Rasjonale ulikskapar

Problemet er at når vi har ein brøkulikskap med $x$ i nemnar, vil nemnaren vere negativ for nokre $x$-verdiar og positiv for andre $x$-verdiar. Då blir det vanskeleg å halde seg til regelen som seier at vi må snu ulikskapsteiknet når vi multipliserer ein ulikskap med eit negativt tal.

Vi løyser rasjonale ulikskapar på tilsvarande måte som andregrads- og tredjegradsulikskapar. Vi må samle alle ledd på den eine sida av ulikskapsteiknet og faktorisere.

Vi skal løyse ulikskapen

$\frac{x+1}{2x-1}⩾1 , x\ne \frac{1}{2}$

Vi må gå ut frå at $x$ er ulik $\frac{1}{2}$, for ellers får vi null i nemnaren.

Vi ordnar ulikskapen slik at vi får null på høgre side

$\begin{array}{rcl} \frac{x+1}{2x-1}& ⩾ & 1\\ & & \\ \frac{x+1}{2x-1}-1& ⩾& 0\end{array}$

Vi trekkjer saman til éin brøk og faktoriserer teljar og nemnar dersom nødvendig.

$\begin{array}{rcl}\frac{x+1}{2x-1}-1·\frac{\left(2x-1\right)}{\left(2x-1\right)}& ⩾ & 0\\ & & \\ \frac{x+1-2x+1}{2x-1}& ⩾& 0\\ & & \\ \frac{2-x}{2x-1}& ⩾& 0\end{array}$

Teljaren er null når $2-x=0$, det vil seie når $x=2$. Nemnaren er null når $2x-1=0$, det vil seie når $x=\frac{1}{2}$, som vi også slo fast i starten på dømet. Det er berre for desse to verdiane av $x$ at brøken kan skifte forteikn. Vi tar «stikkprøver» og undersøkjer forteiknet til brøken i dei aktuelle intervalla $⟨\leftarrow , -\frac{1}{2}⟩, ⟨\frac{1}{2}, 2⟩ \mathrm{og} ⟨2, \to ⟩$.

For $x=0$ får vi

$\frac{2-0}{2·\left(0\right)-1}=\frac{\left(+2\right)}{\left(-1\right)}$ Uttrykket er negativt.

For $x=1$ får vi

$\frac{2-1}{2·\left(1\right)-1}=\frac{\left(+1\right)}{\left(+1\right)}$ Uttrykket er positivt.

For $x=3$ får vi

$\frac{2-3}{2·\left(3\right)-1}=\frac{\left(-1\right)}{\left(+5\right)}$ Uttrykket er negativt.

Vi set opp eit forteiknsskjema for brøken $\frac{2-x}{2x-1}$.NB! Legg merke til at brøken $\frac{2-x}{2x-1}$ ikkje er definert når nemnaren blir 0. I forteiknsskjemaet markerer vi dette med to pilspissar som møtest eller eit kryss for $x=\frac{1}{2}$.

Vår oppgåve var å finne ut for kva verdiar av $x$ brøken $\frac{x+1}{2x-1}⩾1$, det vil seie at $\frac{2-x}{2x-1}⩾0$. Løysinga på oppgåva blir at $x$ må vere større enn $\frac{1}{2}$ og mindre enn eller lik 2, $x\in ⟨\frac{1}{2}, 2]$.

Merk at her kunne uttrykket vårt vere null, og då tar vi med 2 i løysinga.

I CAS i GeoGebra får vi same løysing.

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & \frac{\mathrm{x}+1}{2\mathrm{x}-1}\ge 1\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{Løys}: \left\{\frac{1}{2}<\mathrm{x}\le 2\right\}\end{array}}$