Likningssett med andregradslikningar

På teorisida "Likningssett" løyser vi likningssett med to likningar av første grad. Eit likningssett kan innehalde alle typar likningar, og oftast er det enklaste å løyse likningssetta med eit digitalt hjelpemiddel, slik vi viser lenger ned på sida. Men vi kan òg løyse slike for hand.

Når vi løyser likningssett med to likningar av første grad, bruker vi mellom anna innsetjingsmetoden. Denne metoden kan vi òg bruke her. Dersom den eine likninga er av første grad, er ofte det luraste å finne eit uttrykk for den eine ukjende ved hjelp av førstegradslikninga, og så setje dette uttrykket inn i andregradslikninga.

Døme

Vi har gitt likningssettet

$\left[\begin{array}{c}2x^2-2x-y^2=8\\ 2x-y=-2\end{array}\right]$

Vi bruker førstegradslikninga til å finne eit uttrykk for $y$:

$$ \begin{array}{rcl}2x-y& = & -2\\ -y& =& -2-2x\\ y& =& 2x+2\end{array}$$

Vi set så uttrykket for $y$ inn i andregradslikninga:

$$ \begin{array}{rcl}2x^2-2x-y^2& = & 8\\ 2x^2-2x-{\left(2x+2\right)}^2& =& 8\\ 2x^2-2x-\left(4x^2+8x+4\right)& =& 8\\ 2x^2-2x-4x^2-8x-4& =& 8\\ -2x^2-10x-12& =& 0 \overline{):-2}\\ x^2+5x+6& =& 0\\ \left(x+2\right)\left(x+3\right)& =& 0\\ & & \\ x+2=0& \vee & x+3=0\\ x=-2& \vee & x=-3\end{array}$$

Vi set så desse løysingane inn i uttrykket for y:

$$ \begin{array}{rcl}y& = & 2x+2\\ & & \\ y& =& 2·(-2)+2=-2\\ & \vee & \\ y& =& 2·(-3)+2=-4\end{array}$$

Likningssettet har to sett med løysingar:

$x=-2 \wedge y=-2 \vee x=-3 \wedge y=-4$

🤔 Tenk over: Kor mange sett med løysingar har eit likningssett som inneheld éi andregradslikning?

Løysing med CAS

Vi kan løyse likningssettet i GeoGebra.

Vi markerer rutene der likningane våre står (her 1 og 2), for deretter å bruke $$ \boxed{\mathrm{x}\underset{}{\overset{\stackrel{}{}}{\mathbf{=}}}}$$ .

Du kan òg bruke kommandoen Løys({likning, likning},{x,y}) for å løyse likninga.