Oppgave

Andregradslikningar

Oppgåvene nedanfor skal løysast utan bruk av hjelpemiddel. Du kan også prøve å løyse oppgåvene med CAS.

Når konstantleddet manglar

1.7.1 Løys likningane

a) $2 x^{2} - 2 x = 0$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} 2 x (x - 1) & = & 0 \\ 2 x & = & 0 eller x - 1 = 0 \\ x_{1} & = & 0 eller x_{2} = 1 \end{array}$

b) $12 x = 3 x^{2}$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} 12 x - 3 x^{2} & = & 0 \\ 3 x (4 - x) & = & 0 \\ 3 x & = & 0 eller 4 - x = 0 \\ x & = & 0 eller - x = - 4 \\ x_{1} & = & 0 eller x_{2} = 4 \end{array}$

c) $5 x^{2} = 25 x$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} 5 x^{2} - 25 x & = & 0 \\ 5 x (x - 5) & = & 0 \\ 5 x & = & 0 eller x - 5 = 0 \\ x_{1} & = & 0 eller x_{2} = 5 \end{array}$

Når førstegradsleddet manglar

1.7.2 Løys likningane ved rekning

a) $x^{2} - 4 = 0$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} x^{2} & = & 4 \\ x & = & \sqrt{4} eller x = - \sqrt{4} \\ x_{1} & = & 2 eller x_{2} = - 2 \end{array}$

b) $3 x^{2} = 3$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} x^{2} & = & 1 \\ x & = & \sqrt{1} eller x = - \sqrt{1} \\ x_{1} & = & 1 eller x_{2} = - 1 \end{array}$

c) $2 x^{2} + 8 = 0$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} 2 x^{2} & = & - 8 \\ x^{2} & = & - 4 \\ Inga løysing \end{array}$

Fullstendige kvadrat

1.7.3 Løys likningane ved å bruke fullstendige kvadrat

a) ${(x - 5)}^{2} = 16$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} x - 5 & = & 4 eller x - 5 = - 4 \\ x_{1} & = & 9 eller x_{2} = 1 \end{array}$

b) $x^{2} + 6 x - 7 = 0$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} x^{2} + 2 \cdot 3 x + 3^{2} & = & 7 + 9 \\ x^{2} + 6 x + 9 & = & 16 \\ {(x + 3)}^{2} & = & 4^{2} \\ x + 3 & = & 4 eller x + 3 = - 4 \\ x_{1} & = & 1 eller x_{2} = - 7 \end{array}$

c) $x^{2} = 2 x + 24$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} x^{2} - 2 x & = & 24 \\ x^{2} - 2 \cdot x + 1^{2} & = & 24 + 1 \\ x^{2} - 2 x + 1 & = & 25 \\ {(x - 1)}^{2} & = & 5^{2} \\ x - 1 & = & 5 eller x - 1 = - 5 \\ x_{1} & = & 6 eller x_{2} = - 4 \end{array}$

d) $- 2 x^{2} + 4 x + 16 = 0$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} - 2 x^{2} + 4 x + 16 & = & 0 : (- 2) \\ x^{2} - 2 x - 8 & = & 0 \\ x^{2} - 2 \cdot x + 1^{2} & = & 8 + 1 \\ {(x - 1)}^{2} & = & 3^{2} \\ x - 1 & = & 3 eller x - 1 = - 3 \\ x_{1} & = & 4 eller x_{2} = - 2 \end{array}$

1.7.4 Løys likningane ved å bruke fullstendige kvadrat

a) $0, 2 x^{2} + 0, 4 x = 0, 6$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} 0, 2 x^{2} + 0, 4 x & = & 0, 6 : 0, 2 \\ x^{2} + 2 x + 1^{2} & = & 3 + 1 \\ {(x + 1)}^{2} & = & 2^{2} \\ x + 1 & = & 2 eller x + 1 = - 2 \\ x_{1} & = & 1 eller x_{2} = - 3 \end{array}$

b) $0, 1 x^{2} + 0, 2 x = 0, 8$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} 0, 1 x^{2} + 0, 2 x & = & 0, 8 : 0, 1 \\ x^{2} + 2 x + 1^{2} & = & 8 + 1 \\ {(x + 1)}^{2} & = & 3^{2} \\ x + 1 & = & 3 eller x + 1 = - 3 \\ x_{1} & = & 2 eller x_{2} = - 4 \end{array}$

Når konstantleddet manglar

1.7.1 Løys likningane

Når førstegradsleddet manglar

1.7.2 Løys likningane ved rekning

Fullstendige kvadrat

1.7.3 Løys likningane ved å bruke fullstendige kvadrat

1.7.4 Løys likningane ved å bruke fullstendige kvadrat

Reglar for bruk av teksten "Andregradslikningar"