Fagstoff

Metoden med fullstendige kvadrat

Kva er eit fullstendig kvadrat, og korleis kan vi faktorisere andregradsuttrykk ved å lage fullstendige kvadrat?

Denne sida er arkivert. Innhaldet kan vere utdatert.

Fullstendige kvadrat

Eit fullstendig kvadrat er eit andregradsuttrykk som vi kan faktorisere direkte ved hjelp av første eller andre kvadratsetning.

Til dømes er uttrykka $x^{2} - 6 x + 9$ og $4 x^{2} + 4 x + 1$ fullstendige kvadrat fordi $x^{2} - 6 x + 9 = {(x - 3)}^{2}$ og $4 x^{2} + 4 x + 1 = {(2 x + 1)}^{2}$ .

Vi bruker ofte bokstavane a og b både i kvadratsetningane og i den generelle formelen for andregradsuttrykk. Det kan komplisere føringa, så vi vel her å bruke andre bokstavar for å gjere det enkelt. Då får vi kvadratsetningane på denne forma:

$\begin{array}{rcl} {(k + p)}^{2} & = & k^{2} + 2 k p + p^{2} \\ {(k - p)}^{2} & = & k^{2} - 2 k p + p^{2} \end{array}$

Å kjenne igjen eit fullstendig kvadrat

Det er ikkje alltid så lett å sjå med ein gong om eit andregradsuttrykk på forma $a x^{2} + b x + c$ er eit fullstendig kvadrat. Vi kan gå fram trinnvis for å sjekke. Vi bruker uttrykket $x^{2} - 6 x + 9$ som døme. Vi ser at det midtarste leddet er negativt, så vi må sjekke om vi kan skrive det om til forma ${(k - p)}^{2}$ :

Vi ser at andregradsleddet og konstantleddet er positivt.
Vi set $k = \sqrt{x^{2}} = x$ og $p = \sqrt{9} = 3$ .
Vi må sjekke om det midtarste leddet kan skrivast som $2 k p$ . I dette tilfellet får vi at $2 k p = 2 \cdot x \cdot 3 = 6 x$ , noko som stemmer med kravet.
Krava i punkta 1 og 3 er oppfylte, dermed har vi at

$x^{2} - 6 x + 9 = {(k - p)}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

Trinnvis framgangsmåte

Vi skal sjekke om uttrykket $a x^{2} + b x + c$ er eit fullstendig kvadrat:

Vi sjekkar om andregradsleddet og konstantleddet er positivt.
Vi set $k = \sqrt{a x^{2}} = \sqrt{a} x$ og $p = \sqrt{c}$ .
Vi sjekkar om førstegradsleddet, bx , kan skrivast som $2 k p = 2 \sqrt{a} \cdot x \cdot \sqrt{c} = 2 \sqrt{a c} \cdot x$ .
Dersom krava i punkta 1 og 3 er oppfylte, har vi eit fullstendig kvadrat, og vi kan skrive uttrykket slik:

$a x^{2} + b x + c = {(k + p)}^{2}$

Metoden med fullstendige kvadrat

Det er få andregradsuttrykk som er fullstendige kvadrat, men det er mogleg å faktorisere andregradsuttrykk ved å lage eit fullstendig kvadrat av dei to første ledda og så bruke konjugatsetninga. Det er som oftast enklare å bruke andre metodar for å faktorisere andregradsuttrykk, men metoden er likevel viktig som eit grunnlag for å forstå meir om andregradsuttrykk, andregradslikningar og seinare òg likningar for sirklar og kuler.

Vi viser metoden ved å gå gjennom eit døme.

Vi skal faktorisere andregradsuttrykket $x^{2} + 4 x - 5$ , som ikkje kan faktoriserast direkte ved hjelp av første eller andre kvadratsetning.

Vi legg først konstantleddet litt til side og konsentrerer oss om dei to første ledda i uttrykket, $x^{2} + 4 x$ . Vi ønsker å finne ut kva vi må legge til for å få dette til å bli eit fullstendig kvadrat. Dette kallar vi å fullføre kvadratet.

Vi set $k = \sqrt{x^{2}} = x$ . Det neste leddet, $4 x$ , må då vere lik $2 k p$ :

$\begin{array}{rcl} 4 x & = & 2 k p \\ 4 x & = & 2 \cdot x \cdot p \\ p & = & 2 \end{array}$

Dette betyr at vi må legge til $p^{2} = 2^{2} = 4$ for å få eit fullstendig kvadrat. Men dersom vi legg noko til, aukar vi verdien på uttrykket vårt. Vi må derfor trekke frå 4 òg for å behalde verdien slik han var:

$\begin{array}{rcl} x^{2} + 4 x - 5 & = & \underset{Fullstendig kvadrat}{\underset{⏟}{x^{2} + 4 x + 2^{2}}} - 4 - 5 \\ = & {(x + 2)}^{2} - 9 \end{array}$

Uttrykket ${(x + 2)}^{2} - 9$ kan vi kjenne igjen som den høgre sida av konjugatsetninga. Vi bruker igjen bokstavane k og p:

$(k - p) (k + p) = k^{2} - p^{2}$

Her får vi $k = \sqrt{{(x + 2)}^{2}} = (x + 2)$ og $p = \sqrt{9} = 3$ . Vi kan bruke dette til å faktorisere ferdig:

$\begin{array}{rcl} x^{2} + 4 x - 5 & = & {(x + 2)}^{2} - 3^{2} \\ = & ((x + 2) + 3) ((x + 2) - 3) \\ = & (x + 5) (x - 1) \end{array}$

Trinnvis framgangsmåte

Vi skal faktorisere uttrykket $a x^{2} + b x + c$ ved hjelp av metoden med fullstendige kvadrat:

Vi set $k = \sqrt{a x^{2}} = \sqrt{a} x$ .
Så set vi $b x = 2 k p = 2 \sqrt{a} x \cdot p$ og reknar ut p.
Vi legg til $p^{2}$ for å fullføre kvadratet og trekker frå $p^{2}$ igjen.
Vi skriv dei tre første ledda som ${(k + p)}^{2}$ og trekker saman konstantledda.
Til slutt faktoriserer vi ved hjelp av konjugatsetninga.

🤔 Tenk over: Dersom koeffisienten a til $x^{2} = 1$ , finn vi enkelt $p^{2}$ ved å dele koeffisienten b på 2 og opphøge dette talet i 2. Kan du forklare det?

Forklaring

I eit slikt tilfelle har vi at $k = x$ . Vi set $2 k p = 2 x p = b x$ og får at $p = \frac{b}{2}$ . Vi legg til

$p^{2} = {(\frac{b}{2})}^{2}$ for å fullføre kvadratet. Dette kallar vi ofte "halver, kvadrer og adder". Men legg merke til at dette berre fungerer dersom $a = 1$ !