Oppgave

Likningar med rasjonale uttrykk

Oppgåvene nedanfor skal løysast utan bruk av hjelpemiddel. Du kan også prøve å løyse oppgåvene med CAS.

1.8.20

a) Gitt likninga $\frac{2}{x} - 4 = 0$ .

1) Kva for verdiar av $x$ må eventuelt forkastast som løysingar av likninga?

vis fasit

$x = 0$ gjev $0$ i nemnar og kan ikkje godtakast som ei løysing av likninga.

2) Løys likninga.

vis fasit

$\begin{array}{rcl} x \cdot \frac{2}{x} - x \cdot 4 & = & x \cdot 0 \\ 2 - 4 x & = & 0 \\ - 2 x & = & - 2 \\ x & = & \frac{- 2}{- 4} = \frac{1}{2} \end{array}$

Denne løysinga skal ikkje forkastast.

b) Gitt likninga $3 - \frac{2}{x} = - \frac{1}{x}$ .

1) Kva for verdiar av $x$ må eventuelt forkastast som løysingar av likninga?

vis fasit

$x = 0$ gjev $0$ i nemnar og kan ikkje godtakast som ei løysing av likninga.

2) Løys likninga.

vis fasit

$\begin{array}{rcl} x \cdot 3 - x \cdot \frac{2}{x} & = & x \cdot - \frac{1}{x} \\ 2 x - 2 & = & - 1 \\ 3 x & = & 1 \\ x & = & \frac{1}{3} \end{array}$

Denne løysinga skal ikkje forkastast.

c) Gitt likninga $\frac{2}{x - 1} + \frac{1}{x - 2} = \frac{x}{x^{2} - 3 x + 2}$ .

1) Kva for verdiar av $x$ må eventuelt forkastast som løysingar av likninga?

vis fasit

Vi startar med å løyse likninga

$\begin{array}{rcl} x^{2} - 3 x + 2 & = & 0 \\ x & = & \frac{- (- 3) \pm \sqrt{(- 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} \\ = & \frac{3 \pm 1}{2} \\ x_{1} & = & \frac{3 + 1}{2} = 2 \lor x_{2} = \frac{3 - 1}{2} = 1 \end{array}$

$x^{2} - 3 x + 2$ har altså nullpunkta $x = 1$ og $x = 2$ . Desse løysingane gjev $0$ i nemnaren på høgre side av likninga og kan ikkje godtakast som ei løysing av likninga. Den første brøken på venstre side av likninga er null når $x = 1$ , den andre er null når $x = 2$ .

Vi må forkaste løysingane $x = 1$ og $x = 2$ .

2) Løys likninga.

vis fasit

Frå oppgåva over har vi at fellesnemnaren til likninga er $(x - 1) (x - 2)$ .

$\begin{array}{rcl} \frac{2}{x - 1} + \frac{1}{x - 2} & = & \frac{x}{(x - 1) (x - 2)} \\ \frac{2 \cdot (x - 1) (x - 2)}{x - 1} + \frac{1 \cdot (x - 1) (x - 2)}{x - 2} & = & \frac{x \cdot (x - 1) (x - 2)}{(x - 1) (x - 2)} \\ 2 (x - 2) + (x - 1) & = & x \\ 2 x - 4 + x - 1 & = & x \\ 2 x + x - x & = & 4 + 1 \\ 2 x & = & 5 \\ x & = & \frac{5}{2} \end{array}$

Denne løysinga skal ikkje forkastast.

d) Gitt likninga $\frac{2}{2 x - 2} + \frac{1}{x - 2} = \frac{x - 3}{x^{2} - 3 x + 2}$ .

1) Kva for verdiar av $x$ må eventuelt forkastast som løysingar av likninga?

vis fasit

Vi har frå oppgåve c) at $x^{2} - 3 x + 2$ har nullpunkta $x = 1$ og $x = 2$ . Desse løysingane gjev $0$ i nemnar og kan ikkje godtakast som ei løysing av likninga.

2) Løys likninga.

vis fasit

$\begin{array}{rcl} \frac{2}{2 (x - 1)} + \frac{1}{x - 2} & = & \frac{x - 3}{(x - 1) (x - 2)} \\ \frac{2 \cdot 2 (x - 1) (x - 2)}{2 (x - 1)} + \frac{1 \cdot 2 (x - 1) (x - 2)}{x - 2} & = & \frac{(x - 3) \cdot 2 (x - 1) (x - 2)}{(x - 1) (x - 2)} \\ 2 (x - 2) + 2 (x - 1) & = & 2 (x - 3) \\ 2 x - 4 + 2 x - 2 & = & 2 x - 6 \\ 2 x + 2 x - 2 x & = & 4 + 2 - 6 \\ 2 x & = & 0 \\ x & = & 0 \end{array}$

Denne løysinga skal ikkje forkastast.

e) Gitt likninga $\frac{3}{2 x - 2} - \frac{1}{x - 2} = \frac{x - 3}{x^{2} - 3 x + 2}$ .

1) Kva for verdiar av $x$ må eventuelt forkastast som løysingar av likninga?

vis fasit

Vi har frå oppgåve c) at $x^{2} - 3 x + 2$ har nullpunkta $x = 1$ og $x = 2$ . Desse løysingane gjev $0$ i nemnar og kan ikkje godtakast som ei løysing av likninga.

2) Løys likninga. Sjekk løysinga med CAS i GeoGebra.

vis fasit

$\begin{array}{rcl} \frac{3}{2 (x - 1)} - \frac{1}{x - 2} & = & \frac{x - 3}{(x - 1) (x - 2)} \\ \frac{3 \cdot 2 (x - 1) (x - 2)}{2 (x - 1)} - \frac{1 \cdot 2 (x - 1) (x - 2)}{x - 2} & = & \frac{(x - 3) \cdot 2 (x - 1) (x - 2)}{(x - 1) (x - 2)} \\ 3 (x - 2) - 2 (x - 1) & = & 2 (x - 3) \\ 3 x - 6 - 2 x + 2 & = & 2 x - 6 \\ 3 x - 2 x - 2 x & = & 6 - 2 - 6 \\ - x & = & - 2 \\ x & = & 2 \end{array}$

Likningen har inga løysing fordi ein eller fleire av brøkane ikkje er definert for $x = 2$ .

Likninga har inga løysing.

Løysing med CAS:

Eksakt CAS-løysing av likninga 3 delt på parentes 2 x minus 2 parentes slutt minus 1 delt på parentes x minus 2 parentes slutt er lik parentes x minus 3 parentes slutt delt på parentes x i andre minus 3 x pluss 2 parentes slutt. Utklipp. — Bilete: Olav Kristensen, Stein Aanensen, Bjarne Skurdal / CC BY-NC-SA 4.0

Tilnærma CAS-løying av likninga 3 delt på parentes 2 x minus 2 parentes slutt minus 1 delt på parentes x minus 2 parentes slutt er lik parentes x minus 3 parentes slutt delt på parentes x i andre minus 3 x pluss 2 parentes slutt. Utklipp. — Bilete: Olav Kristensen, Stein Aanensen, Bjarne Skurdal / CC BY-NC-SA 4.0

Merk korleis GeoGebra markerer at likninga ikkje har løysing. Vi har her prøvd både eksakt og tilnærma løysing.

1.8.20

Reglar for bruk av teksten "Likningar med rasjonale uttrykk"