan det er den gamle (opphavlege) prisen som er det vi kallar grunnlaget som prosenten skal reknast av.

$\frac{680 kr}{800 kr} = 0, 85 = 85 %$

Sidan den nye prisen er 85 % av den gamle, har prisen blitt redusert med $100 % - 85 % = 15 %$ .

Prosentvis vekst i fleire omgangar

Vi tenker oss no at prisen på jakka, som opphavleg kostar 800 kroner, skal stige i pris med 15 % kvart år framover i 5 år. Kva kostar jakka etter 5 år med prisstigning?

🤔 Tenk over: Vi fann i det første dømet at vekstfaktoren ved 15 % stigning er 1,15. Kva blir vekstfaktoren for prisstigninga mellom det andre og det tredje året?

Løysing

Prisen skal stige med 15 % kvart år, så vekstfaktorane for prisstigninga mellom det andre og det tredje året må òg vere 1,15.

Det betyr at vi kan starte med 800 kroner, gonge med 1,15 for å finne prisen det andre året, gonge på nytt med 1,15 for å finne prisen det tredje året og halde fram slik til vi kjem til det femte året:

$\underset{Pris etter 5 år}{\underset{⏟}{\underset{Pris etter 4 år}{\underset{⏟}{\underset{Pris etter 3 år}{\underset{⏟}{\underset{Pris etter 2 år}{\underset{⏟}{\underset{Pris etter 1 år}{\underset{⏟}{800 kr \cdot 1, 15}} \cdot 1, 15}} \cdot 1, 15}} \cdot 1, 15}} \cdot 1, 15}}$

Resultatet er at vi må gonge 800 kroner med 1,15 totalt 5 gonger.

$\begin{array}{rcl} 800 kr \cdot 1, 15 \cdot 1, 15 \cdot 1, 15 \cdot 1, 15 \cdot 1, 15 & = & 800 kr \cdot 1, 15^{5} \\ = & 1 609, 09 kr \end{array}$

Legg merke til at når vi skal gonge med 1,15 fem gonger, kan vi skrive dette som ein potens: $1, 15^{5}$ , som vi les som "1,15 opphøgd i femte". Dette kan vi slå inn direkte på ein kalkulator som har potensfunksjon.

Tilsvarande, dersom vi har prisen 1 609,09 kroner etter 5 prisoppgangar på 15 %, kan vi rekne oss tilbake til den opphavlege prisen på 800 kroner ved å gjere det motsette, dele på vekstfaktoren opphøgd i 5:

$\frac{1 609, 09 kr}{1, 15^{5}} = 800 kr$

Vi kan generelt seie at vi gongar med vekstfaktoren når vi går framover i tid og deler når vi går tilbake i tid.

I oppgåve 6 på oppgåvesida "Vekstfaktor og prosentvis endring" kan du sjå korleis du bruker vekstfaktor når veksten ikkje er lik i alle periodane.

Formel for vekstfaktoren

Vi tek igjen utgangspunktet i jakka som kostar 800 kroner der prisen skal stige med 15 %. Vi fann ut at vekstfaktoren når noko skal stige med 15 %, er 1,15. Vi ønsker no å finne ein formel for vekstfaktoren når noko skal stige med p prosent. Vi kan skrive vekstfaktoren 1,15 som

$1, 15 = \frac{115}{100} = \frac{100 + 15}{100} = \frac{100}{100} + \frac{15}{100} = 1 + \frac{15}{100}$

Vi kan derfor rekne ut vekstfaktoren når noko skal auke med p prosent, som

$1 + \frac{p}{100}$

Ein alternativ måte å komme fram til formelen på er å setje opp utrekninga for den nye prisen på jakka og vise at vi må gonge den gamle prisen med uttrykket $1 + \frac{15}{100}$ for å få den nye:

$800 + 0, 15 \cdot 800 = 800 (1 + 0, 15) = 800 (1 + \frac{15}{100})$

🤔 Tenk over: Korleis trur du formelen for vekstfaktoren ser ut dersom noko skal minke med p prosent?

Formel for vekstfaktor når noko minkar med p prosent

$1 - \frac{p}{100}$

Du kan velje om du vil bruke formlane eller gjere slik som i dei andre døma over når du skal finne vekstfaktoren. Formlane kan vere nyttige i nokre samanhengar, til dømes dersom du skal lage eit program som skal rekne med prosent.

Oppsummering

Når ein storleik aukar med p %, er den nye verdien til storleiken $(100 + p) %$ av den gamle. Dette gir vekstfaktoren $\frac{100 + p}{100} = 1 + \frac{p}{100}$ .

Når ein storleik minkar med p %, er den nye verdien til storleiken $(100 - p) %$ av den gamle. Dette gir vekstfaktoren $\frac{100 - p}{100} = 1 - \frac{p}{100}$ .