To vinklar – same sinusverdi

Det interaktive GeoGebra-arket nedanfor viser einingssirkelen med to punkt P₁ og P₂. Strålen frå origo til P₁ dannar vinkelen 𝑣 med den positive delen av x-aksen, mens strålen frå origo til P₂ dannar vinkelen 𝑢 med same akse. Då kan vi skrive opp koordinatane til dei to punkta ved hjelp av cosinus og sinus til dei to vinklane som vist i figuren.

Dra i glidebrytaren på figuren for å endre på vinkel 𝑣. Vi minner om at begge vinklane 𝑢 og 𝑣 blir målt i forhold til den positive delen av x-aksen.

Er du einig i at vinklane $u$ og $v$i det interaktive GeoGebra-arket over er til saman 180 grader og har same sinusverdi?

Sidan$u+v=180°$, er $v=180°-u$. Då blir dei to vinklane kalla supplementvinklar.

Vi får at

$\sin u=\sin v=\sin (180°-u)$

Kan du også frå figuren sjå at

$\cos u=-\cos (180°-u)$?

Oppgåve 1

Bruk figuren og finn supplementvinkelen til 30°, til 45° og til 157,5°. Kontroller svaret ved rekning.

Oppgåve 2

Prøv å finne desse verdiane ved hjelp av figuren:

$$\begin{gathered} \sin 0° \sin 90° \sin 180° \\ \cos 0° \cos 90° \cos 180° \end{gathered}$$

Viss vi til dømes får opplyst at sinus til ein vinkel er 0,5, så veit vi ikkje om vinkelen er 30 grader eller 150 grader. Det betyr at likninga$\sin x=0,5$ har to løysingar.

Dette kan du føre slik

$\begin{array}{rcl}\sin x & = & 0,5\\ & & \\ x& =& \mathrm{asin}(0,5)\\ & & \\ x& =& 30° \vee x=180°-30°=150°\\ & & \\ & & \mathrm{Tegnet} \vee \mathrm{betyr} "\mathrm{eller}".\end{array}$

Vi kan også løyse likninga med CAS i GeoGebra.

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & \sin \left(\mathrm{x}°\right)=\frac{1}{2}\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøys}: \{\mathrm{x}=30, \mathrm{x}=150\}\end{array}}$

Nokre digitale verktøy gir berre den eine løysinga. Då må du sjølv passe på å få med den andre.

I praktiske oppgåver der du skal finne ein ukjend vinkel med ei sinuslikning som den over, må du vurdere kva løysing som passar eller om begge løysingane kan brukast.

I dette kurset reknar vi berre med vinklar opp til 180 grader. For desse vinklane får vi ikkje problem med to løysingar av likningar med cosinus og tangens.

$\begin{array}{rcl}\sin 150°& = & \sin 30°=0,5\\ & & \\ \cos 150°& =& -\cos 30°\approx -0,866\end{array}$