Formlikskap

Trekantane har parvis like store vinklar og er dermed formlike.

Den siste vinkelen er $180°-45°-71,57°=63,43°$

Vi reknar først ut målestokken når vi går frå $∆DEF$ til $∆ABC$.

$\frac{AB}{DE}=\frac{6,0}{8,0}=0,75$

Så kan vi finne lengda av $AC$.

$AC=10,0 \mathrm{cm}·0,75=7,5 \mathrm{cm}$

$EF=\frac{BC}{0,75}=\frac{6,3 \mathrm{cm}}{0,75}=\frac{6,3 \mathrm{cm}}{{\displaystyle \frac{3}{4}}}=\frac{\stackrel{2,1}{\cancel{6,3 }}\mathrm{cm}·4}{\cancel{3}}=8,4 \mathrm{cm}$

Trekantane $DEF$ og $GHF$ har felles vinkel $F$. Dei parallelle linjene $DE$ og $GH$ blir skorne av linjene gjennom $DF$ og $EF$. Når to parallelle linjer blir skorne av ei tredje linje, er dei samsvarande vinklane like store, dvs. at vinkel $DEF$ = vinkel $GHF$ osb. Trekantene har dermed parvis like store vinklar og er då formlike.

Toppvinklane $ASB$ og $$ CSD$$ er like store. Dei parallelle linjene gjennom $$ A$$ og $$ B$$ og gjennom $$ C$$ og $$ D$$ blir skorne av linjene gjennom $$ A$$ og $$ D$$ og gjennom $$ B$$ og $$ C$$. Når to parallelle linjer blir skorne av ei tredje linje, er dei samsvarande vinklane like store. Trekantane har dermed parvis like store vinklar og er då formlike.

$\begin{array}{rcl}\angle ACB& = & \angle DFE\\ & & \\ \angle ACB& =& 71,6°\\ & & \\ \angle CBA& =& \angle FEB=180°-45°-71,6°=63,4°\end{array}$

Trekanten som bilir danna av bakken, staven og siktelinja er formlik med trekanten som blir danna av bakken, treet og siktelinja. Trekantane har felles vinkel der siktelinja treffer bakken og både staven og treet dannar $90°$ med bakken.

$\begin{array}{rcl}\mathrm{Målestokk}& = & \frac{10,5}{0,5}=21\\ & & \\ 2,0 \mathrm{m}·21& =& 42 \mathrm{m}\end{array}$

Treet er 42 meter høgt.

Trekantane $BST$ og $B´ST´$ har felles vinkel $S$. Begge trekantane er rettvinkla. Trekantane har då parvis like store vinklar og er formlike.

$\angle PSQ=\angle RST$ fordi dei er toppvinklar.

Linjene $PT$ og $RQ$ skjer dei parallelle linjene $PQ$ og $RT$ og vi har då at dei samsvarande vinklane er like. Til dømes vil $\angle SQP=\angle SRT$.

Trekantane har då parvis like store vinklar og er formlike. Då $\angle SQP=\angle SRT$ vil sida $PS$ samsvare med sida $ST$ fordi dei er motståande sider til like store vinklar.

Forholdet er konstant mellom sider som samsvarer med kvarandre.

$\frac{PS}{ST}=\frac{PQ}{RT}\Rightarrow \frac{PS}{5 \mathrm{m}}=\frac{4 \mathrm{m}}{6 \mathrm{m}}\Rightarrow PS=5 \mathrm{m}·\frac{4}{6}=\frac{20 \mathrm{m}}{6}=3,3 \mathrm{m}$

$∆DCE$ og $∆BCA$ er formlike fordi vinkel $C$ er lik i dei to trekantane (toppvinklar), og begge trekantane er rettvinkla. Forholdet mellom dei samsvarande sidene $CD$ og $BC$ blir

$$ \frac{200}{2,5}=80$$

$$ DE=AB·25=80·25=2 000$$

Avstanden $DE$ ut til Hatholmen er $$ 2 000$$ meter.