Talsystem. Det binære talsystemet

Kor mange talsystem bruker du per dag? Bruk eit par sekund på å tenke deg om.

Du bruker heilt sikkert minst to talsystem kvar dag, til dømes titalssystemet for utrekning av pengar og antal og sekstitalssystemet kvar gong du bruker ei klokke. Vi har jo 60 sekund i eit minutt og 60 minutt i ein time. Når vi bruker datamaskiner, må vi òg ta omsyn til nokre fleire talsystem, mellom anna det binære talsystemet (totalssystemet), som vi skal gå gjennom her. Først ser vi på det talsystemet vi kjenner best: titalssystemet.

Titalssystemet er det talsystemet vi menneske bruker mest i kvardagen. Vi lærer det som barn, men vi tenker lite over korleis det fungerer. Derfor er det eit godt døme å starte med. Grunnen er at dei andre talsystema vi bruker, er bygde opp på den same måten, men dei har færre eller fleire talsymbol eller siffer.

Vi har ti ulike siffer i titalssystemet:

Dersom vi treng eit høgare tal enn ni, løyser vi dette med å bruke fleire siffer. I dømet under startar vi på talet 7 og aukar verdien med 1 for kvar linje nedover. Når vi når verdien 9, har vi brukt opp dei tilgjengelege symbola og må bruke to siffer for å vise talet som er éin større enn ni. Vi legg ein einar i tiar-posisjonen og går tilbake til null i einar-posisjonen. Vi kallar derfor titalssystemet for eit posisjonsbasert talsystem eller eit plassverdisystem.

I tabellen nedanfor, som startar på talet 7, viser vi dette.

I talet 12 står derfor sifferet 1 for 10 sidan det står på tiarplassen og sifferet 2 for 2 (sidan det står på einarplassen). Når vi har brukt opp alle moglege kombinasjonar med to siffer, har vi komme til talet 99. I talet 99 står det første nitalet for 9 tiarar, eller 90, og det andre for 9 einarar, eller 9. For å få éin meir må vi bruke tre siffer og får 100. I talet 102 står sifferet 1 på hundrarplassen og betyr 100 og sifferet 2 på einarplassen (og betyr 2).

Fordi vi er så vande til å bruke titalssystemet, tenker vi sjeldan over det, men når vi les eit tal, deler vi det opp. Til dømes les vi talet 1 233 som 1 tusen, 2 hundre, 3 tiarar og 3 einarar. Med matematikksymbol kan vi skrive talet som reknestykket

$$ \begin{array}{rcl}1 233 & =& 1·1 000+2·100+3·10+3·1\\ & =& 1·{10}^3+2·{10}^2+3·{10}^1+1·{10}^0\end{array}$$

Dette blir òg kalla å skrive talet 1 233 på utvida form. I den andre linja har vi brukt potensar med 10 som grunntal i staden for å skrive 1 000, 100 og så vidare. Legg merke til at $$ 10={10}^1$$ og $$ 1={10}^0$$. Med denne skrivemåten får vi at eksponentane til tiarpotensane aukar med 1 for kvart ledd når vi går mot venstre i reknestykket. I titalssystemet bruker vi potensar av 10. I andre posisjonsbaserte talsystem får vi potensar med andre grunntal.

Skriv inn talet 1 233 i tabellen nedanfor ved å plassere eitt siffer i kvar kolonne.

Kva blir talet 734 skrive på utvida form med potensar?

Datamaskiner bruker ikkje titalssystemet internt, men totalssystemet. Dette er eit talsystem der vi berre har to symbol. Vi kallar dette det binære talsystemet. I dette talsystemet har vi berre to symbol: 0 og 1.

10 i totalssystemet betyr ikkje det same som 10 i titalssystemet. For å vise at vi meiner 10 i totalssystemet, skriv vi $$ {10}_2$$, det vil seie at vi set på eit lite total nede til høgre.

På same måte som med titalssystemet bruker vi talposisjonen dersom vi treng å beskrive ein høgare verdi enn det vi har siffer til. Vi byrjar å telje:

Ein: $$ 1_2$$. Dette er det same som 1 i titalssystemet.

To: Vi må bruke to siffer sidan vi ikkje har fleire enn to ulike symbol (0 og 1). Då får vi $$ {10}_2$$. Dette blir tilsvarande som når vi kjem til 9 i titalssystemet og må bruke to siffer for å få éin meir (10).

Tre: Vi aukar frå to til tre ved å la nulltalet til høgre bli til 1: $$ {11}_2$$.

Fire: Då har vi ikkje fleire siffer, og vi må bruke tre siffer for å lage éin meir enn tre. Vi får $$ {100}_2$$.

Nedanfor har vi samanfatta resultata over. Vi har plassert eitt siffer i kvar kolonne i tabellen for tala i totalssystemet. Klarer du å fylle ut resten av tabellen?

I titalssystemet kallar vi posisjonane einarplassen, tiarplassen, hundrarplassen og så vidare. Posisjonane blir alltid ti gonger meir verde når vi går éin posisjon til venstre. Sidan vi berre har to talverdiar i totalssystemet, blir kvar posisjon verd to gonger verdien av den til høgre. Til venstre for einarplassen får vi derfor toarplassen, som svarer til $$ 2^1$$, deretter firarplassen ($$ 2^2$$), åttarplassen ($$ 2^3$$) og så vidare.

Kva blir "verdien" til dei to neste posisjonane i totalssystemet?

Skriv $$ 1 {001}_2$$ på utvida form med potensar. (Hugs at her må du bruke potensar der grunntalet er 2.)

Omgjering frå totalssystemet til titalssystemet

Informasjonen over kan vi bruke til å gjere om eit tal frå totalssystemet til titalssystemet. Dersom vi tek det binære talet 101 000₂ og legg det inn i tabellen under, kan vi enkelt gjere det om til titalssystemet.

Den første einaren har derfor verdien 32 i titalssystemet sidan han bidreg med $$ 1·32=32$$. Den neste einaren har verdien 8. Talet 101 000₂ er derfor $$ 32+8=40$$ i titalssystemet. Merk at vi ikkje får noko bidrag på 16, 4, 2 eller 1 sidan sifferet der er 0.

40 i titalssystemet er derfor 101 000 i det totalssystemet. Matematisk blir det $$ 40=101 {000}_2$$.

Kor mykje er 10 110₂ i titalssystemet?

Omgjering frå titalssystemet til totalssystemet

I titalssystemet betyr talet 321 at vi har 3 hundrarar, 2 tiarar og 1 einar. I totalssystemet må vi heilt tilsvarande finne ut kor mange einarar, toarar, firarar, åttarar og så vidare vi har.

Vi skal gjere om 22 til totalssystemet. Vi kan bruke følgande rutine, eller algoritme:

• 22 er mindre enn 32 og større enn 16. Vi skal derfor ha éin "sekstenar" når 22 skal skrivast som binært tal. Då står vi igjen med $$ 22-16=6$$.

• 6 er mindre enn 8 og større enn 4. Vi skal derfor ha ingen åttarar, men éin firar. Då står vi igjen med $$ 6-4=2$$.

• Vi skal ha éin toar. Då står vi igjen med $$ 2-2=0$$, og skal derfor ikkje ha nokon einarar.

Nedanfor har vi sett opp resultatet i ein tabell.

Resultatet blir $$ 22=10 {110}_2$$.

Kva blir 39 i totalssystemet?

Sekstentalssystemet (det heksadesimale systemet)

I sekstentalssystemet har vi 16 siffer. Vi startar med dei første ti, som er identisk med tala frå titalssystemet. Når vi kjem over ni, tek vi i bruk bokstavane A–F:

Kva blir talet $$ 2\mathrm{C}{4}_{16}$$ gjort om til titalssystemet?

Du kan lese meir om sekstentalssystemet og andre talsystem nedanfor.